數學大概念單元學歷案的設計路徑探究

［摘要 ］研究者深入探究數學大概念單元學歷案的設計路徑. 通過分析數學大概念的內涵與提取路徑、單元學歷案的內涵和設計框架，研究者結合“平行四邊形”單元學歷案的設計案例闡述了提取數學大概念的常見路徑、單元學歷案的分析框架、“大概念”單元學歷案的設計流程，力圖為大概念單元深度學習提供有益參考.

［關鍵詞］大概念；單元學歷案；設計路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計；幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系［1］.關于結構化的數學知識體系，呂亞軍等人提出：從結構化的視角對數學教學內容進行重構和優化，幫助學生建立完整的結構化體系，達成問題解決和有效遷移應用［2］ .這也是新課標下素養導向的單元教學的關鍵要求.具體而言，數學大概念單元學歷案是在數學大概念的統攝下進行單元整體建構，通過先學后教、以學定教的教學方式，設計學歷案來激發學生的主動探索精神，解決學生思維發展的低階性、課時內容的零散性和教學單元之間的割裂性等現實問題，發展學生的數學核心素養.

數學大概念內涵與提取路徑

1. 數學大概念的內涵

關于“大概念”內涵，常寧、胡典順在《大概念統攝下的數學單元教學設計探析》一文中，對“大概念”的內涵進行了闡述.他們認為，國內外對“大概念”的觀點基本一致，只是表述上略有不同，比如布魯納提出的“基本觀念”、埃里克森的“核心概念”以及懷特利的“意義模式”等都具有“大概念”的內涵和意義［3］．不論哪種表述，都說明大概念的內涵是基于知識結構體系建立的，強調深度理解概念的本質，強化知識的應用遷移的基本觀念.綜上所述，數學大概念是能夠反映數學本質、統攝數學知識與方法的核心概念，具有概括性、基礎性、遷移性和持久性.

2. 數學大概念的提取路徑

劉徽總結了自上而下和自下而上的8條大概念提取路徑［4］，但在實際操作中有一定的難度.她認為，只要是學科內容的核心，且能夠聯通相關內容的理解，就可以作為大概念.為了方便大概念的提取操作，筆者結合大概念的內涵，以“平行四邊形”章節為例進行提取路徑的分析.重點研究了平行四邊形的邊、角、對角線之間的關系，這是研究幾何圖形本質的關鍵問題，所以圍繞數學本質可以提取以下大概念：研究幾何圖形就是研究組成幾何圖形的基本元素之間的數量關系和位置關系；研究平行四邊形滲透的思想方法為一般到特殊.學生在研究新的幾何圖形時，往往會先回顧已學過的幾何圖形的研究方法.例如，將研究三角形所采用的一般到特殊的方法遷移應用到研究平行四邊形上，所以圍繞思想方法可以提取出以下數學大概念：研究幾何圖形的思路可以從一般到特殊進行；圖形的性質主題要求學生基于直觀理解掌握幾何基本事實，以及基于基本事實認識并證明圖形的性質和關系.因此，圍繞核心素養可以提取另一數學大概念：研究幾何圖形的性質與判定是先通過幾何直觀感知幾何圖形及其組成元素，再分析并證明其性質與判定.通過這三個維度的分析，可以提取相應的數學大概念.當然，大概念的提取并不限于這三個維度，比如夏繁軍等人在《數學大概念及其提取》中提到：追問學習內容的本質問題也是提取大概念的合適路徑.比如在教學“平行四邊形”時，從追問的角度提取的大概念有：平行四邊形的概念本質是什么？如何研究平行四邊形？為什么要研究平行四邊形？平行四邊形的研究內容有哪些？平行四邊形與特殊平行四邊形之間的關系及證明等都可以作為平行四邊形單元中的大概念［5］.基于以上分析，我們整理出四種常見的數學大概念提取路徑：圍繞數學知識、圍繞數學思想方法、圍繞數學核心素養、追問數學本質.

