尋覓圖形關聯 探求解題路徑

［摘要］等腰（邊） 三角形在考試中常常作為載體與其他知識相融合，既能考查學生的基礎知識與技能，又能提升學生的學科素養. 在教學中，教師應充分挖掘題目的內在數學思想與方法，同時對題目作出一些變式和延伸，讓學生既見樹木又見森林.

［關鍵詞］等腰三角形；思想方法；拓展延伸

引言

幾何試題作為數學檢測的重點內容，通常凝聚著命題者的智慧，往往賦予考生更大的發揮空間，通過探究這類題目的多種解法，可以培養學生思維的靈活性；對這些題目進行拓展變式，可以加強知識間的聯系，實現學科知識的整體性學習，進而提高學生的解題能力和探究意識.2022年湖北省竹溪縣八年級期末考試出現了一道以等腰三角形為背景的幾何試題， 通過對全縣3000多名學生得分情況的分析，引發了筆者的諸多思考，尤其是對學生豐富的答題思路有了較多了解，進而引發筆者對數學教學工作進行了深度思考與探索.

一題——試題呈現例題

如圖1， 在△ABC中，AB=AC，點P 是底邊BC 上任意一點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點D，E，CF⊥AB，垂足為點F.

（1） 試猜想線段PD，PE，CF之間的數量關系，并說明理由；

（2） 如圖2，在矩形ABCD 中，AB = 12，BC = 5，點P 是DC 邊上一動點，PE ⊥ AC 于點E，PF ⊥ BD 于點F，求PE + PF 的長.

一解——解法探究

本題以特殊幾何圖形即等腰三角形為背景創設問題，探究其中特殊線段之間的關系，題目設置了兩個問題，只要解決了第（1） 問，則可將結論直接運用于第（2） 問.要解決第（1） 問比較簡單，題目給出點P 是底邊上任意一點，因此可假設點P 恰好處于中點位置；可采用截長法或者補短法，證明三角形全等；也可以采用面積法、翻折法或者相似法來處理［1］ .

1. 特殊位置法

方法1 如圖3，假設點P 恰好為等腰三角形底邊上的中點，因為AB = AC，PD⊥AB，PE⊥AC， 易證PD =PE. 因為CF⊥AB，且點P為底邊上的中點，所以PD 是△FBC的中位線， 所以CF = 2PD=PD+PE.

評注 點P 既然是底邊上任意一點，就容易聯想到當點P 為等腰三角形底邊上的中點這一特殊情況，這就為猜想提供了一種思路，但這個方法僅限于解決填空題或者選擇題時適用.