在高中數學極值問題中運用導數的解題技巧與教學策略

【摘要】本文探討導數在高中數學極值問題中的運用導數解題技巧與教學策略，通過利用導數判斷函數單調性、求解極值點的技巧.教學策略上，強調基礎概念掌握、解題技巧培養、數形結合及加強練習的重要性，以幫助學生提高解題能力和數學成績.

【關鍵詞】導數；高中數學；解題技巧

1" 引言

高中數學中，函數問題占據重要地位，而極值問題則是函數問題中的難點和重點.極值問題涉及函數的最大值和最小值，是高中數學中的高頻考點，特別是在高考中經常出現.導數作為研究函數性質的重要工具，在解決極值問題中發揮著關鍵作用.

2" 具體解題技巧

2.1" 二次函數求極值

二次函數是高中數學中最常見的函數類型之一，求其極值也是導數應用的基本問題.例如，給定一個二次函數f（x）=ax2+bx+c，a≠0，我們可以通過求導得到f′（x）=2ax+b，然后令f′（x）=0，解得x=－b2a，這就是二次函數的極值點.根據a的正負，可以判斷是極大值還是極小值.

例1" 求函數f（x）=x2－4x+3的極值.

解" f（x）=|x2－4x+3|=|（x－1）（x－3）|，

即f（x）=x2－4x+3，x＞3，－x2+4x-3，1≤x≤3，x2－4x+3，x＜1.

（1）當x＞3時，f′（x）=2x－4＞0，此時f（x）有極小值f（3）=0.

（2）當1≤x≤3時，f′（x）=－2x+4，

當1≤x≤2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當2≤x≤3，f′（x）＜0，f（x）遞減，

故f（x）有極大值f（2）=1.

（3）當x＜1時，f′（x）=2x－4＜0，f（x）有極小值f（1）=0.

綜上，f（x）有極大值f（x）=1，在x=2處取得，

f（x）有極小值f（x）=0，

在x=1，x=3處取得.

2.2" 特殊函數求極值

對于特殊函數，求極值的過程可能更為復雜.首先，需要求出函數的導數，并解方程f′（x）=0，得到可能的極值點.然后，通過二階導數或利用導數的符號變化，判斷這些點是極大值還是極小值.最后，將得到的極值點與區間端點處的函數值進行比較，確定函數的最大值和最小值.

例2" 求函數f（x）=x3－3x2+1（x∈R）的極值和單調區間.

解" f（x）=x3－3x2+1（x∈R）.

f′（x）=3x2－6x，

令f′（x）=0，得x=0或x=2.

當x∈（－∞，0）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

故f（x）的極大值為f（0）=1，f（x）的極小值為f（2）=－3.

2.3" 構造函數求極值

在某些問題中，可能需要通過構造函數來求極值.例如，在不等式證明中，可以構造一個輔助函數，并通過求導找到其極值，從而證明不等式.這種方法需要學生具備較高的數學素養和解題技巧.學生一旦掌握，將極大增強解題能力.

例3" 設f（x）是定義在R上的奇函數，在（－∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（－2）=0，求不等式xf（2x）＜0的解集.

解" 設F（x）=xf（2x），

則F′（x）=xf（2x）′=2xf′（2x）+f（2x）＜0，

所以F（x）=xf（2x）在區間（－∞，0）上為減函數，

而f（x）是定義在R上的奇函數，

所以F（x）=xf（2x）在R上為偶函數，

所以F（x）=xf（2x）在區間（0，+∞）上為增函數，

因為f（－2）=0，

所以f（2）=0，

即F（1）=f（2）=0，

且F（0）=0×f（0）=0，

xf（2x）＜0即為F（x）=xf（2x）＜0，

由偶函數的定義，及以上分析可知xf（2x）＜0的解集為x－1＜x＜1，且x≠0.

3" 教學策略

3.1" 強化基礎概念

在教學過程中，首先要強化學生對導數、函數單調性、極值等基本概念的理解.通過講解、舉例、練習等方式，使學生掌握這些基礎知識，為后續學習打下堅實基礎.

3.2" 注重解題技巧

在掌握基礎知識的基礎上，要注重培養學生的解題技巧.通過講解典型例題，引導學生分析題目，找出解題關鍵，掌握解題步驟和方法.同時，要鼓勵學生多思考、多練習，通過實踐提高解題能力.

3.3" 強調數形結合

數形結合是解決極值問題的重要思想方法.在教學過程中，要強調數形結合的重要性，引導學生通過觀察函數圖象，理解函數的單調性和極值點.同時，要通過畫圖、標注等方式，幫助學生直觀理解導數在極值問題中的應用.

3.4" 加強練習與鞏固

練習是鞏固知識和提高解題能力的有效途徑.在教學過程中，要安排足夠的練習時間，讓學生通過練習鞏固所學知識.同時，要對練習情況進行及時反饋和糾正，幫助學生發現并改正錯誤，提高解題準確性和效率.

3.5" 培養學生自學能力

在教學過程中，要注重培養學生的自學能力.通過引導學生預習、復習、總結等方式，培養學生的自主學習能力和學習習慣.同時，要鼓勵學生多閱讀、多思考、多交流，拓寬知識面和視野.

4" 結語

導數在高中數學極值問題中發揮著重要作用.通過掌握導數求極值的解題技巧，學生可以更好地解決極值問題.在教學過程中，要注重基礎知識的講解和解題技巧的培養，同時強調數形結合的重要性和加強練習與鞏固.通過案例分析和實踐練習，幫助學生掌握導數在極值問題中的應用，提高解題能力和數學成績.

參考文獻：

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