凸顯理性思維，提升關鍵能力

摘"要：“三新”背景下的新高考，對于凸顯學生的數學理性思維的考查與應用更是潛移默化，成為全面提升學生數學關鍵能力的一個重要環節.本文結合2024年高考真題，從數學基礎、數學技能、數學思想以及數學過程等視角，合理加以切入與展開，剖析呈現理性思維的指導方向，有效提升關鍵能力，引領并指導數學教學與學習．

關鍵詞：理性思維；關鍵能力；數學思維

在“三新”背景下，數學學科成為高考這一選拔人才平臺的一個關鍵學科，對于育人價值、人才選拔、長遠發展目標等都起著重要的引領作用.數學學科成為重點培養學生理性思維的重要載體之一，教師引導學生在高中數學教學與學習過程中，合理構建、形成并發展數學思維，全面提升關鍵能力．

1"夯實數學基礎，完善知識結構

數學理性思維是依托數學基礎知識存在的.培養數學理性思維的過程綜合體現了學生對數學基礎知識的內涵與實質等方面的理解、掌握、感悟、積累與體驗，在這個過程中逐步培養并提升數學關鍵能力.數學“四基”也是依托數學基礎知識的，夯實數學基礎知識，掌握數學的本質與內涵，全面構建并完善數學知識體系與結構，才是學好數學的必經之路，也是全面發展數學理性思維的一個重要步驟．

例題"^^（2024年高考數學新高考Ⅱ卷第13題）amp;amp;已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，則sin（α+β）=""""．

分析：依托題設條件，并根據兩角和的正切公式進行三角函數值的求解；進而結合角的取值范圍限制以及不等式的性質，綜合三角函數正切值的正負取值情況來確定相關角的關系式的取值范圍，為進一步利用同角三角函數基本關系式來分析與求解創造條件．

解析：依題，由于α為第一象限角，β為第三象限角，可得π+2kπ＜α+β＜2π+2kπ，k∈Z．

由于tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，可得tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=－22＜0，則知3π2+2kπ＜α+β＜2π+2kπ，k∈Z，即α+β為第四象限角．

cos（α+β）=cos2（α+β）sin2（α+β）+cos2（α+β）=11+tan2（α+β）=13，則有sin（α+β）=－1-cos2（α+β）=－223，故答案為－223．

點評：此題屬于三角函數的綜合應用問題，是三角函數模塊中的基礎題型之一.

解題時確定相關角的關系式的取值范圍，成為解決問題的關鍵.三角恒等變換思維的根本就是借助三角恒等變換公式，合理通過兩角和或差、二倍角公式以及三角函數的其他基本公式來綜合與應用．

2"強化數學技能，確保全面落實

數學理性思維是滲透于數學基本技能之中的，其借助數學閱讀技能、數學作圖技能、數學推理技能、數學運算技能、數學歸納技能、數學表達技能等具體的基本技能來體現，從各個環節來凸顯理性思維.依托這些相關的、具體的數學基本技能，融合數學基礎知識，從而合理貫徹并落到實處，深入數學的本質與內涵，使得數學學習與數學解題更加規范、有序、嚴謹、快速、準確．

例題"^^（2024年高考數學新高考Ⅰ卷第6題）amp;amp;已知函數f（x）=-x2-2ax-a，x＜0，

ex+ln（x+1），x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（""）.

A. （－∞，0］""""B. ［－1，0］

C. ［－1，1］

D. ［0，+∞）

分析：直接法是解決此類分段函數問題時最為常用的一種技巧方法，通過直接分析函數在各段區間上的基本性質，包括單調性、最值等，以及函數圖象的變化情況與規律等，數形結合，直觀想象來分析與求解．

解析：依題，由于當x≥0時，函數f（x）=ex+ln（x+1）在［0，+∞）上單調遞增．

結合分段函數的圖象與性質，要保證當x＜0時，函數f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調遞增，只需滿足該二次函數的對稱軸在y軸的右側（包括y軸），同時在x=0處的取值小于等于f（0）即可，可知

--2a-2≥0，

-02-2a×0-a≤e0+ln（0+1），解得－1≤a≤0．

故a的取值范圍是［－1，0］，故選擇答案B．

點評：本題巧妙融合了分段函數、二次函數、指數函數與對數函數等相關的基本函數類型，借助函數的基本性質加以合理創設.

