研發初高中銜接拓展課程，促進資優生發展

摘"要：初高中銜接得到越來越多的初中數學教師的關注和研究.教師除了補充一些初中教材沒有的數學知識、性質或定理之外，適當關注全國高考數學試卷中隱含著的初中數學內容，將其改編為符合初中學生認知的挑戰題，并在鋪墊式問題的啟發之下，讓學生自主探究挑戰題的解題思路，解題之后安排學生回顧反思，積累經典問題的解題策略，可以有效促進資優生解題能力的提升．

關鍵詞：初高中銜接；拓展課程；資優生；圓的較難題

1"例題介紹

《高考試題分析數學（2025年版）》一書中對“2024年高考理科數學（全國甲卷）第20題”給出詳細解析之后進一步反思回顧，提到以下一道平面幾何與圓有關的較難題．［1］

例題"如圖1所示，過⊙O外一點P，作⊙O的切線PA，切點為A.過點A作弦AB⊥OP，垂足為C.點Q在優弧AB上（不與點A，B重合，也不在射線OP上），連接QP交⊙O于點G，過點G作GN⊥AB，垂足為N，連接QN并延長交PC于點M.求證：M為PC的中點．

這道圓的較難題對于初中學生來說有較大的挑戰，解題過程中既需要構造輔助線、識別一些基本圖形，又需要在不同的基本圖形中轉換求解思路，對學生平面幾何證題能力提出了較高的要求.筆者近期在給九年級資優生開設拓展課程時，確定加強初高中銜接為課程的教學目標之一，于是圍繞這道較難題的求解，研發一節專題拓展課例，執教之后，取得較好的教學效果，本文整理該課教學設計，作為初高中銜接拓展課程的課例素材以供同行分享和研討．

2"與圓有關較難題的解題教學設計

教學環節（一）：從兩個基本圖形出發.

例1"如圖2所示，從⊙O外一點P作⊙O兩條切線PA，PB，連接AB交OP于點C.你發現了圖中哪些結論？

例2"如圖3所示，AC，BD相交于點E，AD∥EF∥BC.用等式寫出線段AD，BC，EF之間的數量關系．

教學預設：例1和例2涉及兩個基本圖形.

例1的設問完全放開，讓學生把可能的結論或性質都梳理出來；例2的結論為1AD＋1BC＝1EF，可借助兩組相似三角形得到比例式EFBC＝AFAB和EFAD＝BFAB，再將兩個比例式相加變形可得結論．

教學環節（二）：變式思考.

例1變式"如圖4所示，在例1題干的基礎上，點Q在優弧AB上（不與點A，B重合，也不在射線OP上），連接PQ交⊙O于點G，連接QC并延長交⊙O于點E，連接PE．

（1）求證：PO平分∠QPE.

（2）過點G作GF∥PO交QE于點F，交AC于點M（如圖5）.判斷點M是否為線段FG的中點，并說明理由．

教學預設：第（1）問的關鍵步驟是證明四點O，Q，P，E在同一圓上，結合OQ＝OE就可得PO平分∠QPE.四點O，Q，P，E在同一圓上可以通過乘積式QC·EC＝AC·BC＝AC2＝OC·PC代換得出.第（2）問的關鍵步驟是證明△FCG是等腰三角形，先連接GC，再借助上一問的結論，導角得到CM平分∠FCG，結合CM⊥FG，從而得到△FCG是等腰三角形，由“三線合一”性質可得點M是線段FG的中點．

例2變式"如圖6所示，在例2題干的基礎上，連接CD，延長FE交CD于點G．

（1）求證：E為FG的中點.

（2）如圖7所示，延長BA，CD交于點P，作射線PE與AD，BC分別交于點M，N.判斷點M，N是否分別為AD，BC的中點，并說明理由．

教學預設：第（1）問在例2已證結論的基礎上，同理可證1AD＋1BC＝1EG，等量代換得1EF＝1EG，所以EF＝EG，即E為FG的中點.第（2）問繼續借助三角形相似，如△PAM∽△PFE，可得比例式AMEF＝PMPE；△PDM∽△PGE，可得比例式DMEG＝PMPE；結合第（1）問中已得EF＝EG，可證得AM＝DM，同理BN＝CN，故點M，N分別為AD，BC的中點．

教學環節（三）：挑戰難題.

