立幾中涉及動點最值的求解策略

【摘要】空間立體幾何中的動態及其應用問題是立體幾何中的一大創新應用，是高考中常見的一類熱點問題．本文以立體幾何中涉及動點的最值或取值范圍問題的求解為例，從不同思維視角切入，合理尋找解決問題的突破口，歸納總結破解規律與技巧策略，引領并指導數學教學與復習備考．

【關鍵詞】高中數學；動點最值；解題技巧

立體幾何中的最值或取值范圍問題，一直是高考中的基本考點與熱點問題之一．涉及動點（一個，兩個及以上動點，以一個或兩個動點為主）的最值或取值范圍問題，是其中最為重要的一類題型，具有較強的綜合性和技巧性，可以很好考查學生的數學基礎知識與基本能力，可以單獨考查，也可以與立體幾何中的位置判斷等其他知識點綜合交匯在一起考查，成為考試中的一個重點與難點，備受各方關注．

1" 動中覓靜

立體幾何中的“靜”是指立幾問題中的不變量或者不變關系，特別涉及兩動點及以上的最值問題時，經常采用動中覓靜思維來處理，尋覓對應動點的運動變化中的不變性．“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，然而抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉為特殊情形，問題即可迎刃而解．

例1" 在正四棱錐S—ABCD中，SO⊥底面ABCD于點O，SO =2，底面正方形ABCD的邊長為2，點P，Q分別在線段BD，SC上運動，則P，Q兩點間的距離的最小值為（" ）

（A）55. ""（B）255. ""（C）2. ""（D）1.

分析" 根據題設條件，結合兩個動點分別在不同的線段上運動，先讓點Q在線段SC上固定來確定動點P運動時的最值情況，再結合已知條件

，讓點P與O重合，進一步確定動點Q運動時的最值情況，合理動中覓靜，巧妙化歸與轉化，同時運用綜合分析來解決所求的最值問題．

圖1

解" 如圖1所示，由于點P，Q分別在線段BD，SC上運動，

先讓點Q在線段SC上固定，點P在線段BD上運動，結合對稱性易知點P與O重合時，PQ⊥BD，PQ局部取最小值OQ；

再讓點P與O重合，點Q在線段SC上運動，可知OQ⊥SC時，OQ局部取最小值；

綜上分析可知BD和SC的公垂線段OQ的長為所求的P，Q兩點間的距離的最小值，

在Rt△SOC中，結合等積法有，OQ=OS×OCSC=2×14+1=255，故選擇答案：（B）．

點評" 在解決立體幾何中涉及兩動點及以上的最值問題時，經常采用動中覓靜思維，通過相對運動與運動變化過程中的規律探究，確定不同場景下對應最值的取值情況，綜合考慮，實現“動”與“靜”的轉化與應用．動中覓靜，以一方“靜態”來觀察另一個“動態”的變化規律，充分考查空間想象能力與邏輯推理能力等．

2" 降維處理

將立體幾何中的動點變化問題轉化到同一個平面上對應元素的運動與變形來考慮，化立體幾何中的“三維”為平面幾何中的“二維”，合理降維轉化，結合平面幾何的相關知識分析與解決問題．

例2" （2023年河南省豫南名校畢業班高考數學三模試卷）如圖2，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是截面A1ACC1上的一個動點（不包含邊界），若A1M⊥AB1，則AM的最小值為（" ）

（A）33. ""（B）22. ""（C）63. ""（D）24.

圖2

分析" 根據題設條件，利用空間直線的垂直關系，結合直線在平面內的投影，化空間“三維”到平面的“二維”中去，結合點M的軌跡，探尋AM的最小值的場景，借助平面幾何中的等面積法來分析與求解．

解nbsp; 依題知，若A1M⊥AB1，則知A1M在平面ABB1A1上的投影在A1B上，

所以點M的軌跡為線段A1C（不包括端點），

則AM的最小值為點A到直線A1C的距離，

結合等面積法可知AM的最小值為1×21+2=63，故選擇答案：（C）．

點評" 降維思維是處理空間立體幾何問題的最為基本的一種技巧方法，特別在處理立體幾何中的動點最值問題時，由空間中的“三維”來探尋最值往往存在一定的難度與思維盲區，而合理借助降維處理，轉化為平面中的“二維”來應用，解決起來更加直觀有效，難度得以有效降低．

3" 坐標思維

根據立體幾何問題中的特殊條件（如垂直、平行等條件），合理建立適當的空間直角坐標系，將動點問題放在坐標系中，結合相關動點的坐標的確定，利用空間兩點的距離公式（或相應向量的模等）來分析與求解對應的最值問題．

例3" （2023年福建省漳州市高考數學第四次質檢試卷）在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P，Q分別為線段BD1，AD上的動點，則PQ的最小值為．

分析" 根據題設條件，合理構建空間直角坐標系，將動點的變化情況，結合相關知識（空間向量的線性關系等），通過引入參數加以設置，確定相關動點的坐標，利用空間兩點間的距離公式來構建對應參數的函數表達式，結合二次函數的圖象與性質來確定相應的最值問題．

圖3

解" 建立如圖3所示的空間直角坐標系，則D0，0，0，B1，1，0，D10，0，1，

設BP=λBD1=λ－1，－1，1=－λ，－λ，λ，則P（1－λ，1－λ，λ），λ∈［0，1］，

設Q（μ，0，0），μ∈［0，1］，

那么PQ2=（1-λ-μ）2+（1-λ）2+λ2=（1-λ-μ）2+2λ－122+12≥12，當且僅當λ=12，μ=12時等號成立，

所以PQ的最小值為22，故填答案：22．

點評" 根據題中特殊空間幾何體（涉及垂直關系為主）的結構特征，合理構建空間直角坐標系，可以將相應的動點最值問題的處理，從空間的邏輯推理化為代數的數學運算．運用坐標思維可以合理構建相關的變量參數為自變量，將所求最值問題轉化為含該變量的函數問題，再結合函數知識來分析與求解．

4" 結語

解決涉及立體幾何中的動點的最值或取值范圍問題時，要正確剖析題目條件，把握問題的內涵與實質，結合以上求解問題的常見基本技巧與策略，合理選用并加以應用，巧妙化“動”，通過“靜”態思維，結合相關的函數、不等式、幾何直觀等來分析與解題．