高中數(shù)學(xué)數(shù)列新定義問題的解題技巧

【摘要】“三新”背景下的高考數(shù)學(xué)試題注重考查學(xué)生創(chuàng)新思維，新定義類問題自然會成為考查的重點．本文以數(shù)列新定義問題為載體，通過實例探討這類問題的解題技巧，為學(xué)生的備考提供幫助．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題技巧

高中數(shù)學(xué)數(shù)列是高考的常考內(nèi)容，而新定義問題作為一種新的題型，對于學(xué)生來說既具有挑戰(zhàn)性又具有重要性．新定義問題的出現(xiàn)往往伴隨著新的概念、新的規(guī)律和新的解題方法，需要學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識和靈活的解題技巧．?dāng)?shù)列新定義問題在原有數(shù)列基本規(guī)律的基礎(chǔ)上，增加了一些新的約束條件或運算規(guī)則，使得數(shù)列問題變得更加復(fù)雜和多樣化．因此，掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列新定義問題的解題技巧對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績具有重要意義．

1" 數(shù)列新定義問題的解題技巧

數(shù)列新定義問題，通常是給出一個與數(shù)列有關(guān)的新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型，來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的數(shù)列知識和處理數(shù)列問題的方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．遇到這類數(shù)列新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．

2" 運用遞推法求解數(shù)列新定義問題

例1" 給定數(shù)列an，稱{an－an－1}為an的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱數(shù)列{an－an－1}的差數(shù)列為數(shù)列an的二階差數(shù)列……

（1）求2n的二階差數(shù)列；

（2）用含m的式子表示2n的m階差數(shù)列，并求其前n項和．

解析" （1）由差數(shù)列的定義，得數(shù)列2n的一階差數(shù)列為{2n－2n－1}={2n－1}，

數(shù)列2n的二階差數(shù)列為2n－1的一階差數(shù)列，即{2n－1－2n－2}={2n－2}，

故數(shù)列2n的二階差數(shù)列為2n－2．

（2）通過找規(guī)律得，2n的m階差數(shù)列為2n－m，

下面運用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

①當(dāng)m=1時，顯然成立；

m=2時，由（1）得結(jié)論也成立．

②假設(shè)該結(jié)論對m=k（k≥3）時成立，嘗試證明其對m=k+1時也成立．

由差數(shù)列的定義可得，2n的k+1階差數(shù)列即2n的k階差數(shù)列的一階差數(shù)列，

即{2n－k－2n－k－1}={2n－k－1}={2n－（k+1）}.

故該結(jié)論對m=k+1時也成立，證畢．

故2n的m階差數(shù)列為2n－m．

該數(shù)列是以21－m為首項，2為公比的等比數(shù)列，

其前n項和為Sn=a1（1－qn）1－q=21－m（1－2n）1－2=2n+1－m－21－m.

故2n的m階差數(shù)列為2n－m，其前n項和為Sn=2n+1－m－21－m.

評析" 本題屬于數(shù)列新定義問題，綜合了已學(xué)過的等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識和計算方法．第（1）問中，可以根據(jù)差數(shù)列的定義，運用遞推法依次求出數(shù)列2n的一階差數(shù)列和二階差數(shù)列；第（2）問中運用了第（1）問的方法和規(guī)律，猜想2n的m階差數(shù)列為2n－m，接著運用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求解即得．

3" 運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求解方法處理數(shù)列新定義問題

例2" 在正項無窮數(shù)列an中，若對任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得anan+2m=an+m2，則稱an為m階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列bn中，若對任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bn+bn+2m=2bn+m，則稱bn為m階等差數(shù)列．

（1）若an為1階等比數(shù)列，a1+a2+a3=74，a3+a4+a5=716，求an的通項公式及前n項和；

（2）若an為m階等比數(shù)列，求證：lnan為m階等差數(shù)列；

（3）若an既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：an是等比數(shù)列．

解析" （1）因為an為1階等比數(shù)列，

所以an為正項等比數(shù)列，

設(shè)公比為q，則q為正數(shù)，

由已知得a11+q+q2=74，a1q21+q+q2=716，

兩式相除得q2=14，

所以q=12（q=－12舍去），

所以a1=1，

所以an的通項公式為an=a1qn－1=12n－1，

前n項和為Sn=a1－anq1－q=1－12n1－12=2－12n－1．

（2）因為an為m階等比數(shù)列，

所以n∈N*，m∈N*，使得anan+2m=an+m2成立，

所以ln（anan+2m）=lnan+m2，

又angt;0，an+mgt;0，an+2mgt;0，

所以lnan+lnan+2m=2lnan+m，

即n∈N*，m∈N*，lnan+lnan+2m=2lnan+m成立，

所以lnan為m階等差數(shù)列．

（3）因為an既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，

所以anan+8=an+42n∈N*與anan+10=an+52n∈N*同時成立，

所以an+4an=an+8an+4n∈N*與an+5an=an+10an+5n∈N*同時成立，

又an的各項均為正數(shù)，所以對任意的n∈N*，

數(shù)列an，an+4，an+8，…n∈N*和數(shù)列an，an+5，an+10，…n∈N*都是等比數(shù)列，

由數(shù)列an，an+4，an+8，…n∈N*是等比數(shù)列，

得an+1，an+5，an+9，…n∈N*也成等比數(shù)列，

設(shè)an+5an=q1gt;0n∈N*，

an+5an+1=q2gt;0n∈N*，

所以an+1an=q1q2gt;0n∈N*，

所以an是等比數(shù)列．

評析" 本題運用了處理等差數(shù)列和等比數(shù)列問題的方法來處理數(shù)列新定義問題．在第（1）問中，根據(jù)題意可得an為正項等比數(shù)列，求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可得解；在第（2）問中，由an為m階等比數(shù)列，可得n∈N*，m∈N*，使得anan+2m=an+m2成立，再根據(jù)m階等差數(shù)列即可得出結(jié)論；在第（3）問中，根據(jù)an既是4階等比數(shù)列又是5階等比數(shù)列，可得anan+8=an+42n∈N*與anan+10=an+52n∈N*同時成立，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論．

4" 結(jié)語

“三新”背景下，高考試題的創(chuàng)新讓學(xué)生摸不著頭緒，數(shù)列新定義問題就是一類具有一定挑戰(zhàn)性的問題，但只要“照章辦事”，嚴(yán)格按照“新定義”的要求，掌握正確的解題技巧，就能輕松應(yīng)對．在解題過程中，要仔細(xì)閱讀新定義，找出其中的規(guī)律，并靈活運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行求解．同時，對于一些特殊情況，還需要采用特殊的方法進(jìn)行處理．通過不斷練習(xí)和積累經(jīng)驗，能夠更好地掌握數(shù)列新定義問題的解題技巧，提高解題能力．

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