教學預設：有了例1變式的基礎，從軸對稱的角度將圖1補成圖8，已有進展是△ECG是等腰三角形，N是線段EG的中點；再借助例2變式的研究進展，可以證得點M是線段PC的中點．

預設追問"如圖1所示，將較難題的條件和結論“部分置換”（其余條件不變），設PC的中點為M，連接QM交AC于點N，連接GN，求證：GN⊥AB．

教學預設：如圖9所示，運用“同一法”，先構造等腰三角形△ECG，設EG與AC相交于點N′，由前面的證明可知點N′是EG中點，且GN′⊥AB，再延長QN′交PC于點M（恰是PC中點M），根據“同一法”知，點N，N′重合，即GN⊥AB．

教學環節（四）：課堂小結.

小結問題1"本課解題學習過程中遇到不少基本圖形，你對哪些基本圖形印象深刻，舉例說說.

小結問題2"與圓有關的較難題常常需要看出“四點共圓”，你積累了哪些識別“四點共圓”的經驗？

布置作業：課后完整梳理本課習題的詳細解題思路，并對一些基本圖形進行標注，對一些基本圖形中包含的重要性質或結論要分離圖形后歸類整理．

3"關于初高中銜接拓展課程的教學思考

3.1"研發拓展課程，促進資優生發展

當前，不少地區優質高中都開展了不同類型的自主招生考試，其中數學作為必考科目，其成績所占比重也較大，這也促使一些初中學校更加重視數學資優生的培養.盛志榮、周超等研究者在研究

中關于影響數學資優生發展的因素時曾指出：“普通課程會使資優生失去興趣、降低學習動機，因而影響學習成效.導致資優學生低成就的原因之一就是缺乏挑戰性的課程.”［2］可見，數學資優生培養的關鍵在于研發具有挑戰性的拓展課程.教師可以從高考試題中找尋適合初中學生的拓展題例，并適當改編，研發初中學生能夠理解和挑戰的拓展課程．

3.2"預設鋪墊問題，啟發較難題思路

筆者曾結合“相似三角形”解題教學提出習題課備課的兩點思路：一是習題課的備課要圍繞訓練主線精選并編排習題；二是對于習題課中擬訓練的拓展題、較難題，要精心預設“鋪墊問題”.［3］上文呈現的拓展專題課例，是圍繞一道圓的較難題展開的解題教學，但開課階段筆者并沒有直接出示這道圓的較難題，而是引導學生從兩個基本圖形出發，對其進行變式拓展之后，再出示較圓的較難題.學生在前序問題的暗示和啟發之下，往往能自主發現較難題的思路，達到順利解題的教學目標．

3.3"重視解后回顧，引導反思與積累

涂榮豹教授在《數學學習中的概括》一文中曾指出：“把具有共同特征的數學對象結合起來進行考查，尋找和抽取其中內在關系和規律的不斷發展的思維活動方式或思維動作.”［4］具體落實在解題教學中，教師要重視解后回顧環節，如上文課例的“教學環節（四）”，可以通過預設小結問題，引導學生學會反思、精準概括并積累解題策略.此外，由于拓展課程往往會涉及較難習題，課堂教學時往往側重在解題思路的突破與分析，導致難以分配出時間讓學生整理詳細、規范的解題步驟，教師在課后還要安排學生將本專題所學較難題的解題過程進行規范表達，這也是拓展課程解后回顧、反思和提升的重要環節．

參考文獻

［1］教育部教育考試院.高考試題分析數學（2025年版）［M］.北京：語文出版社，2024．

［2］盛志榮，周超.國際數學資優教育的研究綜述［J］.浙江教育學院學報，2010（3）：9-15+60．

［3］周紅娟.聚焦主線 精心預設——“相似三角形習題課”的觀課與再設計［J］.初中數學教與學，2024（4）：29-31+7．

［4］涂榮豹，陳嫣.數學學習中的概括［J］.數學教育學報，2004（1）：17-22．