簡便運算錯誤歸因及對策探析

［摘" 要］ 研究者對學生的乘法簡便運算錯誤歸因進行分析，抓住乘法分配律的本質特征進行教學，幫助學生鞏固乘法分配律，促進學生形成知識體系。

［關鍵詞］ 小學數學；簡便運算；知識體系；對策探析

運算是數學的基本研究對象，也是數學的一種基本思維形式。運算能力主要包括能夠根據運算律、運算法則和運算程序熟練進行四則運算。在小學數學教學中，簡便運算的教學是培養學生運算能力不可或缺的一部分，不僅可以滲透化繁為簡的思想，提高學生的運算能力，還可以提升學生的數學思維品質，促進學生高階思維能力的發展。

一、簡便運算的錯誤成因及現狀

在簡便運算中，對運算定律本質的理解是學生靈活進行簡便運算的關鍵。對學生來說，最難掌握的運算定律是乘法分配律，學生在運用時常常出現錯誤，容易與乘法結合律混淆。究其原因主要是乘法分配律的模型與其他運算定律的模型不同，學生難以理解，尤其是學生學習了小數和分數乘除法后遇到的簡便運算類型繁多。因此，教師要引導學生掌握簡便運算的技巧和方法。

現行的小學數學統編教材第二學段運算定律內容包括加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律以及乘法分配律，要求學生能用字母表示運算律，并理解算理和掌握算法，培養代數思維；第三學段運算教學的主要內容包括簡單的小數、分數四則運算和混合運算，重點是讓學生感悟運算的一致性。因此，在第三學段學生學習了小數和分數的運算后，教師要對學生的乘法分配律運用能力進行檢測和錯誤歸因，并通過結構化設計“乘法分配律再認識”的教學活動，幫助學生深入理解乘法分配律的本質特征，鞏固乘法分配律的應用，牢固架構乘法分配律的模型，促進學生形成知識體系，提升學生的運算能力和高階思維能力。

二、簡便運算的有效策略

簡便運算在小學數學教學中具有重要地位，它不僅能提高學生的計算速度和準確性，還能激發學生學習數學的興趣，培養他們的思維能力和創新精神。

1. 檢測練習，鋪墊精準施教

當學生學完第二學段的探索運算定律之后，教師要在第三學段的小數乘除法四則運算中繼續探索運算定律對于小數是否適用。教學中，筆者發現學生在簡便運算中乘法分配律的應用錯誤較多。因此，在教學整數乘法運算定律推廣到小數后，教師要利用習題進行檢測，幫助學生尋找產生錯誤的原因及對策。

師：同學們，小數乘除法的學習已經結束，下面挑戰“計算小能手”的時刻到了。現在老師給出12個題目，請你們快速進行簡便運算。

①472×78＋528×78；②（1.25－0.125）×8；③1.25×2.5×32；④7.6×102；⑤65×101－65；⑥9.8－9.8×0.7；⑦10.6×5.09－0.6×5.09；⑧44×250；⑨6.8×3.8＋38×0.32；⑩36.5×9.9＋3.65；？輥？輯？訛7.2×0.4+2.4×4.8；？輥？輰？訛98×7.2+14.4。

運算結束后，通過數據的收集和統計，筆者發現學生錯誤較多的地方集中在變式練習。部分學生直接運用四則運算，雖然結果正確，但是方法不簡便。為了收集更多的第一手資料，以便進一步了解學生的運算錯誤原因，筆者對本校其他班級進行了抽樣比對，并對所抽測班級的學生進行訪談，發現學生在運算時遇到的困難很多，正確率見表1。

（1）學生對乘法分配律的基本模型掌握不牢固，容易在分與合的過程中出錯，比如出現（1.25－0.125）×8=1.25-0.125×8或1.25×8-0.125的錯誤。

（2）學生對乘法分配律和乘法結合律出現混用，比如出現1.25×2.5×32=1.25×8+2.5×4，7.6×102=7.6×100×2，44×250=40×250×4或者40+4×250等錯誤。

