合理性反思：在數(shù)學(xué)解題中發(fā)展高階思維

摘"要：解題后的合理性反思可以提高創(chuàng)造性思維，發(fā)展高階思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出如下用合理性反思發(fā)展高階思維的策略：反思解題方法，優(yōu)化解題思路；反思問(wèn)題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通；反思易犯錯(cuò)誤，突破思維定式；反思拓展價(jià)值，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：合理性反思；數(shù)學(xué)解題；高階思維

當(dāng)下，不少學(xué)生常常由于解題習(xí)慣在解題后不進(jìn)行反思，也有一些學(xué)生由于課業(yè)負(fù)擔(dān)重在解題后沒(méi)有時(shí)間反思，長(zhǎng)此以往，使得思維無(wú)法融會(huì)貫通，更談不上高階思維的培養(yǎng)與發(fā)展.大量教學(xué)實(shí)踐表明，解題后的合理性反思可以提高創(chuàng)造性思維，發(fā)展高階思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).那么，該從何處著手？又該如何展開(kāi)解題后的合理性反思呢？筆者認(rèn)為，在解題后可以反思題目的意思，促進(jìn)對(duì)題意的更深理解；可以反思解題中的知識(shí)點(diǎn)和思維方法，為后續(xù)的舉一反三做準(zhǔn)備；可以反思技能和技巧的運(yùn)用，以提升自身的解題能力.［1］下面，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐展開(kāi)分析，提出通過(guò)解題后的反思來(lái)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生高階思維的策略.

1"反思解題方法，優(yōu)化解題思路

在數(shù)學(xué)解題中，一道題往往有多種不同的解法，部分學(xué)生可以從自身的思維水平和認(rèn)識(shí)水平出發(fā)展開(kāi)思考，生成不同的解法.若能在較短的時(shí)間內(nèi)選擇最簡(jiǎn)潔的方法解決問(wèn)題，想必對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有極大的促進(jìn)作用.基于此，學(xué)生的題后反思，需要針對(duì)解題方法，去反思自己的思路與別人的思路有何不同，誰(shuí)的更簡(jiǎn)潔，為什么沒(méi)有想到這樣簡(jiǎn)潔的方法，該從何處著手改進(jìn)等.倘若在解題后能及時(shí)反思解題方法，則可以打開(kāi)思維通道，獲取和掌握更多的解法，從而盤活數(shù)學(xué)，在后續(xù)的解題中游刃有余.

例題"如圖1所示，小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬分別為a和b，且agt;b.用7張這樣的紙片按照?qǐng)D2所示的方法不重疊地放在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，并用陰影表示出未被覆蓋部分（2個(gè)大長(zhǎng)方形）.設(shè)2個(gè)陰影部分的面積之差是S（左上角的面積大于右下角），隨著B(niǎo)C長(zhǎng)度的變化，在擺放位置不變的情況下S始終不變，那么a和b間應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系？

分析：此類問(wèn)題常常會(huì)令學(xué)生找不到解決問(wèn)題的路徑，從而花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間與精力，盡管最終能解決問(wèn)題，但也會(huì)由于花費(fèi)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)而影響整個(gè)練習(xí)或考試.面對(duì)這樣的問(wèn)題，也有學(xué)生能在較短時(shí)間內(nèi)探尋到解題思路，即通過(guò)題中的關(guān)鍵句“隨著B(niǎo)C長(zhǎng)度的變化，在擺放位置不變的情況下S始終不變”，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上類似于“（x+1）（2x2+ax+1）的計(jì)算結(jié)果中不含x2”，也就是說(shuō)，只需展開(kāi)這個(gè)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的式子，并令x2項(xiàng)的系數(shù)為0即可.有了這樣的思路，問(wèn)題解決起來(lái)就簡(jiǎn)單多了.可以將S用含BC的代數(shù)式表示出來(lái)，假設(shè)左上角的面積為S1，右下角的面積為S2，根據(jù)題意有S=S1-S2=（BC·3b-3ab）-（BC·a-4ab）.因?yàn)闊o(wú)論BC如何變化，S都無(wú)變化，則有3b-a=0，則a=3b，從而使問(wèn)題獲解.

事實(shí)上，對(duì)于本題的解答而言，想要優(yōu)化解法，需從分析和思考題意出發(fā)，通過(guò)知識(shí)的類比探尋最優(yōu)解法，如此才能讓數(shù)學(xué)解題輕松且流暢，同時(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維能力.

2"反思問(wèn)題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

問(wèn)題并非孤立存在的，有些看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的問(wèn)題實(shí)則有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.學(xué)生在解題的過(guò)程中就不能就題論題，而需在解題后反思問(wèn)題的本質(zhì)，探尋問(wèn)題間的本質(zhì)聯(lián)系，多質(zhì)疑、多反思，則可以通過(guò)知識(shí)的溝通和整合豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu).基于此，學(xué)生想要在數(shù)學(xué)解題的道路上實(shí)現(xiàn)“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”，需在解題后適時(shí)反思題目的本質(zhì)，這樣一來(lái)，不僅可以掌握一道題的解題方法，還能學(xué)會(huì)解一類題，真正意義上實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通、舉一反三，促進(jìn)高階思維能力的發(fā)展.

