高職數學統考中圓錐曲線的命題研究與教學策略

摘"要：圓錐曲線不僅是中職數學教學的重要內容，也是歷年高職數學統考重點考查內容，一直是高職數學統考的熱門問題.本文通過分析近五年浙江省高職數學統考圓錐曲線試題考查內容，討論了核心考點、命題思路、命題軌跡，并提出圓錐曲線教學建議和復習策略.

關鍵詞：高職數學統考；圓錐曲線；命題研究；教學策略

通過分析2020—2024年浙江省高職數學統考中圓錐曲線真題，發現命題緊扣《中等職業學校數學課程標準（2020年版）》（以下簡稱《課標》）［１］，題型分值穩定，主要考查了圓錐曲線標準方程、幾何性質、中點弦、直線與圓錐曲線位置關系等問題，重點考查了數學情境創新、實際應用、數學運算等能力.

1"命題內容分析

1.1"考點分布

縱觀近五年浙江省高職數學統考試卷，考點詳情見表1，從整體結構上來看，每年變化不大；從知識角度來看，體現了以教材為本，高頻考點主要集中在圓錐曲線的標準方程、焦點坐標、焦距、離心率等.

1.2"題型分值

縱觀近五年浙江省高職數學統考中圓錐曲線試題，每年選擇題占5～6分，填空題占4分，解答題占10～12分，總分基本穩定在19～22分.

1.3"難度層次

選擇題、填空題、解答題第（1）小題以較易題或中等難度題為主，解答題第（2）（3）小題以較難題為主，編排在試卷的壓軸題或倒數第二題的位置.

1.4"思想方法

近五年高職數學統考圓錐曲線試題在考查定義、標準方程、幾何性質的基礎上，也加強了對曲線與方程、數形結合、分類討論等基本思想方法的考查.

2"命題思路分析

筆者通過對近五年高職數學統考中圓錐曲線真題進行分類整理研究，發現圓錐曲線試題重基礎、強應用、講創新.本文重點剖析了圓錐曲線解答題，其命題方向主要有以下三種.

2.1"立足定義性質，突出基本量思想

近五年考題中選擇題和填空題、解答題的第（1）小題主要考查圓錐曲線的定義、基本性質，體現了解決圓錐曲線問題的基本量思想.

2020年浙江省高職數學統考中第34題第（1）小題，主要利用橢圓的焦距、離心率，通過聯立方程組求得橢圓的標準方程.

2021年浙江省高職數學統考中第34題第（1）小題，先根據準線方程判斷出焦點位置，求出焦距p，進而求出拋物線的標準方程.

2022年浙江省高職數學統考中第35題第（1）小題，考查橢圓焦距、離心率，學生可以直接求出橢圓的標準方程.

2023年浙江省高職數學統考中第34題第（1）小題，先求出實半軸長a，代入已知點的坐標，利用待定系數法求出虛半軸長b，寫出雙曲線的標準方程.

2024年浙江省高職數學統考中第33題第（1）小題，考查橢圓中a，b，c之間的等量關系，通過代入法求出橢圓的焦點坐標.

2.2"聚焦弦長問題，強調靈活性原則

圓錐曲線的另外一個重要考點是直線與圓錐曲線相交弦長問題.2020-2021年高職數學統考中的直線與圓錐曲線相交弦長問題都重點考查了學生的邏輯推理、運算求解能力.

例1"（2020年浙江省高職數學統考第34題）若橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距為2，離心率為22，斜率為1的直線經過橢圓的左焦點，交橢圓于A，B兩點.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）求｜AB｜的值.

解析：第（2）小題根據焦點弦特征，直曲聯立、消元、韋達定理、設而不求，由相交弦長公式求出｜AB｜，不僅考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系，而且考查學生的運算求解能力.

例2"（2021年浙江省高職數學統考第34題）如圖1所示，已知拋物線頂點為原點，準線l：y=-1/3.

（1）求拋物線的標準方程.

（2）過焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若｜AB｜=83，求直線AB的方程.

解析：第（2）小題求解時根據焦點在y軸上的拋物線焦半徑｜AF｜=｜y1｜+p2， ｜BF｜=｜y2｜+p2，得｜AB｜=｜y1｜+｜y2｜+p，求得直線的斜率k、直線AB的方程.重點考查拋物線的定義、準線方程、直線與拋物線相交弦長公式.

2.3"融入綜合問題，凸顯創新性理念

經研究發現，2022年起高職數學統考直線與圓錐曲線問題綜合性和創新性日益凸顯，運算量加大，學生理解困難，難以適應，需要掌握其解題思路和策略.

例3"（2022年浙江省高職數學統考第35題）橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦距為22，離心率e=63，過點（-2，0）的直線與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為（-12，y0）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）求y0的值.

解析：第（2）小題考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的中點弦公式.恰當運用點差法、“設而不求，整體代換”可以減少運算量，運用公式kAB·kOM=e2-1能快速解決橢圓、雙曲線中點弦問題.

