APOS理論與高中數學概念教學的融合策略研究

摘"要：APOS理論將數學學習劃分為四個階段，并從學生的學習動態發展中凝練出了若干基礎概念.距離作為其中之一，與學生的終身學習有著緊密聯系.本文立足學生對距離概念的掌握，圍繞APOS理論建構出具有可行性的高二學生數學概念發展方案，以期為發展學生數學概念提供參考.

關鍵詞：APOS理論；距離；數學概念

距離作為數學教學中的一個基礎概念，課程教學內容覆蓋范圍廣，衍生范圍較為復雜，與之相關的數學問題具有顯著的階梯形特征，對這一數學概念的教學是高中數學的重點內容.本文將APOS理論作為基礎理論，結合實際經驗與教學案例，對數學概念發展因素進行分析整合，明確學生對距離這一數學概念的掌握與發展情況，圍繞上述內容做教學設計，并驗證APOS理論在促進學生數學概念發展方面的積極作用.

1"基于APOS理論的距離概念發展的教學策略

APOS理論將學習分為活動、過程、對象、圖式四個階段.教師在不同階段需要采取不同的策略進行教學.

1.1"精心設置課堂情境，學生直觀感受概念

從教學實踐可知，大部分學生對距離這一概念的平均掌握度和正確應用情況較高，能夠在數學問題解決和實際應用中正確掌握距離這一概念.但仍有小部分學生，因為抽象思維有待發展，對距離這一概念的掌握度不高，在表示距離和用距離解決實際數學問題時可能會出現錯誤.因此，在活動階段，教師可以利用創設情境的方式提高學生對概念的掌握度，進而促進概念發展.課堂情境創設與傳統教學相比，對概念的直接體現程度不高，但是教師可以利用創設具體直觀的情境方式讓學生潛移默化地感受概念內涵，同時搭配使用直觀的生活實例作為知識引入，能夠顯著促進學生的概念發展.［1］APOS理論強調具體操作的實踐和重復，使學生能夠在概念的反復提及中潛移默化地發展概念，完善自身認知結構.教師可以在學生初次接觸新概念知識的導入環節設計針對性情境活動，結合學生的認知水平和學習能力，參照學生的最近發展區，設計具有指向性和針對性的教學方案.例如，在“兩點之間的距離”這一概念學習中，學生需要具備一定的空間想象力，可以在腦海中構建出兩個“點”的實體思維.學生可以利用動手測量的直觀方式構建思維對象，進而更深入地理解這一概念內涵.同時，新概念的解讀與學習完成后，教師需要帶領學生充分定義概念，讓學生能夠在問題指引下思考問題、解決問題，有利于下一階段教學發展.

1.2"學生深度參與課堂探究和思考，體會概念形成過程

APOS理論作為一種過程性的研究性理論，將數學學習過程進行了細致劃分，并提倡利用問題驅動的方式，促進學生的概念發展.在過程階段，教師需要利用設計問題的方法，幫助學生深入理解直觀情境和外部客觀世界的聯系，強化理論概念與實際問題運用的聯系.從教學實踐經驗可知，學生在過程階段的概念掌握與學習內化程度較高，面臨的主要困難是學生對抽象概念和復雜問題處理的不適應性.在學習過程中，教師可以利用設計問題鏈的方式，促使學生自主探究、深入分析，強化學習主動性.利用問題驅動的方式，能夠為學生產生有意義的學習行為提供目標指引，為學生的課堂學習提供目標指引.［2］在問題驅動下學生能夠以良好的驅動效應，并在持續的探索活動中逐步掌握概念內涵，生成對概念發展的獨特理解.利用問題鏈設計的方法，可以幫助學生搭建起良好的知識結構和概念體系，實現知識的靈活運用.

