多約束魯棒非負矩陣分解的沖擊特征頻帶自適應分解方法

摘要：針對非負矩陣分解（NMF）在軸承故障的沖擊振動頻帶分解中存在能量導向引起的頻帶混疊問題，提出了一種面向沖擊故障頻帶自適應分解的多約束魯棒非負矩陣分解方法。首先，采用β散度自適應加權的誤差函數來避免信號未知分布引起的風險，以信號頻帶數量作為分解秩的選擇參考，通過對基矩陣施加正交約束實現自適應頻帶劃分；其次，結合周期沖擊響應時頻譜的光滑頻域和稀疏時域的特性，引入具有良好物理意義的光滑、稀疏約束，構建了面向振動時頻譜的多約束魯棒非負矩陣分解模型；最后，借助正則化技術和Stiefel流形優化方法設計了求解算法。仿真和實驗結果表明，與多種NMF方法和典型頻帶選擇方法相比，在面對缺陷引起的微弱沖擊時，低頻區間中往往存在著多種干擾源影響，所提分解模型能準確提取出高頻區間的沖擊響應頻帶，避免了能量導向的傳統頻帶分解方式不足，約束項的引入則有效地提升了NMF的求解結果，增強了NMF方法在沖擊特征頻帶微弱時的辨識能力。

關鍵詞：沖擊特征頻帶；非負矩陣分解；多約束；頻帶分解

中圖分類號：TH133.33 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202504016 文章編號：0253-987X（2025）04-0171-10

Adaptive Decomposition Method for Impact Characteristic Frequency Bands of

Multi-Constrained Robust Non-Negative Matrix Factorization

LIANG Lin1， CUI Xujun2， HU Wenhao2， DAI Pumiao2

（1. School of Instrument Science and Technology， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China;

2. School of Mechanical Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：In response to the issue of frequency band mixing caused by energy orientation in the decomposition of impact vibration frequency bands related to bearing faults using non-negative matrix factorization （NMF）， a multi-constrained robust non-negative matrix factorization method for adaptive decomposition of impact fault bands is proposed. Firstly， an error function with adaptive weighted "β -divergence is utilized to mitigate risks arising from unknown signal distributions， with the number of signal frequency bands serving as a reference for selecting the decomposition rank. Adaptive band division is achieved by imposing orthogonal constraints on the basis matrix. Secondly， considering the smooth frequency domain of the periodic impact response spectrogram and the sparse time domain characteristics， physically meaningful smooth and sparse constraints are introduced to establish a multi-constrained robust non-negative matrix factorization model tailored to vibration time-frequency spectra. Finally， a solution algorithm is designed leveraging regularization techniques and Stiefel manifold optimization methods. Simulation and experimental results demonstrate that， compared to various NMF methods and typical band selection methods， when facing weak impacts caused by defects， the low-frequency range often harbors multiple sources of interference. The proposed decomposition model accurately extracts the impact response bands in the high-frequency range， circumventing the shortcomings of traditional energy-oriented band decomposition methods. The introduction of constraints effectively enhances the solution results of NMF， reinforcing its discriminative capability when dealing with weak impact characteristic frequency bands.

Keywords：impulse band; non-negative matrix decomposition; multiple constraints; band decomposition

裝備的安全穩定運行需要準確可靠的特征提取和診斷技術，而在裝備零部件局部故障，如點蝕、剝落等引起的沖擊振動中，由于沖擊激發的共振頻帶個數及位置未知，當沖擊激勵微弱、其他干擾源或背景噪聲較大時，沖擊特征的提取和分離較為困難^［1］。

以峭度譜^［2］為代表的自譜^［3］等頻域方法，通常使用峭度、稀疏度、Gini指標等評估指標進行沖擊特征頻帶的選取，具有一定的效果，但由于選擇的頻帶固定，僅依據指標容易產生誤判。而考慮沖擊特征的時頻表示方法，如短時傅里葉變換、循環相干譜的頻頻表示方法^［4］，雖然可以更全面地描述沖擊響應信號的非平穩特性，但在面對由二維數據組成的矩陣時，進一步分析處理的方法仍有不足。

作為矩陣分析的一種手段，非負矩陣分解（NMF）方法基于加性組合來獲得局部化的信號特征，具有較好的可解釋性，已經在語音、圖像處理等領域得到應用^［5-6］。在狀態監測診斷中，Wodecki等^［7］將NMF應用于時頻譜的分解，并將基矩陣作為濾波器進行沖擊頻帶的選擇。王華慶等^［8］使用IS（itakura-saito）散度結合行列式約束構造的NMF模型，對時頻譜進行分解，并通過加權峰值因子進行重構信號篩選，實現了軸承復合故障分離。薛紅濤等^［9］使用IS散度的稀疏NMF，對時頻矩陣進行分解，實現了輪轂電機軸承復合故障的特征提取。