例4"（2023年浙江省高職數學統考第34題）如圖2所示，雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）， F1，F2為雙曲線的兩個焦點，實軸長為23，且雙曲線經過點（-2，-2）.

（1）求雙曲線的標準方程.

（2）若點M在雙曲線的漸近線上，且△MF1F2的面積為122，求點M的坐標.

（3）若點P（m，n）在雙曲線右支上，點N的坐標為（1，n），求｜PF2｜｜PN｜的值.

解析：第（2）小題再以焦距為底列出焦點三角形面積公式，進而求得點M的坐標；第（3）小題考查兩點間距離公式，將雙曲線上點P（m，n）代入雙曲線的標準方程，求出兩條線段的長度及比值.

例5"（2024年浙江省高職數學統考第33題）如圖3所示，F1，F2是橢圓x23+y2b2=1（bgt;0）的兩個焦點，且該橢圓過點A0，2.

（1）求橢圓的焦點坐標.

（2）過點A的直線與AF2垂直，交橢圓于點B，求點B的坐標.

（3）求四邊形ABF1F2的面積.

解析：第（2）小題根據直線AF2的斜率，求出與之垂直的直線AB的斜率、方程，聯立方程組，求出交點B的坐標；第（3）小題，先求出直線AB與x軸的交點M坐標，通過△AMF2與△BMF1的面積之差，求出四邊形ABF1F2面積.

3"圓錐曲線教學策略

基于上述高職數學統考圓錐曲線命題分析，筆者對于圓錐曲線教學提出以下建議.

3.1"把握真題明方向

高職數學統考試題是命題專家依據《課標》與當前教材體系，貼合教育部考試中心要求精心打磨而成，體現了命題的趨勢與導向.真題表征綜合，覆蓋知識主干，多點知識與多種數學思想方法匯聚于一題.因此，教師需要深入研析歷年經典真題，引導學生總結命題特點與解題思路，更要深入剖析圓錐曲線問題的本質并挖掘其中蘊含的數學實質.以圓錐曲線綜合題為例，探究特定圖形、特定直線、特定角或特定點得出的答案，在更一般的情境下是否成立，題目中參數的調整是否會影響最終結論.在探究過程中，著重培養學生的數形結合、分類討論、函數與方程、化歸與轉化等數學思想方法，充分發揮真題的價值.

3.2"立足《課標》提素養

六個中職數學核心素養已成為新時代背景下中職數學課程育人的目標，同時貫穿了整個中職數學課程，并主導著課程目標的價值取向.［2］因此，將核心素養植根于課堂教學實踐顯得尤為重要.廣大中職數學教師需要認真研讀《課標》對圓錐曲線教學的具體要求，理解數學核心素養的深刻內涵.運用多元化、信息化、數字化的途徑，結合科學的教學策略，精心設計分層作業與精準作業，以有效提升核心素養的培養效果.在圓錐曲線的教學中，教師可以巧妙運用現代信息技術，通過調整方程中的參數，動態展示參數變化對曲線形狀及位置的直接影響，引導學生深入理解曲線與方程之間的本質聯系，從而發展學生的直觀想象、數學運算和數學建模等核心素養.［3］

3.3"回歸教材抓基礎

中職學校數學教材是高職數學統考試題的原始生長點，諸多圓錐曲線試題均能在教材中追溯其“題根”，足見教材的基礎性和示范性作用.在圓錐曲線這一教學難點上，教師應深入挖掘教材中的精髓，使學生重點掌握圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本應用.在此基礎上，著重強調數學概念及原理的嚴謹推導過程，并傳授解決有關圓錐曲線問題的通性通法，包括定義法、待定系數法、點差法等常見解題方法.此外，教師還可以利用教材中的典型例題，進行變式訓練、拓展延伸與知識遷移，促進學生對知識的深度內化、系統整合與網絡構建，從而全面提升學生的數學思維能力.

3.4"研讀問題強能力

鑒于高職數學統考對解題時效性的嚴格要求，學生在未充分解析題意的情況下急于求解，往往容易陷入解題困境.針對這一現象，教師亟須強化學生的審題意識與培養良好的審題習慣，確保學生能夠精準捕捉試題中的關鍵信息，深度解構文字內涵，有效提升學生的數學閱讀理解能力.在這一進程中，學生將逐漸提高對圓錐曲線等常見題型特征的識別敏銳度，掌握針對此類題型的系統性解題策略，由此迅速鎖定解題路徑，規避不必要的試錯環節，從而在保障解題精確性的基礎上，大幅度提升解題效率，進而全面增強其問題解決的能力.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.中等職業學校數學課程標準（2020年版）［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］朱建鵬，秦靜，王素霞，等.指向核心素養的中職數學教學實踐與策略研究［J］.中國職業技術教育，2024（11）：49-56.

［3］趙千惠，張維忠.STEAM教育理念下數學拓展課教學設計研究［J］.浙江師范大學學報（自然科學版），2024（2）：234-240.