立足基本圖形 多視角探尋解法

摘"要：在初中數(shù)學(xué)中，三角形、平行四邊形等基本圖形的性質(zhì)是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，它們是解決幾何問(wèn)題的基本工具.基于此，本文立足基本圖形，多視角探尋2024年廣東省中考數(shù)學(xué)第15題的解法，并給出其變式問(wèn)題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新素養(yǎng)，提高學(xué)生運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：基本圖形；構(gòu)造；轉(zhuǎn)化；解法探究

與三角形、平行四邊形、圓等基本圖形有關(guān)的面積問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，倍受命題專(zhuān)家的青睞.這類(lèi)問(wèn)題通?？疾榛緢D形的性質(zhì)及其面積的求法，其綜合性較強(qiáng)，具有一定的選拔功能，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.本文立足基本圖形，多視角探尋2024年廣東省中考數(shù)學(xué)第15題的解法，并給出其變式問(wèn)題，以期為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

1"試題呈現(xiàn)

（2024年廣東省中考數(shù)學(xué)第15題）如圖，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn).若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為"""".

2"試題分析

本題是一道以菱形為基本圖形，以求圖形面積為問(wèn)題情境的幾何計(jì)算問(wèn)題.從已知條件和圖形結(jié)構(gòu)來(lái)看，四邊形ABCD是菱形，其面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以△ADE的面積是菱形ABCD面積的四分之一，即S△ADE=6.因?yàn)椤鰾EF的面積為4，所以當(dāng)菱形ABCD的內(nèi)角一定時(shí)，點(diǎn)F就是定點(diǎn)，BF∶FC的值和△BEF的面積均為定值.由此可以看出，欲求△DEF的面積，需借助點(diǎn)E與點(diǎn)F的特殊位置構(gòu)建△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數(shù)量關(guān)系，為問(wèn)題解決創(chuàng)造有利條件.從考查知識(shí)來(lái)看，本題主要考查菱形的性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，它們都是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課程標(biāo)準(zhǔn)”）規(guī)定的最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí).［1］由此可以看出，本題充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是填空題中的一道壓軸題，承載著一定的選拔功能，對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.

3"解法探究

基于以上試題分析，筆者立足基本圖形的性質(zhì)，多視角探尋解法.

思路1：特殊化策略.

特殊化就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題“退”到屬于它的特殊狀態(tài)進(jìn)行研究，從而達(dá)到研究一般狀態(tài)的目的.在初中數(shù)學(xué)中，常見(jiàn)的特殊化策略包括將變量換成常量、一般圖形換成特殊圖形或特殊位置，以獲取某種啟示，這是特殊化的具體體現(xiàn).在本題中，四邊形ABCD是菱形，可考慮將其特殊化為正方形，從而使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，更容易解決.

解析：如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，其面積為24，所以AB=BC=CD=AD=26.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=BE=6.因?yàn)椤鰾EF的面積為4，所以12BE·BF=4，所以BF=463.由此可知FC=BC-BF=263.由三角形的面積公式，可得S△ADE=12AE·AD=6，S△DFC=12FC·CD=4，從而可得S△DEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△DFC=10.

點(diǎn)評(píng)：這種解法將菱形特殊化為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)解決問(wèn)題，從而快速準(zhǔn)確地得到結(jié)論.由此可以看出，特殊化策略是一種“以退為進(jìn)”的解題策略，所謂“退”，可以從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從抽象退到具體，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，在解決中考填空題、選擇題時(shí)非常有效，可以為學(xué)生節(jié)省寶貴的答題時(shí)間.

思路2：“設(shè)而不求”策略.

“設(shè)而不求”的核心思想是通過(guò)設(shè)定未知數(shù)，但不直接求解這些未知數(shù)，而是利用題目中的條件進(jìn)行換元或消元，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題解決過(guò)程.

解析：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，高為h，則ah=24.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=BE=12a，所以S△ADE=12·12h·AD=14ah=6，所以h=24a.設(shè)△BEF的邊BE上的高為h1，則S△BEF=12BE·h1=14ah1=4，所以h1=16a.由此可知h1=23h.設(shè)△DFC的邊CD上的高為h2，則h1+h2=h，所以h2=13h，可得S△DFC=12CD·h2=16ah=4，故S△DEF=S菱形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△DFC=10.

點(diǎn)評(píng)：這種解法是根據(jù)基本圖形的面積公式直接求解，求解過(guò)程中雖然設(shè)出了有關(guān)線段的長(zhǎng)度，但沒(méi)有直接求出未知數(shù)的值，未知數(shù)只起到了輔助作用，它是構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間數(shù)量關(guān)系的“橋梁”.這種解法思維嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.

解析：如圖2所示，連接BD，交EF于點(diǎn)G.因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為24，所以S△ABD=12S菱形ABCD=12.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以S△ADE=S△BDE=6，S△BDF=2S△BEF=8.設(shè)S△BEG=m，則S△DEG=6-m，S△BFG=4-m，S△DFG=S△BDF-S△BFG=8-（4-m）=4+m.由此可知S△DEF=S△DEG+S△DFG=（6-m）+（4+m）=10.

