經歷“思維可視化”過程，理解數學本質

［摘" 要］ 研究者以“三角形的周長”教學為例，從“實操互動，激活思維”“聚焦等量，揭示本質”“拓展延伸，類比提升”三個環節開展研究，通過“思維可視化”揭示數學本質。“思維可視化”教學的主要策略有：工具開發，體現思維可視化的樣態；多元表征，展示思維可視化的過程；探索關聯，揭示數學本質。

［關鍵詞］ 思維可視化；本質；周長

數學是一門邏輯性和抽象性很強的學科，對于以直觀想象思維為主的小學生而言，數學學習確實存在一定的困難。“思維可視化”可將內隱的知識、方法或思想外顯，便于學生更好地加工與傳遞信息，從而深入理解知識本質［１］。因此，教師應關注“思維可視化”的研究價值，結合學情與知識特點設計教學活動，盡可能將抽象的知識直觀化。“三角形的周長”是小學階段的重要教學內容之一，教師要引導學生通過尺規作圖法將抽象的周長問題直觀化，為后續研究正方形、長方形等更多圖形的周長奠定基礎。

一、教學過程設計

1. 實操互動，激活思維

師：圖1為一個三角形與一條虛線，如何應用尺規作圖法將三角形的三邊描述在虛線上，以體現三角形的周長？

學生在問題引導下自主操作，教師巡視，并找出一些典型方法進行投影展示。

師：圖2為一名學生的畫法，對此你們有什么想法？

生1：這種畫法將三角形的三條邊分開了，沒有連在一起。

生2：老師并沒有要求我們將三條線連在一起呀。

生3：三條線還是連在一起比較美觀。

……

對于這種畫法，學生提出了不同的意見，在學生的爭論中，教師提出問題：“若按照圖2的畫法，虛線兩端點的長度與三角形的實際周長之間存在什么關系？”

生（齊聲答）：肯定是周長小于虛線這種畫法。

師：要體現出三角形的周長，該怎么畫更合理？

生4：將前后的線段連起來。

師：如圖3，這是另一名學生的畫圖方法，說說你們的想法。

生5：這樣畫也不行，因為三角形的邊在這條虛線上出現了重疊，那么所獲得的長度必然小于三角形的實際周長。

師：究竟該如何畫才能與三角形的周長一致呢？

生6：想要在這條虛線上表達三角形的周長，就要確保三條線段之間既不能重合也不能分離。

設計意圖：教師選擇經典、規范的作品進行展示，可以強化學生對正確方法的理解。但是，教師“反其道而行之”，通過兩幅有問題的作品投影，與學生共同探討問題的根源，讓學生自主發現研究三角形周長時的注意事項。這種既關注研究結果，又關注研究過程的教學手法，成功激活了學生的思維，幫助學生積累了操作經驗，同時提升了學生的操作與反思能力。教師通過“思維可視化”的教學方法，促使學生進一步感知數學學科的嚴謹、周密，為揭示三角形周長的本質奠定基礎，發展了學生的推理意識、幾何直觀等核心素養。

2. 聚焦等量，揭示本質

教師投影展示學生的標準畫法，如圖4所示，要求學生自主說明畫圖方法。

生7：分別用圓規截取三角形三條邊的長度，逐條移到虛線上。

師：移動過程中，有什么值得注意的？

生7：要確保下一條線段與前一條線段無縫且不重合地連接。

師：你是怎樣確定三角形上的AB邊與移動到虛線上的AB線段等長的？

生7：利用圓規測量好三角形上的AB邊后，將其移動到虛線上時，圓規兩條腳之間的距離沒有發生變化。

師：非常好！基于“等量的等量相等”的規則，可明確三角形的周長與虛線上的哪條線段具有相等的關系？

生8：如圖4所示，如果以點A為起點作圖，那么虛線上的AA′與△ABC的周長相等。原因在于虛線上的AB等于三角形上的AB，虛線上的BC等于三角形上的BC，虛線上的CA′等于三角形上的CA。

