基于理論推導的“結構力學”常用計算公式的學習方法

摘"要：“結構力學”作為土木工程的專業基礎課，在本科階段的學習過程中起到承上啟下的作用，“結構力學”的學習通常以“高等數學”“線性代數”“理論力學”和“材料力學”等課程為基礎。本文基于“高等數學”中的曲線積分、“材料力學”中的靜矩和“結構力學”中力法基本原理，首先對圖乘法中標準二次拋物線形彎矩圖的面積和形心位置進行了推導，其次分別對位移法中一端固端、另一端鏈桿和兩端固端結構在支座單位轉角和滿布均布合在作用下的彎矩圖進行了推導。通過自身進行理論推導加深記憶與理解，從而引導學生將已有知識點與新的知識點相結合，夯實專業基礎，培養自學和創新能力。

關鍵詞：結構力學；圖乘法；位移法；理論推導；創新能力

中圖分類號：G642""文獻標識碼：A

“結構力學”作為土木工程專業“橋梁”課程，在本科階段學習過程中起到承上啟下的作用［12］，“結構力學”的學習以“高等數學”“理論力學”和“材料力學”等課程為基礎，“結構力學”又為土木工程專業課程的學習和畢業設計提供知識儲備，“結構力學”也是諸多高校土木工程專業碩士研究生入學考試的專業課程。

根據2023年出版的《高等學校土木工程本科專業指南》中的規定獲悉，“結構力學”課時量為64學時［3］，2023—2024學年之前濟南大學土木工程專業“結構力學”課時量均為112學時，課時量壓縮了43%。為保證基本知識點的講授完整度和學生對知識點的掌握程度，課堂上進行常用公式的推導演示時間大幅削減，從而導致學生對知識點的理解與消化降低。陳圣剛等［4］進行了24人組成的小班化課堂的教學實踐，給出了“結構力學”課程小班化案例制教學方法的設計，為新時代課堂教育提供了經驗分享。以濟南大學土木工程專業“結構力學”課程為例，為180名學生設置2名“結構力學”課程教師，在教學過程中，將工程案例、趣味實驗等與授課內容有效結合［56］，但目前無法做到小班化教學，只能通過增加課外作業、章節測驗和期末測試等多方位檢驗環節摸底學生學習情況［7］，通過慕課（MOOC）、學堂在線、國家資源共享課等網站自學鞏固課堂講授的知識點［8］。檢驗環節和自學環節均暴露出諸多問題，例如，對已有知識點或已有公式的理解程度不夠，通過參考課件和書本勉強能將題目解出正確結果，若不借助參考資料將無從下手。

從學生自身角度分析，部分學生懶散和隨意的學習態度致使其無法記住并熟練應用常用公式，更不知公式緣起何處，所以除了定性分析［9］之外，應更加注重常用公式的推導及與知識點的匹配［10］。

綜上所述，對于“結構力學”中常用公式的學習，應當“授人以漁”而“非授人以魚”。通過自身進行理論推導的學習方法可以加深知識的記憶與理解，可以引導學生如何將已有知識點與新的知識點相結合，從而夯實學生專業基礎，培養學生自學和創新能力。

一、圖乘法中常見圖形面積公式和形心位置的理論推導

圖乘法中最常用的彎矩圖為三角形和標準二次拋物線，三角形的面積和形心位置公式較容易確定和記憶，但標準二次拋物線形的面積和形心位置容易混淆。

（一）面積公式推導——以“標準二次拋物線”為例

以靜定單跨梁受均布荷載作用為例，求解單跨梁跨中豎向位移ΔCV。根據圖乘法，先作均布荷載作用下的結構彎矩圖（記為MP圖）和虛設單位力系作用下的結構彎矩圖（記為M圖），如圖1所示，MP圖為標準二次拋物線，M圖為等腰三角形。

ΔCV=∑2i=1wiyi（1）

式中，wi為MP圖面積，yi為MP圖形心對應的M圖的縱距。

為準確計算單跨梁跨中豎向位移，需要確定MP圖的面積和MP圖形心位置。已知MP圖為標準二次拋物線圍成，故建立圖2的方程，基于高等數學曲線積分的公式［式（2）］可推導出標準拋物線圍成圖形的面積公式。

ω=-∫L0bL2x2-bdx=2bL3（2）

式中，b為MP圖的高度，L為MP圖長度。

（二）形心位置推導——以“標準二次拋物線”為例

本文給出了兩種形心位置的推導方法。方法一：依據材料力學中靜矩與面積的比值；方法二：從形心位置定義角度出發，即形心軸兩側靜矩相等。具體內容如下。

方法一：

xc=∫AxdAω=∫L0xbL2x2-bdx∫L0bL2x2-bdx=3L8（3）

方法二：

∫t0（t-x）dA=∫Lt（x-t）dA（4）

結合圖4可得：

∫t0（t-x）bL2x2-bdx=∫Lt（x-t）bL2x2-bdx（5）

解得：

x=3L8（6）

對比發現，兩種方法計算結果一致。

二、位移法中常見桿件的形常數和載常數表的理論推導

位移法求解超靜定結構內力圖時，常用形常數表和載常數表。由于桿件種類和荷載形式不定，給本科生的記憶和學習帶來較大的困難。本節將基于力法基本方程推導常見桿件的形常數表和載常數表，力法求解超靜定結構彎矩圖流程如圖4所示。

