巧等價(jià)轉(zhuǎn)化，妙思維化歸

【摘要】函數(shù)中的雙變量任意性或存在性問題，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法交匯性與綜合性的一類熱點(diǎn)問題，成為考查“四基”的重點(diǎn)．本文結(jié)合不同類型的雙變量任意性或存在性問題，挖掘等價(jià)關(guān)系以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法與技巧策略，歸納總結(jié)解題技巧，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

【關(guān)鍵詞】雙變量；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

雙變量中的任意性或存在性問題，往往融入相應(yīng)的函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式以及常用邏輯用語等較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想方法，是高考數(shù)學(xué)中的考查熱點(diǎn)之一，備受各方關(guān)注．解決此類問題的關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件，借助等價(jià)轉(zhuǎn)化，化歸為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系或兩個(gè)函數(shù)最值的大小比較等問題，進(jìn)而加以合理分析與應(yīng)用．

1" 形如“對(duì)任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題

對(duì)于“對(duì)任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題，等價(jià)于函數(shù)f（x）在定義域A上的值域是函數(shù)g（x）在定義域B上的值域的子集．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法與技巧策略是：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的任意一個(gè)函數(shù)值都等于函數(shù)y=g（x）在區(qū)間B上的某一個(gè)函數(shù)值，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的函數(shù)值都在函數(shù)y=g（x）在區(qū)間B上的值域之中．

例1" 已知冪函數(shù)f（x）=（a2－3）x12a2+a－2在區(qū)間0，+∞上單調(diào)遞減，函數(shù)g（x）=3x+m，對(duì)任意x1∈1，3，總存在x2∈［1，2］，使得f（x1）=g（x2）成立，則m的取值范圍為．

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，先由冪函數(shù)的定義與單調(diào)性確定參數(shù)a的值，進(jìn)而得以確定冪函數(shù)f（x）的解析式，由此確定兩相應(yīng)函數(shù)的值域，利用雙變量關(guān)系加以等價(jià)變形確定兩函數(shù)值域的包含關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式組的構(gòu)建與求解來確定參數(shù)m的取值范圍．

解" 依題，由于f（x）=（a2－3）x12a2+a－2為冪函數(shù)，

則有a2－3=1，

解得a=±2，

又冪函數(shù)f（x）在區(qū)間0，+∞上單調(diào)遞減，

則有12a2+a－2lt;0，

則知a=－2滿足該不等式，

則有函數(shù)f（x）=x－2，

而函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，3］上的值域?yàn)?9，1，函數(shù)g（x）在區(qū)間［1，2］上的值域?yàn)椋?+m，9+m］，

依題意可得19，1SymbolMC@［3+m，9+m］，

即3+m≤19，1≤9+m，

解得－8≤m≤－269，

所以m的取值范圍為－8，－269，

故填答案：－8，－269．

點(diǎn)評(píng)" 理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，此類問題求解的策略是等價(jià)轉(zhuǎn)化為求值域，即函數(shù)f（x）在區(qū)間A上的值域是函數(shù)g（x）在區(qū)間B上的值域的子集，若改為“x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”，則函數(shù)g（x）在區(qū)間B上的值域是函數(shù)f（x）在區(qū)間A上的值域的子集．

2" 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”的問題

對(duì)于“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”問題，等價(jià)于函數(shù)f（x）在區(qū)間A上的值域與函數(shù)g（x）在區(qū)間B上的值域的交集非空集．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法與技巧策略是：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的某一個(gè)函數(shù)值等于函數(shù)y=g（x）在區(qū)間B上的某一個(gè)函數(shù)值，即兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值．

例2" 已知函數(shù)f（x）=2x，函數(shù)g（x）=kx－2k+2（kgt;0），若存在x1∈0，12及x2∈0，12，使得f（x1）=g（x2）成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，分別確定兩個(gè)一次函數(shù)在區(qū)間0，12上的值域，結(jié)合題設(shè)的等價(jià)轉(zhuǎn)化知兩值域有交集，借助補(bǔ)集思想，先求解兩值域沒有交集的情況，再取補(bǔ)集來達(dá)到目的，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

解" 依題，可得函數(shù)f（x）在0，12上的值域?yàn)?，1，g（x）在0，12上的值域?yàn)?－2k，2－32k，

結(jié)合題設(shè)條件可知以上兩個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值域有公共部分，

若以上兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x）的兩個(gè)值域沒有交集，

可得2－2k＞1或2－32klt;0，

解得klt;12或kgt;43，

結(jié)合補(bǔ)集思想可知實(shí)數(shù)k的取值范圍為12，43，

故填答案：12，43．

點(diǎn)評(píng)" 本類問題的實(shí)質(zhì)是“函數(shù)f（x）在區(qū)間A上的值域與函數(shù)g（x）在區(qū)間B上的值域的交集不為空集”，因而在實(shí)際解決此類問題時(shí)，往往可利用補(bǔ)集思想與技巧方法來分析與處理．

3" 形如“對(duì)任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）≤g（x2）成立”的問題

對(duì)于“對(duì)任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）≤g（x2）成立”問題，等價(jià)于f（x）max≤g（x）max．其等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法與技巧策略是：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A上的任意一個(gè)函數(shù)值小于等于函數(shù)y=g（x）在區(qū)間B上的某一個(gè)函數(shù)值，但并不要求小于等于函數(shù)y=g（x）在區(qū)間B上的所有函數(shù)值．

例3" 已知函數(shù)f（x）=x+4x，g（x）=2x+a，若x1∈12，1，x2∈［2，3］，使得f（x1）≤g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，分別結(jié)合雙勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性確定對(duì)應(yīng)的最大值，利用題設(shè)的等價(jià)轉(zhuǎn)化f（x）max≤g（x）max，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍．

解" 依題，函數(shù)f（x）=x+4x在12，1上單調(diào)遞減，

則有f（x）max=f12=172，

函數(shù)g（x）=2x+a在區(qū)間2，3上單調(diào)遞增，

則有g(shù)（x）max=g（3）=8+a，

依題意知f（x）max≤g（x）max，

所以172≤8+a，

解得a≥12，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為12，+∞，

故填答案：12，+∞．

點(diǎn)評(píng)" 解決此類問題時(shí)，正確理解并挖掘量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f（x）max≤g（x）max．在此基礎(chǔ)上，利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)f（x）與g（x）的最大值，為問題的進(jìn)一步分析與求解奠定基礎(chǔ)．

4" 結(jié)語

解決雙變量任意性或存在性問題，關(guān)鍵在于正確理解并掌握對(duì)應(yīng)全稱量詞與存在量詞的含義與實(shí)質(zhì)，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值、值域關(guān)系、最值（最大值或最小值）的大小關(guān)系等，綜合函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)的基本性質(zhì)（主要是單調(diào)性），不等式的性質(zhì)與求解等來分析與解決問題，合理轉(zhuǎn)化，巧妙化歸．