單元學歷案的內涵與分析框架

1. 單元學歷案的內涵

學歷案最早由華東師范大學崔允漷教授提出，它是一種關于學習經歷或過程的方案，為學生提供自主學習的規范流程，明確學什么、怎么學、學到何種程度、學完結合目標檢測自己是否達到學習要求的一種教學評一致性的設計方案［6］ .單元學歷案是以“單元”為設計單位，從期望學生“學會什么”出發，設計并展示學生“何以學會”的過程，幫助學生自主建構單元學習過程的專業方案，它是從學生學習的角度出發，設計的一種體現單元結構化知識體系，實現教學評一致性的單元學習方案.通過單元學歷案，讓學生經歷單元學習全過程，包括大概念、核心問題、單元名稱與課時、學習目標、評價任務、學習過程（含資源與建議） 等6個要素.單元學歷案的優勢主要在于設置了基于學生經驗的單元學習活動的目標和任務.李傳貴等人指出，學歷案實現了從“教”到“學”再到“學會”的兩次信息轉換，最終指向學生的“學會”［7］ .崔允漷教授提出：單元學歷案設計的關鍵在于單元學習目標要具體明確，體現素養落地；單元學習過程要體現進階性、結構化與實踐性特征；評價任務的設計要先于學習過程，以評促學，確保教學評的一致性［8］ .由此可見，數學單元學歷案是以學生學習經歷為中心，體現目標評價、過程指導的單元設計方案.

2. 單元學歷案的分析框架

編制單元學歷案，需要思考在單元學習目標統領下的教學評一致性問題，需要分析本單元“為什么學”“學什么”“怎樣學”“學到何種程度”等問題［9］.下面，以“平行四邊形”為例，建立基于大概念的“平行四邊形”單元學歷案分析框架（如圖1） .

“大概念”單元學歷案的設計流程

新課標理念下，結構化教學要求我們站在“大概念”的高度，基于“大概念”單元學歷案進行教學設計.下面，以“平行四邊形”章節為例來解析基于“大概念”單元學歷案的設計流程.

1.“大概念”教學分析

以“大概念”視角分析教學內容是確定單元學歷案的重要環節，其基本思路如下：首先，從整體上把握教學內容，提煉“大概念”，構建“大概念”統領下的單元知識體系；其次，引導學生以“大概念”為框架，構建認知結構知識體系，形成整體、聯系、結構化的思維習慣［10］ .以人教版“平行四邊形”為例，進行“大概念”教學分析：平行四邊形是在平行線、三角形和四邊形的基礎上進一步研究的幾何內容，將平行四邊形的角、邊特殊化，進而研究矩形、菱形和正方形等特殊平行四邊形，認識這些概念之間的聯系與區別，明確它們的內涵與外延；探索并證明平行四邊形和特殊平行四邊形的性質定理和判定定理，進一步明確命題及其逆命題之間的關系，不斷提升學生的合情推理能力和演繹推理能力.可見，本章的學習流程是通過回顧三角形的研究思路類比研究四邊形，進一步歸納幾何圖形的研究思路，由此可確定幾何圖形的研究思路就是貫穿本章內容的一個大概念.

2. 課標分析

平行四邊形是圖形性質主題的重要內容，課標要求：理解平行四邊形和特殊平行四邊形的概念，以及它們之間的關系；探索并證明平行四邊形、特殊平行四邊形的性質定理和判定定理；能夠運用相關的性質與判定進行計算和證明.學業要求：掌握平行四邊形的概念，了解圖形的特征、共性與區別.在直觀理解和掌握幾何圖形概念的基礎上，經歷數學結論的論證和驗證過程，感悟數學邏輯的傳遞性，形成幾何直觀素養和推理能力，發展空間觀念和抽象思維.教學啟示：引導學生理解歐幾里得平面幾何的基本思想，經歷圖形的分析與比較過程，感悟基本事實的意義；經歷幾何命題的發現和證明過程，以及幾何命題的確立過程；立足學生“三會”核心素養的發展.

