基于“構造法”的高中數學解題思路探索

摘"要：“構造法”是一種構造性解題方法，基本思路是借用甲類問題的性質去研究和解決乙類問題.當面對不能直接求解的數學問題時，可以換個角度，通過觀察和分析，根據題設中已知條件及關系式的特點，構造出有關的輔助元素或模型，讓原本不夠清晰的關系在新結構中變得清晰明朗，便于簡捷地解決問題.

關鍵詞：構造函數；輔助元素；構造方程；構造圖形

在高中數學解題過程中，往往會遇到按正常的求解、證明或推理思路不能順利進行的情況，這時就需要另辟蹊徑，設法構造一個與題目有關的輔助命題或圖形，以便在已知條件與未知結論之間搭起一座溝通的“橋梁”［1］，即通過構造出一個數學模型來完成解題，這就是構造法解題的思路.

運用構造法不僅能夠達到“化晦為明、化繁為簡、簡捷明快”的解題效果，而且有利于培養和激發學生一題多解的創造性思維能力.

1"構造輔助元素

構造輔助元素是構造法解題最常見的一種形式與方法.構造輔助元素是多種多樣的，如構造函數、方程（組）、不等式、恒等式、數列（組）、對稱式、復數、向量、圓錐曲線以及輔助命題等.

1.1"構造函數證明不等式

構造函數是證明不等式的一種重要方法，基本思路是先仔細分析待證不等式的特征與結構，然后構造對應的函數，將不等式問題轉化為函數問題，最后再綜合不等式與函數的知識予以證明.其中合理構造函數是關鍵.

1.1.1"構造一次函數

例1"已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）lt;1.

解析：設f（x）=（1-y-z）x+y+z-yz-1，0lt;xlt;1.

把y，z看作常數，則f（x）是關于x的一次函數.

∵f（0）=y+z-yz-1=-（y-1）（z-1）lt;0，f（1）=（1-y-z）+y+z-yz-1=-yzlt;0.

∴對于0lt;xlt;1，都有f（x）lt;0，即（1-y-z）·x+y+z-yz-1lt;0.

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）lt;1.

思路探索：本題是把y，z看作常數，通過構造一次函數，利用一次函數的單調性來證明不等式.

1.1.2"構造二次函數

例2"已知α，β，γ為任意三角形的三個內角，求證：x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ對于任意實數x，y，z總成立.

解析：令f（x）=x2-2x（ycosα+zcosγ）+y2+z2-2yzcosβ.

∵Δ=4（ycosα+zcosγ）2-4（y2+z2-2yz·cosβ）

=4y2（cos2α-1）+8yz（cosαcosγ+cosβ）+4z2（cos2γ-1）=-4y2sin2α+8yz［cosαcosγ-cos（α+γ）］-4z2sin2γ

=-4y2sin2α+8yzsinα·sinγ-4z2sin2γ

=-4（ysinα-zsinγ）2≤0.

∴f（x）≥0.

∴x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

思路探索：本題將待證式構造為x的二次函數式，只要證明f（x）的圖象不在x軸下方即可.根據f（x）=ax2+bx+c（agt;0），若Δ≤0，則f（x）≥0；反之，若f（x）≥0，則Δ≤0.依此來構造二次函數是常用的方法.

1.1.3"構造三次函數

例3"已知三角形ABC的三邊長為a，b，c，且滿足a+b+c=1，求證：5（a2+b2+c2）+18abc≥73.

解析：由題設可得a2+b2+c2=1-2（ab+bc+ca），

所以原不等式等價于59（ab+bc+ca）-abc≤427.

構造一個三次函數f（x）=（x-a）（x-b）·（x-c）

=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc

=x3-x2+（ab+bc+ca）x-abc.

一方面，f59=593-592+59（ab+bc+ca）-abc；

另一方面，由于a+b+c=1，且a，b，c是三角形的三邊長，故a，b，c∈0，12，即59-a，59-b，59-c均大于0，所以f59=59-a59-b·59-c≤59-a+59-b+59-c33=8729.

f59=125729-2581+59（ab+bc+ca）-abc≤8729，所以

59（ab+bc+ca）-abc≤427.