在多樣的教學活動中，學生能夠在自身的知識體系下構建出一定的概念表象，但這一表象仍缺乏基礎支撐，可能會存在學生對概念的淺表化理解，而沒有對概念產生深入的分析和掌握.APOS理論強調生本位原則，關注學生在學習中的主體地位，并促使學生利用自我驅動和探索的方式，實現對知識的自主建構.在此期間，教師不再是課堂的主導者，而是學生學習的指引者，需要為學生提供針對性的學習輔助，強化學生求知過程的自發性.在這種生本位學習模式中，學生能夠實現對知識的主動探索，從而確保數學概念的穩定發展，是學生終身學習的基礎部分.在此階段中，學生對距離概念的發展掌握，逐步實現從平面或坐標系中的直觀的線段向抽象距離參數的轉變，并能夠在解決實際問題的過程中，自主應用這一公式.同時，教師也需要引導學生實現新舊知識之間的對接，立足原有知識框架生成對新知識的獨特理解，有利于學生后續概念的學習發展.

1.3"教師布置學習任務，學生厘清概念本質

APOS理論對學生數學學習的四個階段劃分，可將其延伸到對概念理解的深化過程中.從實際情況來看，學生在對象階段對概念的掌握有所下降，對相關習題的解題應用可能存在一定的理解偏差，學生概念發展整體水平出現顯著的下滑趨勢.因此，教師的教學重點需要從概念的淺表化理解，過渡到對距離概念的持續深化方面.首先，利用多樣化的學習活動，強化學生對距離概念認知的深度理解，并使其在實踐操作中對距離概念的特點和數學因素有一定的深入感悟.這也就意味著學生能夠從數學語言方面對距離概念做出一定解釋，在明確概念內涵的過程中掌握距離概念，并將其運用到解決實際問題過程中.［3］此階段是學生數學概念發展的重要階段與核心環節，重點關注學生對概念本質的深刻把握，能夠脫離對概念的表象理解在具體問題中進行應用.教師在教學中需要關注學生抽象思維和數學能力的提升，使學生能夠利用概念思維解決實際問題，提高學生解決具體問題的能力.

APOS理論認為學生學習是一種階段性過程，在對象階段前學生對數學概念的掌握仍大量停留表層階段，能夠對概念具有一定基礎認識但缺乏清晰理解.對象階段需要教師利用重復的多樣聯系，幫助學生內化概念認知，提高對概念的持續性認知.概念發展學習需要重復多次聯系的主要原因在于空間距離概念對學生的空間想象力具有一定要求，許多學生往往缺乏對空間想象的構建.教師此階段的重點在于將空間問題轉化為直觀的平面問題.例如，在處理平面外一點到平面的距離問題時，教師就可以將其轉化為兩點之間的距離；可以利用過定點作平面的垂線的方式將三維空間問題轉化為二維平面問題.在這種問題轉化下，學生的思維體系構建更加全面，知識點理解更加深刻，能夠實現復雜問題向直觀問題的轉化生成，進一步提高新舊知識的對接和思維碰撞.教師需要關注學生對知識的聆聽與分享，幫助學生補充完善自身觀點，進一步拓寬思維廣度.

為了提高教學效果，教師需要從學生的知識輸入和輸出兩方面著手，幫助學生傾聽他人回答，并有勇氣自主表達.在小組合作探討的過程中，教師應幫助學生加強問題合作，促進思維碰撞，使學生在集思廣益的合作中相互激勵，生成學習內驅力.例如，在“點到直線距離”這一概念的學習過程中，教師不需要急于向學生灌輸公式，而應引導學生自行推導公式內容.在課前導入階段，讓學生認真傾聽其他同學的觀點，接受其他同學評價，關注生生互評和學生自評的有效應用，使學生對距離概念產生更深刻的理解，并搭建完善的知識結構.在自主探究和定理推導過程中，引導學生在深刻反思中產生個人理解，搭建知識結構，進而將距離這一特殊概念演化為自身的獨特概念.在這種具有較強綜合性和反思性的學習引導中，學生能夠持續重復地加強對距離這一概念的理解，進而掌握數學概念的深層次含義.在這種情況下，數學概念不再是分離于學生知識體系的一種陌生事物，而是融入學生知識體系中成為學生掌握知識的一部分，從而使概念發展上升至圖式階段.