（一）形常數表——以“一端固定支座一端鏈桿支座”結構桿端發生單位轉角為例

以一端固定支座一端鏈桿支座為例，如圖5所示，固定支座處發生單位轉角（θ=1），求結構的彎矩圖。

推導過程如下：

（1）圖5結構為一次超靜定結構。

（2）選取如圖6所示的基本體系。

（3）繪制如圖7所示的M圖（MP圖為0），求δ11和Δ1P。

根據圖乘法，解得Δ1P=0和δ11=L3EI。

（4）依據固定端位移協調，建立力法方程：

δ11X+Δ1P=1（7）

將式（3）中的Δ1P和δ11代入式（7），解得X=3EIL，記i=EIL，則X=3i；

（5）基于疊加法原理，原結構彎矩圖M=MP+XM，故原結構彎矩圖如圖5所示。

（二）載常數表——以“兩端固定端”結構滿布均布荷載為例

以兩端固定支座為例，如圖8所示，結構滿布均布荷載，求結構的彎矩圖。由于結構形式對稱，荷載正對稱，故選取如圖9所示的半結構進行求解。

推導過程如下：

（1）圖9結構為兩次超靜定結構。

（2）選取如圖10所示的基本體系。

（3）繪制如圖11（a）和11（b）所示的MP圖和M1（M2圖為0），求Δ1P、Δ2P、δ11、δ12、δ21和δ22。

根據圖乘法，解得Δ1P=qL324EI，Δ2P=0，δ11=L2EI，δ12=δ21=0，δ22=0；求解時利用標準二次拋物線圍成的面積曲線公式（2）和形心位置公式（3）或（6）。

（4）依據固定端位移協調，建立力法方程：

δ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0（8）

將（4）中Δ1P、Δ2P、δ11、δ12、δ21和δ22代入式（8）中，解得X1=-qL212，X2=0。

（5）基于疊加法原理，原結構彎矩圖M=MP+X1M1+X2M2，故半結構彎矩圖如圖12所示，最后依據對稱性，得原結構彎矩圖如圖8所示。

結語

本文基于“高等數學”中的曲線積分、“材料力學”中的靜矩和“結構力學”中的力法基本原理對“結構力學”中的圖乘法和位移法的常用計算公式進行理論推導。本文的寫作目的如下。

（1）“結構力學”中的常用計算公式可以通過已有的課程知識點進行完整的理論過程推導；

（2）基于理論推導的學習方法可以加深對于公式的理解與記憶；

（3）基于理論推導的學習方法可以夯實學生的專業基礎，培養學生的自學和創新能力；

（4）通過理論推導的師生互動的學習方法，可以調動學生學習的參與度，追蹤學生對知識點的掌控度，增強學生對教師教學的滿意度。

參考文獻：

［1］龍馭球，包世華，袁駟.結構力學Ⅰ：基礎教程［M］.4版.北京：高等教育出版社，2018.

［2］朱慈勉，張偉平.結構力學：上冊［M］.3版.北京：高等教育出版社，2016.

［3］教育部高等學校土木工程專業教學指導分委員會.高等學校土木工程本科專業指南［M］.北京：中國建筑工業出版社，2023.

［4］陳圣剛，張營營，魯彩鳳，等.小班化案例制課程教學方案設計：以結構力學課程為例［J］.高教學刊，2023（24）：107111.

［5］王惠萍，胡曉倫.結構力學課程教學方法探索［J］.教育教學論壇，2015（10）：154155.

［6］楊建功，路維，王邵臻，等.關于結構力學課程教育改革中的幾點探討［J］.教育現代化，2016（27）：121122.

［7］李黎，龍曉鴻，江宜城，等.提高學生學習效果的教學方法探討［J］.高等建筑教育，2016，25（4）：104107.

［8］龍曉鴻，李黎，樊劍，等.結構力學課程資助學習教學模式構建探討［J］.高等建筑教育，2017，26（6）：6467.

［9］張波，陳維愿.結構力學課程教學中的定性分析［J］.攀枝花學院學報，2013，30（3）：100102.

［10］賈培強.淺談“結構力學”課程主要知識點的學習方法與解題技巧［J］.唐山學院學報，2014，27（1）：103106.

作者簡介：王銀（1991—"），男，漢族，山東鄒平人，博士研究生，講師，研究方向：固體材料損傷力學；宗香華（2004—"），女，漢族，江西贛縣人，本科在讀，研究方向：土木工程；李艷杰（1984—"），女，漢族，山東臨清人，博士研究生，副教授，研究方向：實驗固體力學方法。