思路探索：本題首先根據題設條件進行等價轉換，然后構造了一個三次函數來間接證明.

1.2"構造方程（組）求值

構造方程解題的思路是通過對問題數量關系的綜合分析，采用聯想和轉化的方式，構造一個方程（組），然后運用方程的思想來解決問題.［2］

1.2.1"構造一元二次方程

例4"求函數y=x2-3x+4x2+3x+4的最大值和最小值.

解析：因為x2+3x+4≠0，函數的定義域為R.將原函數變形為一元二次方程（y-1）·x2+3·（y+1）x+4（y-1）=0.

當y=1時，x=0.

當y≠1時，因為x∈R，所以Δ=9（y+1）2-16（y-1）2

=（7y-1）（-y+7）≥0，得17≤y≤7，

所以ymin=17，ymax=7.

思路探索：本題是把形如a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的分式函數巧妙地轉化為關于x的一元二次方程，再根據方程的判別式來求出y的取值范圍，達到了“曲徑通幽、簡捷明快”的效果.

1.2.2"構造方程組

例5"已知f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·cosy，且f（0）=a，fπ2=b，求f（x）.

解析：令x=0，y=t，得f（t）+f（-t）=2f（0）cost，

即f（t）+f（-t）=2acost①.

令x=π2+t，y=π2，得f（π+t）+f（t）=0②.

令x=π2，y=π2+t，得f（π+t）+f（-t）=2fπ2cosπ2+t，

即f（π+t）+f（-t）=-2b·sint③.

①+②-③，得f（t）=acost+bsint，所以

f（x）=acosx+bsinx.

思路探索：本題針對題目中所給的函數表達式，通過合理賦值，采用“換元”和“湊式”的方法，挖掘隱含條件構造方程組，使較復雜的問題輕松獲解.

1.2.3"構造復數方程

例6"求cosπ11+cos2π11+…+cos9π11+cos10π11的值.

解析：設z=cosπ11+isinπ11，則z11=-1，

cosπ11+isinπ11+cos2π11+isin2π11+…+cos9π11+isin9π11+

cos10π11+isin10π11=z+z2+…+z9+z10=z（1-z10）1-z=z-z111-z=z+11-z=1+cosπ11+isinπ111-cosπ11-isinπ11=

1+cosπ11+isinπ111-cosπ11+isinπ111-cosπ112+sin2π11=

2isinπ1121-cosπ11=icotπ22.

根據復數相等的條件，可得cosπ11+cos2π11+cos３π11+…+cos9π11+cos10π11=0.

思路探索：本題如果直接求值顯然比較麻煩，所以要另辟蹊徑，通過構造復數方程，利用棣莫佛定理，一步一步化簡，輕松獲解.

1.3"構造向量

例7"已知實數x，y滿足方程x2+（y-2）2=1，試確定x+3yx2+y2的取值范圍.

解析：設a=（1，3），

b=（x，y），x+3yx2+y2=2·（1，3）·（x，y）1+（3）2·x2+y2=2·a·b|a|·|b|=2cos〈a，b〉.

如圖1所示，A（1，3）所對應的向量OA=a，由圓M上的任意一點N（x，y）對應的向量為ON.當直線ON與圓M相切于點A時（此時點N與點A重合），∠AON=0°，即向量a與向量b所成的角為0°，即x+3yx2+y2最大值取2；當直線ON與圓M相切于點B時（此時點N與點B重合），∠AON=60°，即向量a與向量b所成的角為60°，即x+3yx2+y2最小值取1.

綜上可知，x+3yx2+y2的取值范圍為［1，2］.

思路探索：本題如果直接用坐標代入法求解顯然很困難，但如果運用向量的坐標化思想，將其轉化為兩個向量的夾角的余弦問題，再與圖形聯系起來，數形結合，思路就會豁然貫通了.

1.4"構造遞推數列

例8"假設△ABC的內部有1000個點，以頂點A，B，C和這1000個點為頂點能把原三角形分割成多少個小三角形？

解析：設△ABC中n個點能把原三角形分割為an個小三角形，首先考慮新增加一個點pn+1后的情況.