師：很好！若以點B為起點畫圖呢？

生9：如圖5所示，同理BB′與三角形的周長相等。

教師對學生的畫法表示肯定，并要求學生將整個作圖過程與所代表的意義進行詳細闡述，進一步明確三角形三邊長的和就是三角形周長的本質，讓學生對三角形周長有直觀的理解，此為思維可視化的體現。

師：除了以上有序畫圖之外，還存在其他畫圖方法嗎？

生10：圖6為以點A為起點的無序畫圖方法。

師：你們覺得這種畫法怎么樣？

生11：我認為這種畫法也可以，雖然所畫的線段沒有順序可言，但最終也是將三角形的三條邊順利移動到了虛線上，因此虛線上最終形成的線段同樣為三角形的周長。

師：與圖4、圖5相比，圖6這種畫圖方法有什么弊端？

生12：如此畫圖的條理不清晰，由于三角形的線段較少，一般不會出錯，但若遇到多邊形，則可能會出現重復或遺漏。

師：總結得很好，通過以上探索大家已經明確了三角形的周長就是其三條邊的長度和。實際畫圖時，要遵循條理清晰的原則，避免不必要的錯誤。

設計意圖：將三角形的三條邊用尺規作圖法移動到一條虛線上，不僅鍛煉了學生的手腦協作能力與直觀形象思維，還促使學生明確線段的長度之間具有加減性特征，這對發展學生的幾何直觀能力具有重要價值。作圖過程需注意的問題很多，比如線段之間不能出現縫隙、不能重疊，只有做到首尾相接，才能獲得準確的周長，凸顯了數學學科的嚴謹性。在教師的啟發下，學生自主發現等量具有替換性，三角形的周長從本質上而言就是各條線段相加之后的長度和，即線段長度具有相加性。值得注意的是，按照一定順序畫圖更具條理性，不容易出現錯誤。教師如此設計，能讓學生經歷“思維可視化”過程，有效發展學生的推理意識。

3. 拓展延伸，類比提升

師：通過以上探索，大家已經初步掌握了三角形周長的概念，現在請大家自主用尺規描述長方形的周長。

如圖7，學生自主操作，將四條線段逐一移動到下面的射線上，通過測量獲得長方形的周長。

師：作圖過程中，大家一共用圓規截取了幾次長方形的邊？

生13：如圖8，與三角形類似，按照順序共截取、移動了4次，最終在射線上獲得該長方形的周長。

師：有其他意見嗎？

生14：如圖9，其實只要兩次就夠了，原因在于長方形的對邊是相等的，用圓規分別截取該長方形的一條長與一條寬之后，到射線上分別畫兩次即可。

師：以上兩種畫法的具體操作順序是什么？

生15：圖8就是按照三角形的方法，依次畫長方形的寬AB→長BC→寬CD→長DA，因為開始的端點為A，結尾的端點也是A，所以用點A′代替結尾的端點，即AA′為長方形ABCD的周長。

