基于不同版本教材談因式分解的數學理解

［摘要］研究者以因式分解為例，對北師大版和人教版初中數學教材進行了對比分析，發現兩版教材在設計理念和內容安排上存在一定差異. 研究者分析了《義務教育數學課程標準》對這部分內容設定的教學目標與要求，發現兩版教材盡管內容安排不一樣，但是目標一致，教學要求也保持一致. 有鑒于此，研究者從學習因式分解的必要性、因式分解關聯的知識、因式分解的方法和因式分解的應用四個方面進行了深度解析，加深學生對數學知識結構化的理解.

［關鍵詞］因式分解；數學理解；教材處理

自課改以來，出現了多個版本的數學教材，各版教材特點紛呈，根據不同的編寫計劃，知識點編排順序不盡相同，但教材編寫的依據無一例外都是《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“課標”） .在課標背景下，教師在教學過程中應與課標的要求保持一致，但他們對數學知識的理解可能影響教學質量，進而影響學生對數學知識的理解與掌握.筆者曾在某重點中學旁聽了兩節數學課，主題都是“因式分解”，感受頗深. 該校使用的是人教版教材，恰好筆者剛上過北師大版教材的因式分解公開課.為此，筆者將兩個版本的教材內容進行了對比，見表1：

從表1可見，兩版教材對于因式分解的理解和重視程度不一致.北師大版對從概念的深入認識，到提公因式法的不同處理方法都做了細致處理，而人教版僅僅將因式分解當作整式乘法的逆向變形進行處理，且兩個版本課時分配也不一致.一線教師對數學的理解應以課標為綱，從數學本身的要求出發，因為教師對數學知識的理解最終會影響學生對數學知識的理解與掌握.課標對因式分解的要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過兩次）進行因式分解（指數為正整數） .“能”的同義詞是“掌握”.“掌握”的要求可表述為：多角度地理解和表征數學對象的本質，把對象用于新的情境.掌握的要求比了解和理解

的要求都高，所以無論哪個版本的教材，對因式分解部分的教學要求都應該表述為：

1.對于一個具體的式子，判斷其是否可以進行因式分解；

2.能描述因式分解的由來、內涵和特征，能闡述因式分解與整式乘法互逆的過程；

3.理解提公因式法、公式法分解因式的本質，學會利用整體思想將復雜的多項式用提公因式法或公式法進行分解.

學習了整式乘法，可從整式乘法得到多項式，把整式乘法進行逆向變形，由多項式得到因式分解，從操作上來講并不難.但本節課的課標要求的“能”不僅要求學生會將多項式進行因式分解，還要了解因式分解在整個教學中所處的地位以及對后續學習的影響，這就是學習因式分解的必要性.基于此，筆者從以下幾個方面解析“因式分解”這一章節.

學習因式分解的必要性

因式分解在初中階段代數學習中，對于分式的運算、代數式求值以及方程求解等問題， 起著重要作用.

其次，解決代數式求值的問題時，因式分解能夠起到化繁為簡的作用. 以a= 136，b=42， 求a² -3ab 的值為例，若計算這個式子的值， 直接代入a，b會使計算過程變得煩瑣，如果先對a² - 3ab 進行因式分解， 得到a（a - 3b）， 再將a=136，b= 42代入a（a- 3b） 得136（136-3×42） = 136 ×（136 -126）= 136 ×10，即可輕松得出結果.這表明，因式分解在簡化代數式求值問題上頗具實用性.

再者，因式分解法在處理二次或更高次方程、方程組以及不等式時，能有效地起到降次的作用.以求解x² - 5x + 6 = 0 為例， 先將左邊的多項式進行因式分解，得到（x -2）（x - 3）= 0，根據每個因式等于零的條件，得到x 的解是2 和3. 因此，因式分解對于解二次方程或高次方程、方程組以及不等式時是有效的工具.

此外，在高中代數學習中，因式分解居于重要地位.通過等式恒等變形對高次多項式進行降次處理，有利于解決函數單調性證明、二次函數極值、零點及參數確定等問題［1］ .

更深層次的原因在于因式分解是一種逆向恒等變形，是發展學生智力、培養數學能力、深化學生逆向思維的良好載體.恒等變形在數學證明中具有重要作用，不僅可以幫助學生理解等式的性質和運算規則，還可以用于推導和證明數學定理.靈活應用恒等變形可以簡化復雜的等式，揭示等式背后的數學本質，進而推動數學的發展.歐拉在《無窮分析論》中認為，將整式函數分解成因式，其性質就變得很明顯，一眼就可以看出變量取何值時函數值為零.

因式分解關聯的知識

事實上，小學階段已經出現了因式分解的雛形，例如在進行簡便運算時有以下題目：

在進行整除判斷時，我們還會分解質因數，例如：120 = 2 × 2 ×2 × 3 × 5，可見：120可以被2，3，5整除，也可以被2，2，2，3，5任意組合的乘積整除.由此可得一個數被另一個數整除的方法，即將一個數分解成想要的數的乘積，北師大版教材還提供了如下素材：99² + 99可以被100整除嗎？參照上述簡便運算法，可得類比數的整除，我們可以提出以下問題：

a²+a可以被a+1整除嗎？于是，從數的除法運算過渡到式的除法運算.可見，通過因式分解是判斷整除的一種有效途徑.

如果無法整除，就自然過渡到了分式表示整式除法運算的結果，這就與數與數相除，無法整除可用分數表示相一致.

如果可以整除，說明a² +a含有a+1的因式，對比分數的約分和通分，可以類似進行分式的約分和通分，為分式的運算打下基礎.

所以，因式分解的恒等變形與因數分解的恒等變形的作用一致，這是從數到式的跨越，為式的乘除運算奠定了基礎.

因此，從教學設計上體現對因式分解的理解，一定要抓住從數的分解到式的分解的過渡，以及通過數的加減算式中分解出乘積進行簡便運算來闡釋因式分解轉化為乘積的恒等變形的必要性，為學生的思維過渡搭建橋梁.

綜上，筆者從學習因式分解的必要性、因式分解關聯的知識、因式分解的方法和因式分解的應用四個方面對本節內容進行了深度解析，為本節教學提供了設計思路以及框架.

章建躍教授指出，教師在數學教學過程中要做到“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術”［3］ .可以解讀為，教師對數學教材的全面理解是提高教學質量的前提. 當教師對教材結構有系統性、整體性的把握時，才能在教學設計中體現知識結構的深度關聯，才能使學生學到結構化的、聯系緊密的、遷移能力強的知識. 只有把數學知識置于歷史、當下和未來社會之下，用聯系的、發展的思維去認識、理解、把握、體驗和應用數學知識，學生才能真正理解、接受、掌握數學知識的本質，真正把握數學知識的脈絡.