1.4"學生注重過程和對象統一，建構聯系性的知識系統

圖式階段是學生對概念掌握的最終階段，也是最困難的一種生成階段.從教學實際來看，只有少部分學生能夠正確掌握距離概念的用法，大部分學生的數學概念發展無法達到圖式階段.此階段中，學生能夠對距離概念進行高度泛化，具體表現為概念的深度抽象與綜合理解，此階段的學生能夠從其他概念角度進行知識分析，并用距離公式解決實際問題.APOS理論強調學生在圖式階段中的過程性生成，學生在圖式階段的概念發展重點在于統一學習對象和學習過程，并依據過程性學習實現圖式形成的階段性特征，學生能夠基于對問題的現有理解和情境分析，逐步構建出完整的學習體系和綜合性心理圖式結構.在這種圖式結構下，學生可以在復雜情境和抽象操作中生成對數學概念的綜合理解，也體現了學生對這些概念的實際運用，生成問題解決能力.因此，教師需要引導學生對課堂所學知識進行反思，利用繪制圖表和思維導圖等方式，系統梳理和總結所學知識內容.

2"APOS理論指導下的教學設計

筆者通過前文分析研究得出的策略，圍繞APOS理論的各個階段進行教學設計，將人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中“兩條平行線間的距離”作為設計案例，探究在活動、過程、對象階段的實施方案，旨在將教學策略具體應用到實際的教學設計中，為學生數學概念的發展提供參考.

2.1"活動階段：創設情境，引入概念

教師活動：帶領學生回憶以往學習的距離知識，總結鞏固兩點間的距離公式和點到直線的距離公式，進而引申出平面上的距離和兩條直線的距離問題.

思考：立定跳遠是體育課的一項體育運動，請同學們思考測量跳遠距離是什么距離？

問題"已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？

【設計意圖】用立定跳遠這一學生熟悉的運動，創設問題情境，實現抽象數學概念的直觀轉化.學生能夠在情境思考中對以往學習的知識進行全面梳理，實現抽象知識與現實生活的緊密聯系.

2.2"過程階段：類比探究，感知概念

師生活動：教師提煉教學重點，引導學生對平行線間的距離這一概念進行探討，并說出有關這一概念的定義.

教師出示平行線間的距離有關圖示；板書平行線間的距離定義；根據平行線間的距離定義內容，在板書中畫出兩點與直線之間的距離圖示，并帶領學生思考兩點與兩條平行直線之間的距離，簡化平行線間距離的轉化過程.

2.3"對象階段：辨析理解，深化概念

例1"已知兩條平行直線l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求l1與l2間的距離.

分析：問題重點在于掌握點到直線的距離公式，具體體現為直線l1與l2間的距離.

思考：怎樣提高計算效率，達到最優計算效果？

例2"求證：兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離為d=|C1-C2|A2+B2.

分析：兩條平行直線間的距離即為這兩條平行直線中的一條直線上的一點到另一條直線的距離.

【設計意圖】理解由特殊和一般推導出兩條平行直線間的距離公式.

3"結語

數學概念作為數學教學中的重要組成部分，對于學生數學終身學習有著重要的基礎作用.APOS理論將數學學習劃分為活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段四部分，在高中數學概念發展中的應用，能夠顯著提高學生數學概念的內化生成.本文以距離這一基本概念為例，研究探討了基于APOS理論的學生數學概念發展，并精心設置課堂情境，讓學生直觀感受概念、深度參與課堂探究和思考，體會概念形成過程.教師布置學習任務，以期幫助學生厘清概念本質、注重過程和對象統一，歸納建構聯系性的知識系統設計策略，從而為提高高中生距離概念的發展提供有價值的參考.

參考文獻

［1］馮永.APOS理論指導下的數學教學探索與研究——以“函數的奇偶性”教學為例［J］.數學教學通訊，2024（30）：49-51.

［2］段洪坤.基于APOS理論的高中數學概念教學——以“數系的擴充和復數的概念”為例［J］.數理化解題研究，2024（18）：7-9.

［3］賀煒.基于APOS理論的高中數學概念教學設計與實施——以“三角函數的概念”為例［J］.新課程，2024（16）：30-32.