為了對問題精準建模，對NMF的約束條件以及低秩表示的泛化模型被不斷提出和應用，Liang等^［10-11］將卷積NMF模型應用于軸承故障診斷，針對沖擊故障特征的非線性結構，在稀疏非負矩陣分解的基礎上加入核函數進行高維映射，提出了稀疏核非負矩陣分解算法。Yang等^［12］提出采用判別非負矩陣分解提取柴油發動機振動信號時頻譜中的故障特征。由時頻譜構成的三階張量分解被用于軸承和齒輪故障診斷^［13-14］，循環譜與NMF相結合的故障診斷方法相繼被提出^［15-16］。

然而，作為低秩表示方法，NMF方法主要依據其數值特性或對應最大似然估計的噪聲分布經驗地選取誤差函數，即為了方便計算和理解，大多數NMF采用了歐式距離，但會導致以能量為導向的頻帶分解，從而造成了低幅值頻帶被忽略。其次，NMF方法常以沖擊源數量作為分解秩的參考，試圖直接提取各沖擊響應的特征信息，在多共振頻帶及噪聲干擾下，其頻帶分離效果十分有限。

為此，本文通過基矩陣的正交約束實現頻帶的自適應劃分，并引入 β 散度自適應加權的分布魯棒模型，將其作為誤差函數以緩解能量為導向的劃分方法不足，同時基于周期沖擊響應的時頻表示特征，結合光滑和稀疏約束，設計了多約束下的分布魯棒矩陣分解模型及其求解算法，有效增強了沖擊故障特征的提取能力。

1 非負矩陣分解模型

低秩矩陣近似是提取高維數據中隱藏信息的常用方法，然而分解結果具有較大的不確定性。通過引入非負性約束得到的NMF模型不僅能夠很好地緩解該問題，同時還具有非常好的可解釋性，其數學表達如下

V≈WH=∑iwihi

（1）

式中：V∈Euclid Math TwoRA@^m×n為原始矩陣；W∈Euclid Math TwoRA@^m×r和H∈Euclid Math TwoRA@^r×n分別為非負基矩陣和非負權矩陣；r為分解秩，通常情況下，r的選擇需要滿足（n+m）r lt; mn。由于噪聲等因素的干擾，原始矩陣只能做到近似低秩分解，則分解模型的目標函數為

J=D（V，WH）（2）

式中：D為誤差函數，用以描述兩矩陣的近似程度，通常采用α散度、β散度、γ散度等距離函數來描述。其中β散度包含歐式距離、KL散度和IS散度等，可表示為

Dβ（x，y）=∑i1β（β－1）（xβi+

（β－1）yβi－βxiy^β－1i）， β∈Euclid Math TwoRA@（3）

當β=2時，β散度退化為歐式距離；當β=1時，β散度等價于 KL 散度；β=0時，β散度則等價于 IS 散度。不同β散度構建的 NMF 誤差函數所提取特征不僅會受到樣本中對應特征幅值影響，同時受到樣本中特征大幅值的數量以及其余特征的影響。因此，在面對實際特征模式和信號中未知干擾的情況，誤差函數的選擇會對分解結果產生一定的影響。

為了防止模型過擬合和提高算法泛化性能，并引導問題向期望解的方向收斂。對NMF模型需要通過懲罰函數在原優化問題上引入額外約束，即使用正則化方法實現，對應的正則化NMF目標函數可表示為

J（V，WH）=

D（V，WH）+αWRW（W）+αHRH（H）（4）

式中：R（W ）、R（H）為W和H的正則函數（罰函數）；αW、αH為W和H的正則化參數，用于權衡代表數據重構效果的誤差項和反映約束效果的正則項，其值均不應小于0。

典型的正則項有正交約束，光滑約束和稀疏約束等，其中正交約束條件可以表達為W T W=Ir^［17］。而光滑約束主要有局部方差正則項^［18］、噪聲頻帶懲罰正則項^［19］、全變分正則項^［20-22］等，其中全變分正則項通過前項與后項之差序列的平方和構建，即

R（W）=12‖ΓWW‖2 F （5）

式中：ΓW 為 一階差分矩陣。在稀疏約束中，除了典型的L1范數，Lq范數可以誘導出更加稀疏的解，其表達式為

R（H）=‖H‖q=∑i，jH（i，j）q， 0lt;q≤1

（6）

2 多約束聯合的分布魯棒NMF模型

2.1 面向沖擊響應時頻譜的約束設計

滾動軸承局部故障所引發的周期沖擊振動信號具有明顯的非平穩性，而其時頻表達不僅很好地保留了沖擊特征的時域和頻域信息，同時具有很好的低秩特性。當V為包含周期沖擊振動的信號時頻譜時，分解的基矩陣W對應周期沖擊響應的頻域分布，權矩陣H則是周期沖擊響應的時域包絡。對于振動響應來說，在頻域中的高頻段，沖擊響應幅值往往較低，而低頻段中的沖擊響應幅值較高，但會包含其他源的干擾成分，不利于頻帶分離。

根據周期沖擊響應的時頻特性，在正則項中，可以在對應頻帶的W上施加正交約束，來避免同一頻帶被分解到不同子空間。在時間方向的H向量上，增加稀疏約束可有效抑制非沖擊響應時段的噪聲。