生16：圖9的順序為AB→CD→AD→BC，由此獲得的線段AC′為長方形的周長。

師：你們覺得哪種畫圖方法更好一些？說明理由。

生17：我更傾向于圖8的畫法，按照順序來畫不容易出錯，而且條理很清楚，符合數學學科特點。

生18：我感覺圖9的畫法更簡便一些，這么畫更容易理解，圓規使用次數也少一些，且將長方形對邊相等的特征體現出來了。

師：這兩種畫圖方法各有千秋，實際應用時，大家可根據自己的喜好來畫。既然我們已經將長方形的周長畫在射線上了，那么該怎樣獲得周長的結論呢？

生19：只要將射線起點與終點間的距離測量出來即可。

師：由此可見，平面圖形周長的本質是什么？

生20：平面圖形的周長就是一條線段的長度。不論該圖形是幾邊形，只要確保每一條線段都能準確地移動到同一條直線上并連接好，就能順利獲得該圖形的周長。

師：總結得很完整，現在大家來看下面這個問題。如圖10，將圖中兩個圖形的各條邊分別移動到射線上，比較兩個圖周長的大小。

設計意圖：平面圖形的探索要在操作、觀察與思考的基礎上進行。教師引導學生借助尺規作圖研究平面圖形的周長，通過點與線來揭示圖形本質，讓學生經歷“思維可視化”的過程，這樣不僅能讓學生深刻體會將圖形中的線段逐條移動到一條直線或射線上的過程，還能讓學生充分感知數學學科的嚴謹性，這對培養學生的數學家精神，揭示數學本質具有重要價值。此環節，學生將思維聚集在周長的探索中，不僅積累了豐富的探索經驗，還進一步鞏固了自身對周長的認識，即平面圖形的周長從本質上而言就是一條線段的長度。教師如此設計，能有效提升學生的幾何直觀能力，讓學生切身體會到尺規作圖是“思維可視化”的基本手段。

二、教學思考

1. 工具開發，體現思維可視化的樣態

數學教學過程中的思維可視化，一般以直觀的思維圖、流程圖或結構圖等展示學生完整的思維過程。在課堂中教師應想方設法開發能夠揭露學生思維過程的教學工具，讓思維以多樣態的形式呈現［２］。

本節課，教師引導學生借助“尺規”工具，探索多邊形的周長問題，讓學生通過對操作過程的觀察與思考，提煉周長的本質。整個探索過程由學生親自參與、互動交流，既突出了學生親歷“思維可視化”的過程，又借助尺規將圖形間的聯系展示出來，讓學生對周長概念的本質、內涵與外延有深刻理解。學生在教師的引導下畫圖、操作、表達，能對抽象的數學概念產生直觀形象的認識。

2. 多元表征，展示思維可視化的過程

多元表征可增強學生對基礎知識的認識，促進聯想，為發展其數學思維奠定基礎。實踐表明，同一問題的不同表征形式可增強表征間的聯系，讓學生更好地理解知識本質。直觀表征屬于最基礎的思維可視化過程，即通過對實例的客觀描述，讓學生對數學直觀產生客觀體驗。學生從實際問題中抽象數學問題的思維過程，要經歷數字具象化或數量關系明確化的過程，此為提升學習能力的關鍵。

學生在教師的引導下，不僅用尺規作圖法進行直觀表征，還應用規范嚴謹的數學語言進行描述。學生經歷了整個思維可視化的過程，對周長這一概念有了直觀形象的認識，并深刻理解其本質，實現了深度學習。

3. 探索關聯，揭示數學本質

思維可視化并不能將問題中的數量關系都交代清楚，因此這并不是一勞永逸的方法，只有厘清知識與知識間的關聯，才能讓學生建立系統化的認知結構。因此，教師要引導學生感知知識間的聯系，將學生置于互動、質疑與辨析的學習環境下，逐漸清晰學生的思維，為揭示數學本質做好鋪墊。

本節課教師緊緊圍繞學生的想法展開探索，在深度探究中突破教學難點，讓學生自主將多邊形的邊長逐條移動到直線上，成功揭示了周長的本質——就是一條線段。每個學生都是獨立的個體，對同一問題有著不一樣的見解，因此在利用思維可視化挖掘知識間的關聯時，教師要關注到學生客觀存在的差異性，以滿足不同學生的學習需求。

總之，教師引導學生經歷“思維可視化”過程是揭示數學本質的基礎，是推動學生直觀思維發展的關鍵。教師應正確理解思維可視化的內涵，通過多樣化的數學工具、多元表征以及知識間的關聯來發展學生的數學核心素養。

參考文獻：

［１］ 曹志丹，陳樹清. “思維可視化”視域下的小學數學教學探究［Ｊ］. 文理導航（中旬），２０２４（６）：５２－５４.

［２］ 王佳怡. 借助尺規作圖 探尋周長本質：“通過尺規作圖認識三角形的周長”教學片斷與思考［Ｊ］. 小學數學教育，２０２４（Ｚ２）：７６－７７＋８３.