如果點pn+1在某個小三角形的內部（如圖2），那么原小三角形的三個頂點連同pn+1將這個小三角形一分為三，即增加了兩個小三角形；如果點pn+1在某兩個小三角形的公共邊上（如圖3），那么這兩個小三角形的頂點連同pn+1將這兩個小三角形分別一分為二，即也增加了兩個小三角形.

因此，△ABC內部的n+1個點把原三角形分割成的小三角形個數為an+1=an+2，易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，an=an-1+2.

把上面這些式子相加，得an=2n+1.

因此，當n=1000時，三個頂點和這1000個內部點能把原三角形分割成2×1000+1=2001個小三角形.

思路探索：針對本題的問題，如果直接在紙上畫出△ABC以及它內部的1000個點，然后再分割計算小三角形的個數顯然非常煩瑣［3］，但是如果換個思路，設法找出一個遞歸關系，然后求解這個遞歸關系就變得簡單多了.因此，通過構造遞推數列來解決組合計數類問題是一種簡捷有效的方法.

2"構造幾何圖形

構造幾何圖形的理論依據是數形結合思想，是將代數問題轉化為幾何問題的一種解題思路.在解題過程中發現，有些代數方面的問題具有幾何特征，通過觀察這些幾何特征，又可以發現“數”與“形”之間具有某種特殊的關系，根據這些關系可以將代數問題轉化為幾何問題來解決.

2.1"構造三角形

例1"已知正數x，y，z滿足方程組x2+xy+13y2=25，

13y2+z2=9，

z2+xz+x2=16，

求xy+2yz+3zx的值.

解析：將原方程組變形為x2-2x33ycos150°+33y2=52，

33y2+z2=32，

z2-2xzcos120°+x2=42.

逆用余弦定理，構造△OAB，△OBC，△OAC，得△ABC，如圖4所示.

因為AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°，所以6=S△ABC=S△OAB+S△OBC

+S△OAC=143（xy+2yz+3zx），即xy+2yz+3zx=243.

思路探索：本題針對三個方程的結構特征，將其轉化為余弦定理的模型，通過構造三角形來求解.這種思路顯然比直接解方程組方便.

2.2"構造單位圓

例2"已知x，y，z∈R，0lt;xlt;ylt;zlt;π2，求證：π2+2sinxcosy+2sinycoszgt;sin2x+sin2y+sin2z.

解析：由二倍角公式可得π2+2sinxcosy+2sinycoszgt;

sin2x+sin2y+sin2zπ2+2sinxcosy+2sinycoszgt;2sinxcosx+2siny·cosy+2sinzcosz，

即證π4gt;sinx（cosx-cosy）+siny·（cosy-cosz）+sinzcosz.

構造以原點為圓心的單位圓（如圖5），A（cosx，sinx），B（cosy，siny），C（cosz，sinz）為單位圓上三個點，分別過此三點作x軸、y軸的垂線，得到三個矩形.不等式右端即為三個矩形的面積之和，它顯然小于π4.

思路探索：本題如果直接運用不等式性質來證明很困難，但如果將其轉化為幾何問題，即通過構造單位圓，將三角函數值構造成點的坐標，通過面積就能直接證明了.

3"結語

運用構造法能夠解決很多數學問題，而且具有思路開闊、間接快捷的優勢.“構造”既不是胡思亂想，也不是“碰運氣”，而是要以相關的知識為背景，以扎實的能力為基礎，還要有細致的觀察與縝密的分析.運用構造法解題的關鍵在于“構造”，至于哪些類型的問題適合用構造法，構造什么，如何構造，本文列舉的典型實例只是拋磚引玉式地做了一些初步的探索，要掌握和嫻熟地運用好構造法，還需要在平時的教學中勤練習、多總結.

參考文獻

［1］高寶德.構造法及其在教學中的應用［J］.科技信息，2008（33）：735-736.

［2］吳瑾.運用方程思想解決非方程問題［J］.中學數學，2023（7）：36-38.

［3］夏炎.談談圖形的分割［J］.中等數學，1989（2）：17-18+1.