例題"往返于甲、乙兩城的火車共有4個(gè)停靠點(diǎn)，則該火車一共有多少種不同的票價(jià)？該火車上需準(zhǔn)備多少種車票？

分析：解決本題，問(wèn)題不大，不少學(xué)生能在較短時(shí)間內(nèi)給出結(jié)果，但極少有學(xué)生對(duì)這樣簡(jiǎn)單的題目展開(kāi)反思.事實(shí)上，反思這道例題的本質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)，該題所考查的是線段的定義，即隨著路程的長(zhǎng)短變化票價(jià)變少或變多，所以此處的票價(jià)也就是線段數(shù).在學(xué)生能準(zhǔn)確描述問(wèn)題本質(zhì)之后，教師不妨以追問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生試著提出類似的問(wèn)題，使學(xué)生在深度思考之后能提出“如圖3所示，線段AD上有B、C兩點(diǎn)，則圖中共有哪幾條線段”這樣的觸及核心的問(wèn)題，也能提出“如圖4所示，你能數(shù)出圖中一共有多少個(gè)三角形嗎？試著表示出來(lái)”這樣的變式問(wèn)題.顯然，經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的思考，學(xué)生在解決這些問(wèn)題時(shí)信心十足，大大提高了解題的質(zhì)量.

問(wèn)題拋出的形式千變?nèi)f化，只有在解題后探尋其本質(zhì)，才能真正意義上讓學(xué)生掀開(kāi)問(wèn)題形式的面紗，觸及問(wèn)題的本質(zhì)，以深化對(duì)知識(shí)與方法的領(lǐng)悟，從而提高自身的解題能力.

3"反思易犯錯(cuò)誤，突破思維定式

經(jīng)歷過(guò)考試的學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，考試中的題目大多是平時(shí)練過(guò)的習(xí)題，但在考試中卻還是模模糊糊，事實(shí)上這是因?yàn)椴](méi)有真正弄懂問(wèn)題，或雖懂卻不熟，又或是當(dāng)時(shí)懂卻沒(méi)有總結(jié)提升.針對(duì)這些問(wèn)題，筆者認(rèn)為在解題的過(guò)程中反思易錯(cuò)之處，只有不斷質(zhì)疑和反思才能突破思維定式，從而提高解題速度和能力，自然而然地發(fā)展創(chuàng)新思維.

例題"學(xué)校某社團(tuán)中女生人數(shù)占全團(tuán)人數(shù)的一半，若減少6個(gè)女生，則女生人數(shù)就占全團(tuán)人數(shù)的13，試求該社團(tuán)的人數(shù).

分析：學(xué)生在思考后易形成如下錯(cuò)解，即設(shè)該社團(tuán)有x人，根據(jù)題意可得12x-6=13x，解得x=36.錯(cuò)誤已然形成，但由于題目在設(shè)計(jì)上的巧妙使得學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，原因在于錯(cuò)解后的答案依舊是一個(gè)正整數(shù).教師引導(dǎo)學(xué)生合理性反思，不難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源在于思維定式影響下，學(xué)生僅僅感知到了女生的減少，而沒(méi)有意識(shí)到整個(gè)社團(tuán)人數(shù)也隨之減少.經(jīng)過(guò)深度反思，學(xué)生切實(shí)明晰了該類問(wèn)題的解題要義，從而列出正確的等式.

這樣的“犯錯(cuò)—反思—糾錯(cuò)”的過(guò)程不僅使得問(wèn)題得以修正，更重要的是對(duì)思維定式的一次警醒，使學(xué)生在反思中厘清，在糾錯(cuò)中提升，提高了自己的反思能力和歸納能力.

4"反思拓展價(jià)值，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

倘若在解題完成后僅僅是就題論題式反思，那么這樣的反思是淺顯的、浮于表面的.［2］基于此，學(xué)生應(yīng)在解題之后反思題目的拓展價(jià)值，多多反思“本題可以一題多解嗎？解法間是否存在某種本質(zhì)聯(lián)系？若改變某個(gè)條件是否能通過(guò)一樣的解題思路得到相同結(jié)論？若結(jié)論不相同，又與原結(jié)論有某種聯(lián)系嗎？本題可以拓展、引申或推廣嗎”.只有經(jīng)歷這樣的反思過(guò)程，才能挖掘其拓展價(jià)值，深化思維的同時(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新能力，提高解題能力.

例題"如圖5所示，已知△ABC中，∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)P.

（1）若有∠ABC+∠ACB=100°，則∠BPC="""".

（2）若有∠A=80°，則∠BPC="""".

（3）試探索∠A和∠BPC間的關(guān)系.

分析：在思考后，學(xué)生能利用三角形內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)直接求解，也能作輔助線，并先用三角形外角和性質(zhì)，再利用角平分線性質(zhì)求解.進(jìn)一步地，學(xué)生深度反思本題的拓展價(jià)值，并提出變式問(wèn)題“如圖6所示，BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，試探索∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系”和“如圖7所示，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，試探索∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系”.

這樣的變式練習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)解題的快樂(lè)，同時(shí)使學(xué)生的思維得以發(fā)散，并水到渠成地形成問(wèn)題意識(shí).

5"結(jié)語(yǔ)

合理性反思對(duì)于數(shù)學(xué)解題而言十分重要，不僅可以切實(shí)提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，還能在反復(fù)錘煉中發(fā)展思維能力，使學(xué)生的思維逐步走向高階.數(shù)學(xué)教學(xué)要掌握學(xué)生的心理之門和思維之道，用適切的方式引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)合理性反思，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷反思的過(guò)程，培養(yǎng)高階思維能力，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處.

參考文獻(xiàn)

［1］秦明華，賓秀芳.淺談高中數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（6）：29-33.

［2］陳明儒.追根究因 方能明理——一道中考選擇題的錯(cuò)因分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（8）：90-91.