（3）在變式練習中運用乘法分配律時出現錯誤。部分簡便運算的題目在不改變運算結果的情況下，需要學生創造條件找到適合乘法分配律的模型進行運算，但是有的學生無法創設出與運算結果一致的乘法分配律模型。比如出現44×250=40+4×250，36.5×9.9＋3.65=3.65×（9.9＋0.1）；7.2×0.4+2.4×4.8=7.2×（2.4-0.4）×4.8；98×7.2+14.4=98×7.2+（14.4÷2）等錯誤。

精準定位學情是教師進行教學思考與實踐的前提，通過檢測，對學生的錯誤進行歸因，能為下一步的精準施教做好鋪墊。

2. 課堂實施，探究解決方法

筆者通過檢測摸清了學生在簡便運算過程中的錯誤類型，找到了乘法分配律應用錯誤的根本原因，即學生對本質模型理解不到位，無法創造符合乘法分配律模型的簡便運算方法。因此，筆者通過三個教學活動串聯本節課，幫助學生加深對乘法分配律模型的本質理解。

活動一：快速完成解答（限時4分鐘）。

①筆算：14×12。

②簡算：3.5×9+3.5。

③如圖1所示，求長方形的周長。

④如圖2所示，求組合圖形的面積。

⑤媽媽到超市買了4千克的蘋果，每千克7.5元，又買了同樣價格的梨子8千克，媽媽一共花了多少錢？

東北師范大學史寧中教授認為，模型是數學發展所依賴的思想本質之一。因此，理解乘法分配律模型有助于學生理解乘法分配律概念的本質，為靈活簡便運算打下堅實的基礎。教學伊始，在學生快速完成解答后，教師應激活學生原有的知識經驗，促使學生在挑戰練習的過程中逐漸形成乘法分配律的模型意識，進而掌握乘法分配律的定義和字母公式，凸顯乘法分配律的本質特征。

活動二：引導學生對熟悉的教材內容進行梳理，尋找教材中乘法分配律的模型，在歸納與提煉的過程中系統認知乘法分配律，并形成乘法分配律的結構化知識鏈（具體見表2）。

通過梳理教材可知，乘法分配律的模型分布較廣，涵蓋小學的各個年級。教師要引導學生對熟悉的數學問題進行簡化和抽象概括，且重視梳理與提煉，以實現對乘法分配律的結構化認知。在知識模塊上，教師要從簡單到復雜、從低年級到高年級，一步一步地引導學生梳理其中的乘法分配律模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，讓學生整體感知整數、小數、分數在乘法分配律中的運用，真正理解乘法分配律以及如何簡便計算整數、小數和分數的四則混合運算。教師要引導學生將已經學過的與即將學習的乘法分配律內容整合在一起，構建一個完整的知識體系。在這一過程中，教師引導學生進一步體會乘法分配律的本質特征，培養學生乘法分配律的模型意識。

活動三：不用計算，哪些題目可以運用乘法分配律進行簡算？

①21×9＋19×9；②4.2×7.5+7.5×5.8；③3/5×2+2/5×2；④9.8－9.8×0.7；⑤（1.25－0.125）×8；⑥0.65×102；⑦98×7.2+14.4；⑧1.25×2.5×32；⑨44×250。

首先，教師引導學生觀察數據，讓學生直觀尋找算式中含有乘法分配律的模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，即含有兩級運算的乘法是否有一個因數是相同的，另外兩個因數是否可以湊整進行簡便運算。比如：21×9＋19×9，4.2×7.5+7.5×5.8，3/5×2+2/5×2，（1.25－0.125）×8。

其次，讓學生觀察符號。觀察符號和觀察數據同等重要，能讓學生懂得必須明確乘法分配律的本質特征才能真正進行簡便運算。乘法分配律的模型包含著兩級運算符號形式，教師要引導學生尋找乘法分配律的模型，判斷題目是否具有乘法分配律的模型。