3. 教學內容分析

“平行四邊形”位于人教版數學教材八年級下冊第十八章.教材在該章引言中提出：與三角形一樣，平行四邊形也是一種基本的幾何圖形，在現實世界中隨處可見.本章將進一步學習平行四邊形、矩形、正方形的概念，并在理解它們之間關系的基礎上，利用已有的幾何知識和方法，探索并證明它們的性質定理和判定定理；進一步體會研究圖形幾何性質的思路和方法，通過觀察、類比、特殊化等途徑和方法發現圖形的幾何性質，再通過邏輯推理進行證明.章引言還指出了平行四邊形研究的三個主要方面：平行四邊形是什么？為什么要研究平行四邊形？怎樣研究平行四邊形？對于這三個問題，章引言給出了相關說明：本章的學習內容是平行四邊形，這是現實生活中的常見圖形；學習平行四邊形的原因是現實世界中物體形狀的研究需要；而學習平行四邊形的方法則是觀察、類比、特殊化［11］ .

4. 學情分析

一方面，學生在小學階段已經對平行四邊形有了初步、直觀的認識，這為初中階段平行四邊形的學習研究提供了認知基礎.在初中階段前期，學生學習了點、線、面、角，相交線與平行線，三角形等知識，通過觀察、操作等活動，積累了一定的探索經驗；并具備了正確分析和使用幾何圖形的初步能力，同時形成了合作和交流能力.另一方面，八年級學生自我展示意識較強，對新鮮事物頗具好奇心和探究欲，具備了研究平行四邊形的能力，但學生分析問題的能力稍顯不足，分析思路和書寫推理過程不規范.因此，在學習資源的選取與呈現以及學習活動的安排上，除關注學生掌握基本知識外，還應設置自主學習、合作探究等活動環節，關注學生的思維展示.通過體會幾何知識的基本思想和思維模式，強化數形結合、化歸等思想方法，培養學生的空間觀念和幾何直觀能力，讓學生形成良好的思維品質，為將來學習研究其他平面圖形奠定基礎.

5. 單元目標分析

新課標提出：“圖形的性質”強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理.由此，“平行四邊形”一章的學習目標如下：（1） 類比三角形，明確四邊形（特別是平行四邊形） 的研究對象、研究內容、研究方法、研究路徑.理解平行四邊形和特殊平行四邊形的概念、性質、判定及其相互關系，會應用這些性質和判定進行相關的計算和證明，提升推理能力. （2） 經歷平行四邊形的概念、性質、判定的探究過程，明確研究這類圖形的基本路徑：概念—性質—判定.圖形的概念通過屬加種差的方式得以確立；圖形的性質包括組成圖形的基本要素（邊、角） 或相關要素（對角線） 之間的數量關系（位置關系）、圖形的整體對稱性，一般采用“觀察（測量、實驗） —猜想—驗證（舉反例或推理證明） ”的方法進行研究；圖形的判定則從性質出發，猜想基本的判定條件，并通過舉反例或推理證明進行驗證.（3） 通過探究特殊平行四邊形，掌握研究這類圖形的路徑和方法，提升研究幾何圖形的能力，提高學習能力.（4） 通過對特殊平行四邊形的探究，體會數學知識之間的內在聯系，積累研究四邊形和其他幾何圖形的概念、性質、判定的經驗，感悟數學的嚴謹性、系統性、一般性和一致性，培養理性精神，提升抽象能力、推理能力、幾何直觀等核心素養.

6.“大概念”單元學歷案設計框架

基于課程標準及相關要素的分析，“平行四邊形”一章可分為三個教學單元：認識平行四邊形、認識特殊平行四邊形、總結平行四邊形的知識體系與研究方法.這三個單元的學習目的：一是學會對平行四邊形進行元素觀察與分析；二是能夠針對相關元素進行特殊化觀察與研究，從而掌握研究一類幾何圖形的一般方法.由此，筆者設計了基于大概念的“平行四邊形”單元學歷案框架，如前表1.

結語

“平行四邊形”是學生進行幾何圖形對比學習、研究的關鍵內容，也是形成研究幾何圖形基本思路的重要節點．通過設計大概念單元學歷案，構建一個以核心大概念為引領、以學生為中心的教學評一致性的學習方案.該方案旨在引導學生形成結構化的知識體系，掌握研究方法，積累數學“三會”活動經驗，逐步養成“研究對象在變，思想方法不變，研究思路不變”的數學思維體系.