巧思構造輔助圓，妙解平面幾何問題

【摘要】在解答平面幾何問題時，利用多類型技巧構造輔助圓，可以輔助解決平面幾何的壓軸題.有些題目信息中，看似沒有圓，但通過深入挖掘題目信息，精心構造輔助圓，能夠利用圓的幾何性質解決平面幾何問題.在構造輔助圓的過程中，首先要找到圓心與半徑，也就是一個定點和一個定值，這是構造圓的關鍵.

【關鍵詞】輔助圓；初中數學；解題技巧

類型1根據“圓的定義”構造輔助圓

例1在如圖1所示的多邊形中，包含一個正方形ABCD和一個直角三角形AEF，其中AB=5，AE=AF=4，連接DE，BF.若Rt△AEF繞點A旋轉，當∠ABF最大時，△ADE的面積為 .

解析該題目中已經給出可用信息，基于Rt△AEF繞點A旋轉，可根據圓的定義構造輔助圓，即在該平面內，三角形繞一個固定端點旋轉一周所形成的軌跡為圓.首先作出輔助線，然后利用輔助圓的性質解題.由角角邊（AAS）定理可證得△AHD和△AFB全等.最后可根據勾股定理求出△ADE的面積.

如圖2所示，延長EA，并過點D作DH⊥EA的延長線，垂足為H.

Rt△AEF繞點A旋轉，可形成以點A為圓心的圓.

因為AE=AF=4，所以圓A的半徑為4.

根據題意可知，當線段BF是圓A的切線時，∠ABF最大，此時BF⊥AF，

根據勾股定理先求出線段BF的長度.

BF=AB2－AF2=52－42=3，

因為∠EAF=90°，

所以∠FAB+∠HAB=90°，

又因為∠HAD+∠HAB=90°，

所以∠FAB=∠HAD，

因為∠AHD=∠AFB=90°，且AD=AB，

所以△AHD≌△AFB（AAS），

因此可得HD=FB=3，

所以S△ADE=12AE·HD=12×4×3=6.

類型2根據“圓周角的性質”構造輔助圓

例2如圖3所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，其中∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，點M是四邊形ABCD內的一個動點，滿足∠AMD=90°，則點M到直線BC的距離的最小值為 .

解析在處理線段的最小值的問題時，可以通過構造輔助圓來找到最小值.因為直徑所對的圓周角等于90°，而題目中所給信息有∠AMD=90°，由此可以構造輔助圓，取線段AD的中點O作為圓心，因此其直徑為AD.利用梯形中位線定理和三角函數知識即可求出點M到直線BC的距離的最小值.

如圖4所示，取AD的中點O為圓心，AD的長為直徑作圓，延長BC，作OH⊥BC的延長線于點H，其中線段OH與圓O的交點為N，當點M與點N重合時，點M到直線BC的距離最小.

過點C作CF∥AD交AB于點F，

則CF=AD=4，AF=CD=4，

因為∠ABC=60°，BC=4，

所以△BCF是等邊三角形，

則BF=BC=4，

因此可得AB=8，

再取BC的中點E，連接OE，

由梯形中位線定理可得

OE=12（CD+AB）=12×（4+8）=6，

∠CEO=∠ABC=60°，

在直角三角形OHE中，結合三角函數可得，OH=6sin60=33，

而圓O的半徑為2，

因此NH=33－2，即點M到直線BC的距離的最小值是33－2.

類型3根據“定弦定角”構造輔助圓

例3如圖5所示，動點M在邊長為2的正方形ABCD內，且AM⊥BM，P是線段CD上的一個動點，E是線段AD的中點，則線段PE+PM的最小值為（）

（A）10－1.（B）2+1.

（C）10.（D）5+1.

解析通過定弦定角構造輔助圓是壓軸題中常出現的一類題型.解答此類題型時，首先要分析和尋找具有定弦定角特征的三角形，確定大致模型，接著構造該三角形的外接圓，確定動點的運動軌跡，最后根據相關的幾何性質，確定最值點，進而計算得出結果.

作點E關于直線CD的對稱點E′，設AB的中點為點O，連接OE′，交CD于點P，連接PE.

因為動點M在邊長為2的正方形ABCD內，且AM⊥BM，

所以點M在以AB為直徑的圓上，

OM=12AB=1，

因為正方形ABCD的邊長為2，

所以AD=AB=2，∠DAB=90°，

因為點E是AD的中點，

所以DE=12AD=12×2=1，

又因為點E和點E′關于線段CD對稱，

所以DE′=DE=1，PE=PE′，

所以AE′=AD+DE′=2+1=3，

在直角三角形AOE′中，

OE′=E′A2+AO2=32+12=10，

因此可得PE+PM=PE′+PM=ME′=OE′－OM=10－1，

所以線段PE+PM的最小值為10－1.

結語

初中數學中有關平面幾何的題目常出現在壓軸題中.輔助圓是通過構造一個或者多個圓來幫助學生解決幾何題目的方法，可以利用圓的定義、圓周角的性質以及定弦定角等方式進行構造.通過構造輔助圓，能夠在一定程度上降低幾何題目的難度，從而更容易發現問題的本質，找到最終答案.