對2024年北京高考數學卷壓軸題的探究

【摘要】揭示2024年北京高考數學卷壓軸題的多種解法本質、拓展及對教學的啟示.

【關鍵詞】新定義問題；探究；啟示

注方法2從整體與部分角度分析，化繁為簡，化難為易.先將數列A變換為只有4項不同的數列，再將數列變換為只有2項不同的數列，然后將數列變換為各項相同的數列.

3深入探究

4教學啟示

所謂新定義問題，指在題目當中提供一定的材料，定義了教材中沒有的概念或運算法則或符號，要求在理解材料的基礎上進入定義表述的語境，理解新定義，并運用新定義發現新的運算性質，考查學生運用數學思維和數學方法發現問題、分析問題和解決問題能力.

新定義問題對學生具有很大的挑戰性，是對學生“高階思維能力”的有效考查.新定義問題作為考查學生素養能力的重要載體，已漸漸成為命題者的“寵兒”，其難度不言而喻.基于以上認識，在教學中，教師需要引導學生探索解決新定義問題的方法與解題規律.筆者認為應該從下面三個方面入手.

4.1構建數學概念，培育創新意識

在新授課教學中，教師應遵循知識發生發展過程及學生的認知水平和思維規律，領會教材的知識體系，整合教材內容，可采用類比、猜想、歸納、抽象、論證等手段，以問題鏈的形式，通過“情境—活動—抽象概念—概念的性質—概念的運用”設計教學活動，完成對概念的整體構建，在學習過程中讓學生感悟數學思想.數學思想引領我們用一般化觀念研究問題，它不僅能幫助我們理解概念的本質與共性，靈活應對各種變化與挑戰，還能讓我們關注問題的外延，培育創新意識，在解決新問題的過程中提升創新能力［1］.解決新定義問題的思維過程通常為“新概念—初步運用（特例）—發現一般結論（概念的性質）—推理論證—解決問題”，因此新定義問題是教材的概念教學在具體情境下的運用.

4.2優化解題教學，提升關鍵能力

新定義問題具有新穎性、綜合性、應用性、遷移性等特點，蘊含了知識遷移、知識點轉化等較高層次的要求.培養學生解決新定義問題的能力不是一蹴而就的，需要教師在日常的教學中以問題為載體，逐步提升學生的理性思維和創新精神.

除了常規的新課教學以外，在解題教學中，將問題橫向與縱向比較，主動遷移學習，讓學生學會聯想、類比、歸納、思辨，培養思維的廣闊性與發散性，避免思維定勢.加強對問題本質的認識，由淺入深、由簡單到復雜，由具體到抽象，多角度、多層次地引導學生思考數學知識、方法、思想的聯系，將知識匯成網絡，思想融會貫通，方法形成體系，促進學生結構化思維的發展［2］.引導學生善于從已做的題目中汲取有用的方法和結論，注重一題多解、多題一解，啟發學生透過現象看本質，始終以一種發展、動態的眼光來審視問題.長此以往即可提升學生解決新定義問題的關鍵能力.

4.3開展探究式教學，發展核心素養

《高中數學課程標準》明確指出，數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動.同時，也給出了數學探究活動的內涵，即數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程.具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論題［3］.新定義問題旨在考查學生的數學核心素養及創新能力，因此新定義問題的教學應從數學探究活動的內涵角度展開，在“研究什么”“怎么研究”上做文章.

教師遴選有探究價值的新定義問題，首先教師自身對問題作比較深入的研究，再組織教學.在課前作為作業，讓學生嘗試解決，然后在課堂上討論，可以讓學生談思路與方法及感悟，教師作點評，讓學生體會從特殊到一般、從具體到抽象的思想.學生常常不易發現其中的數學結論，從而形成解題的瓶頸.教師可以搭建腳手架，先讓學生解決比較簡單的問題，培養學生用類比、歸納等合情推理發現結論.讓學生經歷對多種探究方法的嘗試后，引導學生發現問題的本質及運用概念和推理論證的探究方法.在解決了原問題后，引導學生思考：你還發現了什么新的性質？能否將問題一般化？能否提出新的問題？既讓學生體驗證明猜想的過程，又讓學生體驗否定猜想的過程，培養學生的思維品質及批判性思維能力.促進學生深度學習，培養高階思維，發展數學核心素養.

參考文獻

[1]黃健.品悟數學思想內涵探尋素養培育路徑[J].數學通報，2024（11）：44.

[2]劉安美.探尋問題本質求解距離最值[J].數學通訊，2024（11）：40.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020：35.

作者簡介鄭日鋒（1962—），男，正高級教師，特級教師;在省內外作有關教學專題報告百余場，長期任教于實驗班，任教的兩百余位學生考上清華大學、北京大學;發表160余篇論文.