再次，讓學生創造條件。當算式中無法直接看出乘法分配律模型時，學生可以在不改變運算結果的情況下，創造符合乘法分配律的模型進行簡便運算。比如，9.8－9.8×0.7中有相同的因數，但是缺少一個相減的因數，此時可創造條件9.8×1－9.8×0.7，使其符合乘法分配律模型。這樣的創造需要學生以模型為基礎，充分思考符合要求的條件進行創造，并借助乘法分配律對運算過程進行重組和化簡，得到不同的算法，提升自身的思維品質。

活動中，學生對于0.65×102、98×7.2+14.4、1.25×2.5×32、44×250這四個題目都能通過創造條件，重組與乘法分配律模型一致的簡便運算。但是在1.25×2.5×32這一題中，學生還是會經常出現創造錯誤的條件，如1.25×8+2.5×4，這說明其沒有掌握乘法分配律的本質，將乘法分配律與乘法結合律混淆。因此，突破這一難點的關鍵是教師要讓學生理解運算律的本質，在仔細觀察數據時注意觀察符號，樹立乘法分配律的模型意識。

最后，讓學生優化簡算。在44×250中，學生能夠創造條件進行簡便運算，如4×11×250和（40+4）×250=40×250+4×250，兩種形式一個是運用乘法結合律簡算，另一個是運用乘法分配律進行簡算，通過多種對比，從中找到最優的簡便運算方法。

活動三中層層深入的問題設計，旨在讓學生經歷“觀察數據—觀察符號—創造條件—優化簡算的運算策略中逐一體驗乘法分配律模型”的過程，提升運算能力，發展高階思維。

3. 回顧反思，提升數學素養

（1）在活動中抓本質——識模

學生的認知結構在掌握知識的過程中形成和發展，是其原有認知結構與新知識相互作用的結果。教師要引導學生在活動中建立乘法分配律的模型，通過激活學生原有的知識經驗，增強學生對乘法分配律概念本質的理解，形成乘法分配律的知識鏈，體會乘法分配律應用的靈活性。在強化乘法分配律原型認識的變式練習中，教師要通過生生互學、思辨討論，讓學生形成一定的方法和策略，從而使學生的認知結構達到新的高度與深度。

（2）在梳理中重結構——固模

在單元整體教學設計時，教師可能會較多地立足一個單元的設計，較少從縱橫交錯的教材中思考。學生對于乘法分配律并不陌生，雖然到四年級才正式學習，到五、六年級進行深度學習，但學生腦海中存在的都是點狀的認知。本節課的活動二是梳理教材中的乘法分配律模型，關聯了整個小學的階段，甚至包括初中階段的猜想，從不同的角度給了學生不一樣的思路。教師要從不同的視角巧妙設計乘法分配律的學習活動，讓學生將乘法分配律連點成線，加深對乘法分配律的再認識，促進對乘法分配律知識體系的架構和固模。

（3）在思辨中成系統——用模

課堂要以學為中心進行變革，變的不僅有教師的教學方式，還有學生的學習方法。比如在活動三中，教師不僅引導學生去觀察數據、觀察符號、結構性創造條件，掌握乘法分配律的應用，還引導學生對乘法分配律進行深入探究，并體會方法的多樣性，強化對乘法分配律的建模和用模。

三、結語

乘法分配律的應用是運算定律教學中學生容易出現“反復性錯誤”的內容。教師要引導學生建立乘法分配律的基本模型，加深學生對乘法分配律概念本質的理解，并以乘法分配律的本質模型為關鍵點，讓學生在經歷梳理教材、變式練習中加深對概念本質的理解，形成對概念的基本認知。教師要引導學生在歸納與提煉的過程中實現概念的結構化，形成乘法分配律的知識鏈；讓學生在梳理解題思路中獲得簡便運算的方法與策略，從而培養學生數感，促進學生形成知識體系。