構建“四點共圓”模型求最值的典例精講

【摘要】在中學階段的數學科目中，學習幾何圖形內容時，常常會遇到求解最值的情況.想要解決此類難題，構建與之相關的數學模型，便成了解決方法之一，而“四點共圓”模型便是其中一種較為特別的幾何模型.本文通過不同題型的典例，詳細地講解“四點共圓”模型在解題過程中的應用，旨在幫助學生加深理解這一模型并運行熟練運用.

【關鍵詞】“四點共圓”模型；最值；初中數學

“四點共圓”模型，即在同一平面內，四個點位于同一圓上.這一特殊的幾何模型中，包含了與圓相關的性質與定理、與四邊形相關的性質等重點內容.

在求解幾何圖形的最值時，經常會面臨幾何圖形變換的情況，當它們與“四點共圓”模型相互結合后，就會產生一系列的奇妙變化.本文將以講解例題的形式，分別探討“四點共圓”模型與“動點”“旋轉”相結合后的應用.

1在“動點”的情境下，構建“四點共圓”模型求最值

“動點”，即一點在平面內按照某種規律移動，它是幾何圖形變換中最為基礎的部分.因“動點”的移動，進而可產生出對最值求解的數學問題，構建出“四點共圓”模型，靈活運用其判定條件，再結合“動點”的移動規律，可解答此類難題.

典例呈現

例1如圖1所示，Rt△BEF的頂點F，此時正在矩形ABCD的對角線AC上運動，現連接AE，已知∠EBF與∠ACD的度數相等，AB的長度是6，BC的長度是8，那么AE的最小值是.

解題思路

（1）熟讀題目，作輔助線，過點B作BG⊥AC，并交AC于點G，連接EG；

（2）根據∠BEF=∠BGF=90°，得出點E、點B、點F、點G四點共圓；

（3）利用圓內四邊形的性質、直角三角形的性質，求證∠AGE=∠ACD，推導出點E在射線GE上運動，當AE⊥EG時，AE有最小值；

（4）利用矩形的性質，結合勾股定理，求得AE的最小值AG·sin∠AGE.

解析過點B作BG⊥AC，并交AC于點G，連接EG，如圖2所示.

由圖2可知，∠BEF=∠BGF=90°，所以點E、點B、點F、點G四點共圓.

所以∠EGB=∠EFB.

因為∠EBF+∠EFB=90°，∠AGE+∠EGB=90°，

所以∠AGE=∠EBF.

因為∠EBF=∠ACD，

所以∠AGE=∠ACD，

所以點E在射線GE上運動，當AE⊥EG時，AE有最小值.

在矩形ABCD中，AB=CD=6，

AD=BC=8，∠D=∠ABC=90°，

可求得，在Rt△ACD中，

AC=CD2+AD2=62+82=10，

所以sin∠AGE=sin∠ACD=ADAC=45.

在Rt△ABC中，

S△ABC=12AB·BC=12AC·BG，

即12×6×8=12×10×BG，

可解得BG=245.

在Rt△AGB中，根據勾股定理可得

AG=AB2－BG2=62－2452=185.

所以AEmin=AG·sin∠AGE=185×45=7225.

2在“旋轉”的情境下，構建“四點共圓”模型求最值

“旋轉”，作為一種最為常見的幾何圖形變換方式，在保證其形狀與大小不會改變的前提下，通過改變幾何圖形的方向與位置，進而產生了一系列求解最值的數學問題.構建“四點共圓”模型，可將求解題目中某些復雜的過程簡單化.

典例呈現

例2如圖3所示，△ABC與△DCE都是等邊三角形，△ABC的邊長是5，△DCE的邊長是3，已知直線BD與直線AE相交于點F.現將△DCE繞著點C旋轉一周，則在這個旋轉的過程中，線段AF長度的最小值是.

解題思路

熟讀題目，首先根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ACE與△BCD全等，從而得出∠AFB=60°，進而得出點A、點B、點F、點C四點共圓；結合旋轉的性質，從而得出當BF是圓C的切線時，CD⊥BF，∠FBC最大，那么∠ABF最小，此時線段AF才會有最小值；然后再結合勾股定理、三角函數，求解出最后結果.

解析假設直線BF與直線AC相交于點H，如圖4所示.

由題意可知，△ABC與△DCE都是等邊三角形，

那么AC=BC，DC=EC，

∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，

所以∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，

即∠DCB=∠ECA

由以上可得，利用SAS可證明△ACE與△BCD全等，可得知AE=BD，∠EAC=∠DBC，

又因為∠AHF=∠BHC，

可求得∠AFB=∠ACB=60°.

所以點A、點B、點F、點C四點共圓.

因為點D在以點C為圓心，半徑為3的圓上，只有當直線BF作為圓C的切線存在時，∠FBC最大，即CD⊥BF，此時∠ABF最小，線段AF才會有最小值.

在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，

則BD=BC2－CD2=52－32=4，

即AE=BD=4.

所以∠FDE=180°－∠BDC－∠CDE=180°－90°－60°=30°.

因為∠AFB=60°，

所以∠FDE=∠FED=30°，

所以FD=FE，即△DEF為等腰三角形.

過點F作FG⊥DE，并交線段DE于點G，

所以DG=EG=12DE=12×3=32，

所以FE=FD=DGcos30°=3，

所以AF=AE－FE=4－3.

綜上所述，線段AF長度的最小值是4－3.

3結語

通過本文中對于典例的講解，分別在“動點”與“旋轉”這兩種幾何圖形變換的情境下，探討了如何構建“四點共圓”模型，以此求解最值這類難題.在面臨相對有些難度的幾何圖形問題時，不妨嘗試著構建一些數學模型來解答，這樣可以將復雜的問題進行簡化，可大大地省略繁瑣的計算步驟.