函數定義域問題的三種解法例析

【摘要】定義域問題是函數問題中的重要內容之一，所以函數問題大部分都會與函數的定義域聯系求解.與函數定義域相關的問題有很多種類型，如求解抽象函數的定義域等.對于函數的定義域問題很多學生在解題時很容易出現思路混亂的情況，其實函數定義域問題并不是很難，只需要針對不同的問題對癥下藥，就能正確求解.本文分析和介紹三種與函數定義域有關的問題，希望能夠幫助學生正確求解對應的問題，拓寬知識面.

【關鍵詞】函數定義域；高中數學；解題技巧

1" 已知定義域求參數

利用定義域求參數取值范圍問題，指的是已知函數的解析式求對應的函數定義域的問題，或者已知函數的解析式和定義域需要求解函數式中的某一參數的取值范圍.這種類型問題的常用解題步驟為：①根據具體題目信息進行逆向分析，確定函數的定義域等；②根據函數的定義域等信息進行分類討論，最后將滿足題目要求的信息匯總，即得所求的取值范圍.

例1" 若函數fx=mx2－6mx+m+8的定義域為R上，則m的取值范圍為.

分析" 首先根據fx=mx2－6mx+m+8的定義域為R，得到恒成立的不等式mx2－6mx+m+8≥0，且解集為R，然后分情況討論參數m的值，即m=0或m≠0時不等式恒成立的情況，綜合所有情況得到最終參數m的取值范圍即可.

解析" 已知函數fx=mx2－6mx+m+8定義域為R，

所以對一切實數x，不等式mx2－6mx+m+8≥0恒成立，

①當m=0時，fx=8＞0，則其定義域為R；

②當m≠0時，mx2－6mx+m+8≥0恒成立，

則有Δ=36m2－4mm+8≤0且m＞0，解不等式可得0＜m≤1.

綜上所述，m的取值范圍為［0，1］.

2" 求抽象函數定義域

求抽象函數的定義域問題是一類較為常見的定義域問題，沒有解析式的定義域需要根據定義和相關性質來解答，即利用函數fx的定義域是自變量x的取值范圍解答相關問題.這類問題的一般解題思路和步驟為：①根據題目條件給出范圍，確定已知范圍與所求函數自變量之間的關系，列出關系式；②綜合所有情況，列出所求自變量的不等式，解答即可得到具體答案.

例2" 已知函數fx+1的定義域為2，8，則函數hx=f2x+9－x2的定義域為（" ）

（A）4，16." （B）－∞，1∪3，+∞.

（C）1，3." （D）3，4.

分析" 首先給出的定義域范圍是函數fx+1的自變量x的范圍，與函數hx存在一定聯系，其次hx與f2x有關聯，要使函數有意義根號部分要不小于零，根據這些要求列出對應不等式并解答，就能得到所求函數的最終定義域范圍.

解析" 因為函數fx+1的定義域為2，8，

所以2≤x+1≤8，

因為在函數f2x中，2≤2x≤8，

所以1≤x≤4，

使函數hx=f2x+9－x2有意義，需要滿足9－x2≥0，

綜上得1≤x≤3，所以函數hx的定義域為1，3.

正確答案為選項（C）.

變式" 設函數fx的定義域為－1，3，則函數gx=f1+xln1－x的定義域為.

分析" 首先要理清函數fx和f1+x的自變量定義，才能得到對應的不等式，其次函數gx要有意義需要兩個附加條件，基于限制條件列出對應不等式，運算得到的范圍就是對應的定義域范圍.

解析" 使函數gx有意義，

則有－1＜1+x＜3，1－x＞0，1－x≠1，

即－2lt;xlt;2，xlt;1，x≠0，

解得－2＜x＜0或0＜x＜1，

故函數gx的定義域為－2，0∪0，1.

3" 求具體函數定義域

當題目中給出具體的函數解析式時，求對應的定義域也屬于比較常見的一種題型，需要結合一些限制條件，如分式的分母不為零等，根據具體情況列出關系式并解答是最關鍵的一步.解答這類已知具體的函數求定義域問題，一般解題思路為：①根據解析式結構特點，找到所有限制條件，并列出相關關系式；②求解得到關于x的解集，即函數的定義域范圍.

例3" 求函數fx=1－2cosx+lnsinx－22的定義域為.

分析" 首先根號、對數都存在限制條件，其次正、余弦函數也有值域范圍限制，列出對應不等式并求解，得到的解集對應自變量x的范圍，即函數的定義域大小.

解析" 由題意可得：1－2cosx≥0，sinx－22＞0，

即cosx≤12，sinx＞22，

因為cosx≤12，

所以π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ，k∈Z，

因為sinx＞22，

所以π4+2kπ＜x＜3π4+2kπ，k∈Z，

所以π3+2kπ≤x＜3π4+2kπ，k∈Z，

故函數fx定義域為

xπ3+2kπ≤x＜3π4+2kπ，k∈Z.

4" 結語

函數定義域問題主要分為已知函數求定義域和已知定義域求參數兩大類，其中給出的函數可以分成抽象函數和具體函數，根據定義或限制條件列式解答問題是解題的關鍵，其次已知定義域求參數范圍也需要注意定義域的限制要求.定義域問題屬于最基本的函數問題，需要熟練掌握，應引起學生的關注和重視.

參考文獻：

［1］朱德慧.求函數值域的三種思路［J］.語數外學習（高中版上旬），2023（04）：56-57.

［2］童其林.例析對數型函數的值域問題［J］.中學生數學，2020（05）：3-5.