高中數學三角函數解題中誘導公式的運用

【摘要】三角函數作為高中數學課程教學中的一項重要內容，是對初中三角函數知識的持續，由銳角三角函數推廣至任意角，不僅學習起來難度與深度均有提升，對學生的解題能力還有著更高要求，誘導公式則是三角函數解題中比較常用的一種工具.本文針對高中數學三角函數解題中怎么運用誘導公式作探討，并羅列幾道解題實例.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；解題技巧

誘導公式屬于三角函數中的獨有知識，指的是通過周期性把角度較大的三角函數，轉變成角度較小的三角函數的公式.在高中數學三角函數解題訓練中，教師應指導學生根據題目實際情況靈活選擇與運用誘導公式，借助誘導公式降低試題的難度與復雜程度，使其形成簡潔明了的解題思路，最終讓他們高效地完成解題.

1" 運用誘導公式解決三角函數化簡試題

在高中數學三角函數解題訓練中，化簡是一類比較常見的題型，雖然難度一般，但是有的試題中給出的三角函數表達式較為復雜，運用誘導公式進行化簡，能夠達到化復雜為簡單的效果.高中數學教師應當提醒學生結合需要化簡的三角函數表達式選擇適當的誘導公式，把其中的某一部分依據誘導公式進行替換，讓他們結合三角函數的基本性質與關系來化簡［1］.

例1" 已知函數f（x）=2sin（ωx），且常數ωgt;0.

（1）當ω=1時，請判斷函數F（x）=f（x）+fx+π2的奇偶性，簡單闡述理由；

（2）當ω=2時，把函數y=f（x）的圖象先往左平移π6個單位，再往上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，對于任意a∈R，求函數y=g（x）在區間［a，a+10π］上的零點個數的所有可能情況.

分析" 本題經過復合及變換后的三角函數解析式較為復雜，學生可運用誘導公式進行化簡，在化簡時可借助三角函數的基本關系與性質展開代數運算，把問題變得更為簡單，讓他們找到更為便捷與高效的解題思路及流程.

詳解" （1）當ω=1時，f（x）=2sinx，

這時F（x）=f（x）+fx+π2=2sinx+2sinx+π2=2（sinx+cosx），

則Fπ4=22，F－π4=0，

故F－π4≠Fπ4，

F－π4≠－Fπ4，

所以函數F（x）不屬于奇、偶函數中的任何一種.

（2）當ω=2時，把函數y=f（x）的圖象先往左平移π6個單位，再往上平移1個單位，可以得到y=2sinx+π6+1的圖象，

故y=2sin2x+π3+1，

令g（x）=0，則x=kπ+512π（k∈Z），

或者x=kπ+34π（k∈Z），

由于［a，a+10π］含有10個周期，故當a是零點時，該函數在［a，a+10π］內有21個零點；

當a不是零點時，a+kπ（k∈Z）均不為零點，在區間［a+kπ，a+k+1π］內剛好有2個零點，那么在［a，a+10π］內有20個零點.

所以函數y=g（x）在區間［a，a+10π］內可能有20或者21個零點.

2" 運用誘導公式解決三角函數求值試題

在高中數學三角函數解題練習中，經常會遇到一些求值類的題目，當處理較為復雜或者非典型、非標準類的求值試題時，教師便可指導學生運用三角函數的誘導公式，使其根據具體題目科學使用和差角、三角函數關系及特殊角的三角函數值等，從而將求值過程由復雜變得簡單化，且更加容易計算，讓他們找到簡便的求值方法，減少錯誤，提高做題的效率［2］.

例2" 已知函數f（x）=sin（ωx+φ）ωgt;0，0lt;φlt;π2，該函數在區間π8，5π8內具有單調性，且f－π8=f3π8=0，求fπ2的值.

分析" 這是一道典型的求值類三角函數試題，學生可運用誘導公式降低原式的復雜程度，轉變成更為簡單且易于計算的形式，由此將求值過程進行簡化處理，消除煩瑣的計算流程，提升他們計算的準確率.

詳解" 根據題意可知函數f（x）的最小正周期是T=2πω，

由于該函數在區間π8，5π8內具有單調性，

故T2=πω≥π2，則0lt;ω≤2，

又因為f－π8=f3π8=0，

故T2=3π8－－π8=π2，

求得ω=2，

因為f－π8=0，

所以sin2×－π8+φ=0，整理以后得到φ=π4，

故f（x）=sin2x+π4，

所以fπ2=sin2×π2+π4

=sinπ+π4=－22.

3" 運用誘導公式解決三角函數證明試題

針對高中數學三角函數解題教學來說，證明類題目難度通常稍大，不僅要求學生掌握相應的理論知識，還對他們的思維能力有著較高要求，包括邏輯思維與推導能力等.對此，高中數學教師可指引學生運用誘導公式輔助證明，優化證明過程，使其找到更為簡潔與清楚的推理流程，以便能夠更加輕松地進行計算與推導，最終幫助他們順利證明題設中的結論［3］.

例3" 在△ABC中，三個內角分別是A，B，C.

（1）請證明cos2A+B2+cos2C2=1;

（2）如果cosπ2+Asin3π2+BtanC－πlt;0，請證明該三角形是鈍角三角形.

分析" 本題屬于典型的證明類題目，學生可運用誘導公式輔助證明，把證明過程變得簡潔化，讓他們找到清晰明了的推理路徑，且將整個證明過程變得更為連貫與易于理解.

詳解" （1）因為A，B，C是△ABC的三個內角，故有A+B=π－C，則A+B2=π2－C2，

由此得到cosA+B2=cosπ2－C2=sinC2，

所以cos2A+B2+cos2C2=1.

（2）由于cosπ2+Asin3π2+BtanC－πlt;0，那么－sinA－cosBtanClt;0，根據題意可知0lt;Alt;π，0lt;Blt;π，0lt;Clt;π，則sinAgt;0，所以cosBtanC＜

0，據此得到cosBlt;0，tanCgt;0或者cosBgt;0，tanClt;0，故B是鈍角或者C是鈍角，所以△ABC是鈍角三角形.

4" 結語

誘導公式是處理高中數學三角函數試題的重要工具之一，教師需高度重視三角函數誘導公式理論知識的講解，幫助學生透徹理解三角函數誘導公式的概念與推導方法，使其學會運用誘導公式解答三角函數中化簡、求值與證明等多種試題，提高他們解題的準確率與速度.

參考文獻：

［1］李軍焰.高中數學函數解題思路多元化處理對策研究［J］.數理天地（高中版），2024（01）：90-93.

［2］姜勇鋼.高中數學三角函數題型的解題［J］.數理天地（高中版），2023（21）：48-49.

［3］白衛娟.高中三角函數解題方法探索［J］.數學之友，2023，37（10）：63-64+68.