點(diǎn)評(píng)：這種解法借助圖形之間的面積關(guān)系直接求解.與前一種解法相比，這種方法求解過(guò)程簡(jiǎn)捷明了，屬于“多思少算”型的方法.在求解過(guò)程中，雖然設(shè)出了△BEG的面積，但并不需要求出其具體結(jié)果，它只起到“橋梁”作用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的核心思想.

思路3：“等積轉(zhuǎn)化”策略.

在三角形中，等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等；等高的兩個(gè)三角形，其面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比；等底的兩個(gè)三角形，其面積之比等于對(duì)應(yīng)高之比；全等三角形的面積相等.在平行四邊形中，其對(duì)角線平分它的面積.根據(jù)三角形的面積公式及平行四邊形的性質(zhì)容易得出這些結(jié)論，這些結(jié)論是“等積轉(zhuǎn)化”的依據(jù).

解析：如圖3所示，延長(zhǎng)DA，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AD∥BC，所以∠G=∠EFB，∠GAB=∠ABF.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=BE.由此可知△AEG≌△BEF，所以S△AEG=S△BEF=4，EG=EF.又易知S△ADE=6，所以S△DEG=S△AEG+S△ADE=10.由EG=EF可知S△DEF=S△DEG=10.

點(diǎn)評(píng)：這種解法借助線段AB的中點(diǎn)E構(gòu)造“X型”全等三角形，成功構(gòu)建了△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數(shù)量關(guān)系，為問(wèn)題解決創(chuàng)造了非常有利的條件.與其他解法相比，這種解法運(yùn)算量小，求解過(guò)程非常簡(jiǎn)捷，是典型的“多思少算”型方法，體現(xiàn)了基本圖形的性質(zhì)在解決幾何問(wèn)題中的重要作用.

解析：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線EH，交CD于點(diǎn)H，交DF于點(diǎn)I.過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線FG，交EH于點(diǎn)G.因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以S△ADE=6.易知四邊形BFGE和四邊形AEHD都是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)易知S△EFG=S△BEF=4，S△ADE=S△DEH=6，F(xiàn)G=BE，DH=AE.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=BE.由此可知FG=DH.易知FG∥DH，所以∠IFG=∠IDH，∠FGI=∠DHI.在△FIG和△DIH中，因?yàn)椤螴FG=∠IDH，∠FGI=∠DHI，F(xiàn)G=DH，所以△FIG≌△DIH，所以S△FIG=S△DIH.從而可知S△DEF=S△DEI+S△EFG+S△FGI=S△DEH-S△DIH+S△EFG+S△FGI=S△DEH+S△EFG=10.

點(diǎn)評(píng)：這種解法通過(guò)構(gòu)造平行四邊形和“X型”全等三角形，成功構(gòu)建了△DEF的面積與△ADE的面積、△BEF的面積之間的數(shù)量關(guān)系，有效實(shí)現(xiàn)了“等積轉(zhuǎn)化”.這種解法計(jì)算量小，只需經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推理即可解決問(wèn)題.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解析：如圖5所示，連接AF.因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為24，所以S△ADF=12S菱形ABCD=12.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以S△ADE=14S菱形ABCD=6，S△AEF=S△BEF=4.由此可知S四邊形AEFD=S△AEF+S△ADF=16，所以S△DEF=S四邊形AEFD-S△ADE=10.

點(diǎn)評(píng)：隨著研究的不斷深入，對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)也會(huì)更加深刻，圖形中已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系也逐漸外顯化，從而可以得到更能反映問(wèn)題本質(zhì)的解法，這也是“一題多解”的魅力所在.

4"變式探究

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)，提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.解決問(wèn)題也許僅僅是獲得一個(gè)技能而已，而根據(jù)原有問(wèn)題提出新問(wèn)題，卻需要有新的思維突破與創(chuàng)造性思維.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，善于提問(wèn)是一個(gè)值得倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.提出問(wèn)題需要學(xué)生觀察、思考，需要借助想象力把知識(shí)和具體問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，也需要解放自己的創(chuàng)造力.在一定程度上可以說(shuō)，提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.基于此，給出問(wèn)題的幾個(gè)變式，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng).

變式1"如圖6，平行四邊形ABCD的面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn)，若△BEF的面積為4，求△DEF的面積.

變式2"如圖7，菱形ABCD的面積為24，點(diǎn)E在AB上，BE=2AE，點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn)，若△BEF的面積為8，求△DEF的面積.

5"結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生重視基本圖形的性質(zhì).不論多么復(fù)雜的幾何問(wèn)題，都是由基本圖形構(gòu)成的，考查的是基本圖形的性質(zhì).因此，基本圖形的性質(zhì)是解決幾何問(wèn)題的基本工具，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí).此外，教師要引導(dǎo)學(xué)生弄清楚解決幾何問(wèn)題的基本思路，即根據(jù)已知條件和圖形結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，添加輔助線是實(shí)現(xiàn)隱蔽的邏輯關(guān)系外顯化的重要手段.“一題多解”不僅是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的有效方法，而且是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新素養(yǎng)的有效途徑.

參考文獻(xiàn)

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.