析高頻易錯點 促常規教學法

［摘要］2024年安徽省數學中考試卷第20題緊扣《義務教育數學課程標準（2022年版）》，全面考查了“圓”的綜合運用. 研究者對學生多種解題方法和高頻易錯點進行了剖析，進而闡述了對教學的思考.

［關鍵詞］中考數學；解法探析；高頻錯誤；教學思考

2024年安徽省數學中考試卷第20題是一道滲透著命題者思想和智慧的試題，既遵循了常規，又超越了常規.對于大多數學生來說，此題并不陌生，但從閱卷情況的反饋來看，得分率特別低.下面，筆者結合學生求解此題的多種視角和高頻易錯點進行剖析及反思，不當之處，請同行指正.

試題呈現

題目 如圖1，⊙O是△ABC 的外接圓， D是直徑AB上的一點，∠ACD 的平分線交AB 于點E，交⊙O于另一點F，FA = FE．

（1） 求證：CD ⊥ AB；

（2） 設FM ⊥ AB， 垂足為M，若OM = OE = 1，求AC的長．

試題簡析

該題涉及的基礎知識有：圓心角定理、圓周角定理、直徑是半徑的兩倍、等腰三角形的性質、勾股定理等，涉及的基本方法有：線段、弧、圓周角之間相等關系的轉化，勾股定理的運用等，涉及的基本技能有：對基礎幾何問題的規范書寫、邏輯推理及簡單計算.本題雖為一道基礎簡單的幾何證明計算題，涉及的知識點也不繁雜，然而從中考閱卷的結果來看，此題平均得分不到2.6分（滿分10分） .可見，學生對這類幾何推理題的掌握并不理想.

多解思路及其分析

此題第（1） 問的解答是完整解題的關鍵，如果第（1） 問能順利完成，第（2） 問就比較容易求解.從學生的答題情況來看，第（1） 問解法多樣，各種解法難易程度不同，而第（2） 問的解法比較單一，因此，如何突破第（1） 問成為此題求解的關鍵. 下面，筆者就學生對第（1） 問的多種解題思路進行展示和分析.

視角一 三角形內角和

分析 如圖2，直接利用等腰對等角和對頂角相等及圓周角定理.由FA = FE 得∠3 =∠4，對頂角相等得∠4 =∠5，同弧所對的圓周角相等得∠3 =∠FCB，即可得到∠3 =∠4 =∠5 =∠FCB.

思路1 如圖2，在△CED 中，通過證明∠5 +∠2=90°， 得到CD⊥AB.

解法1 如圖2，因為∠1 =∠2，∠3 =∠4 =∠5 =∠FCB，所以∠FCB +∠1=∠5 +∠2，因為∠ACB = 90°=∠FCB +∠1=∠5 +∠2，所以∠CDE = 90°，則CD⊥AB.

1. 加強學生解題規范性的訓練，提升學生綜合學習能力

規范性錯誤是指學生在解題過程中因解題不規范所導致的錯誤.常見的規范性錯誤有：追求做題速度，不規范、不準確地分析題干的條件和結論，導致解題思路出現錯誤；最后的答案不夠精簡或者不符合題目要求，導致失分等.這就要求教師在教學過程中，注意培養學生的解題規范性，引導學生從審題開始，審讀題目條件、檢查解題過程及最終答案，盡量減少學生由于解題不規范所導致的失分，進一步提升課堂教學質量及學生學習能力.

2. 加強邏輯推理訓練，努力提升學生基本幾何素養

邏輯性錯誤是指學生在解題過程中由于違反邏輯思維的形式和規律所產生的錯誤.具體表現：以虛假的命題，或者將未經嚴格證明的真命題直接作為解題依據，違背了邏輯學的“充足理由律”［1］．這就要求教師在教學過程中，立足于課本，從最基本的推理入手，不惜時，不惜力，夯實學生的基本功，以期讓學生養成嚴謹思維、規范表達的良好習慣．

3. 強化識圖構圖教學，避免策略性錯誤

策略性錯誤是指學生在解題過程中出現了方向上的偏差，使思路受阻或者解題過程煩瑣，從而出現解題錯誤．一個數學問題的解決，可采用的策略一定是多種多樣的，但一個好的策略不僅可以使解題過程簡潔明快，而且決定著問題的最終解決. 而不合理的策略可能產生錯誤導向，致使問題得不到解決；或者，策略的選擇增加了學生思考的時間及求解的難度．所以，課堂教學一題多解的最后一定要追求“最自然”的策略.這就要求教師在教學過程中，一方面把課堂教學的節奏放慢一點、放緩一點，有意識地讓學生動動手、畫畫圖，在畫的過程中，明確圖形各要素之間的邏輯關系，而不是為了所謂的課堂效率一味地直接呈現圖形，以致學生的識圖能力得不到鍛煉；另一方面加強對定理圖形、基本圖形的識別，掌握基本圖形的重要結論及常規處理策略，強化輔助線添加技巧訓練，通過怎樣添、為什么添、還能怎么添等環節的訓練切實提升學生的構圖能力，以期達到“一橋飛架南北， 天塹變通途” 的解題效果［2］．

4. 強化觀察分析能力，避免心理性錯誤

心理性錯誤是指學生雖然具備了解決問題所需的基礎知識，但是由于存在心理障礙，以致解題時出現錯誤．具體表現為潛在假設，即解題者未經對問題的深入考察與研究，僅憑自己的主觀臆斷就做出了一種“想當然”的直覺判斷.這種下意識判斷的真實性存疑，當與題目背景相悖時， 就會產生解題錯誤［3］． 這就要求教師在講授概念時，不妨慢下來，試著讓學生自己組織語言描述事物的概念；學習了新概念，可以借助概念的辨析加深對概念的理解，即要對概念的內涵與外延做出充分解釋.利用心理學的“免疫效應 ”，在學生預習或上課過程中，加以重點強調，以發揮“免疫”作用.