直接法的本質就是數形結合思維的直觀應用，必須做到“胸中有數”，“胸中有圖”，直觀想象，合理轉化．

3"感悟數學思想，規范技巧方法

數學理性思維是滲透于數學思想方法中的一個靈魂與主線，依托嚴謹的思維方法進行邏輯推理與數學運算.借助函數或方程進行函數與方程應用，利用“數”或“形”之間的變換來合理數形結合，通過整體與個體之間的關聯進行分類與融合，結合思維過程進行化歸與轉化，巧妙利用特殊與一般之間的辯證思維來應用等，都充分體現了數學思想方法中的理性思維.在數學教學與學習過程中，要借助數學基礎知識體系的學習來融合數學思想，規范技巧方法．

例題"^^（2024年高考數學新高考Ⅱ卷第7題）amp;amp;已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABC所成角的正切值為（""）.

A. 12""B. 1""C. 2""D. 3

分析：借助補形法思維，將對應的三棱臺問題轉化為一個更大的三棱錐問題，使得問題更加熟知，操作起來更加方便.通過比例關系來轉化棱長的比例、體積的比例等關系，利用補形后正三棱錐高的特點來轉化與求解．

解析：依題，如圖1所示，將正三棱臺ABC-A1B1C1補成正三棱錐P-ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角．

因為PA1PA=A1B1AB=13，則VP-A1B1C1VP-ABC=127，可知VABC-A1B1C1=2627·VP-ABC=523，則VP-ABC=18．

設正三棱錐P-ABC的高為d，則VP-ABC=13·d×（12×6×6×32）=18，解得d=23．

取底面ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO=23．

PA與平面ABC所成角的正切值為tan∠PAO=POAO=1，故選擇答案B．

點評：此題依托正三棱臺的立體幾何背景，合理通過空間幾何體的結構特征與幾何性質的應用，巧妙轉化，空間想象.解題時通過立體幾何問題中數形結合思想、化歸與轉化思想等，實現問題的巧妙轉化與突破.補形法思維的根本就是回歸空間幾何體的本質，逆向思維來分析與處理一些臺體與錐體之間的結構特征與幾何性質問題．

4"重視數學過程，積累解題經驗

數學理性思維是基于數學過程形式構建并完善的.數學學習過程與數學解題過程，就是一個數學思維方式的形成與表達過程，在這個過程中，沒有過程等同于沒有思想，沒有思想就沒有進行合理的化歸與轉化，實現問題的突破與求解.教師應引導學生正確經歷數學學習過程形式，充分理解與感悟，從而不斷積累數學解題經驗，形成良好的解題習慣，在這個過程中合理抽象解題智慧與技巧方法．

例題"^^（2024年高考數學新高考Ⅰ卷第13題）amp;amp;若曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+a的切線，則a=""""．

分析：在解決一些涉及定切線而不定切點的公切線問題，往往要結合問題實際，通過合理的解題思維過程，先合理設出對應的切點，再結合導數的幾何意義以及直線的方程等來直接分析與求解，實現問題的切入與應用．

解析：依題，由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1，結合導數的幾何意義可知該曲線在點（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2，此時對應的切線方程為y=2x+1．

由曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1，設曲線y=ln（x+1）+a上的切點為B（x0，ln（x0+1）+a），結合導數的幾何意義可知該曲線在點B處的切線的斜率為k=1x0+1，此時對應的切線方程為y－［ln（x0+1）+a］=1x0+1（x－x0），即y=1x0+1x－x0x0+1+ln（x0+1）+a．

結合題設條件可得1x0+1=2，

－x0x0+1+ln（x0+1）+a=1，解得x0=-12，

a=ln2，即a=ln2，故答案為ln2．

點評：在解決此類問題時，借助基本的思維過程，通過直接法來分析與處理.直接法是解決此類曲線的公切線綜合應用問題時比較常用的一種“通性通法”，數學運算量往往比較大.當然，在實際解題過程中，直接法基礎上的不同視角，也給問題的具體解析創造不同的方式與方法．

5"結語

在“三新”背景下，高考數學試題更加靈活多變，更加新穎，更好地落實數學基礎.合理減少試題量，給考生以足夠的時間去感悟，突出理性思維，有效克服“機械刷題”的不良影響，其本質與內涵都緊緊圍繞著凸顯理性思維這一關鍵點而展開，真正要求考生將數學基礎知識、數學基本技能、數學思想方法與數學過程形式等理解透徹，學會思考，從而真正由學科應試能力的訓練轉向數學核心素養的培育．

鑒于此，作為數學學科中核心素養的一個靈魂之一——理性思維，在平時數學教學與學習中，教師要合理巧妙將數學基礎知識、數學基本技能、數學思想方法與數學思維方式等融入教學與學習中去，將數學應用、數學探究、數學文化等學科素養聚焦到理性思維的主線上，從而凸顯理性思維的應用，逐步提升學生的關鍵能力．