2.2 多約束分布魯棒非負矩陣分解模型

由于不同誤差函數對應著不同的樣本統計分布，而振動信號的真實分布，尤其是故障狀態下的分布往往未知，因此為了降低單一 β 值選擇帶來的風險，引入了包含 β =0，1，2的分布魯棒非負矩陣分解模型^［23］，通過對3種誤差函數賦予權重，并在優化過程中自適應調整權重參數，使得3種散度均參與目標函數的優化，并且向誤差函數添加約束正則項構成新的目標函數，其優化問題的數學表達為

min W，H≥0 max β∈Ωβ（V，WH）+αHRH（H）+αWRW（W）（7）

式中：β為歸一化的誤差函數。歸一化會使得不同的Dβ在優化過程中具有相同權重，避免了僅針對有較大誤差評估的誤差函數進行優化，通常以D（V， WH）對應的最小值進行歸一化。

根據沖擊響應時頻特性和分解需求，對基矩陣W引入全變分光滑正則項，即RW（W）=‖ΓWW‖2 F ，來保證分解的頻譜連續，并對權矩陣H引入L1/2范數^［24］和光滑約束項，即RH（H）=‖H‖1/2+‖H T ΓH‖2 F ，來保證周期沖擊包絡的光滑稀疏性。

對于正交約束來說，將滿足正交約束條件W T W=I的W組成一個集合

S=W∈Euclid Math TwoRA@^m×rr≤m， W T W=Ir（8）

相較于在歐式空間進行正交約束的優化求解，在Stiefel流形空間中進行優化可以得到更好的正交性結果和更快的收斂速度。

將解空間限定在Stiefel流形上，進行優化求解，則可得到具有光滑、正交和稀疏約束的約束分布魯棒非負矩陣分解（SmODRNMFLq），表達式為

min W，H≥0，W∈S max β∈Ωβ（V，WH）+α SmW 2‖ΓWW‖2 F +

α sp ‖H‖12+α SmH 2‖H T ΓH‖2 F （9）

式（9）可以通過最小化不同權重的多個目標函數進行求解，即

min W，H≥0，W∈S∑β∈Ωλββ（V，WH）+α Sm 2‖ΓWW‖2 F +

α sp ‖H‖12+α SmH 2‖H T ΓH‖2 F （10）

上述優化目標關于矩陣H的梯度可表示為

Δ HJ=∑β∈Ωλβ Δ Hβ（V，WH）+

12α sp H^－12 +α SmH （H T ΓHΓ T H）（11）

式中

H T ΓHΓ T H=（H3+H）－（H1+H2）（12）

Δ Hβ（V，WH）=W T （WH）^（β－1）－

W T （（WH）^（β－2）·V）（13）

H1=h1，2h1，3…h1，n0h2，2h2，3…h2，n00hr，2hr，3…hr，n0（14）

H2=0h1，1h1，2…h1，n－10h2，1h2，2…h2，n－10hr，1hr，2…hr，n－1（15）

H3=0h1，2…h1，n－100h2，2…h2，n－1000hr，2…hr，n－10（16）

將式（11）關于矩陣H的梯度拆分為正梯度之差的形式

Δ +HJ=∑β∈Ωλβ Δ +Hβ（V，WH）+

12α sp H^－12+α SmH （H+H3）（17）

Δ －HJ=∑β∈Ωλβ Δ －Hβ（V，WH）+

α SmH （H1+H2）（18）

根據Stiefel流形在點X處的黎曼梯度^［25］，矩陣W的黎曼梯度為

Δ WJ=∑β∈Ωλβ Δ Wβ（V，WH）－

W（∑β∈Ωλβ Δ Wβ（V，WH）） T W+

α SmW Γ T WΓWW－α SmW WW T Γ T WΓWW（19）

式中

Γ T WΓWW=（W+W3）－（W1+W2）（20）

Δ Wβ（V，WH）=（WH）^（β－1）H T －（（WH）^（β－2）·V）H T （21）

按照H1、H2和H3的構造方法，同理可得W1、W2和W3。將式（19）拆分為正項之差的形式

Δ +WJ=α SmW （W3+W）+∑β∈Ωλβ Δ +Wβ（V，WH）+

W（∑β∈Ωλβ Δ －Wβ（V，WH）+α SmW （W1+W2）） T W（22）

Δ －WJ=α SmW （W1+W2）+∑β∈Ωλβ Δ －Wβ（V，WH）+

W（∑β∈Ωλβ Δ +Wβ（V，WH）+α SmW （W3+W）） T W（23）

通過縮放梯度法，可以得到在λ固定時矩陣W、H的更新公式，而矩陣W、H固定時λ的更新公式可使用 Frank-Wolfe 方法實現。在對矩陣W、H進行塊坐標下降前，需要分別進行歸一化以滿足不同約束項的歸一化條件，求解算法步驟如下。

輸入：V∈Euclid Math TwoRA@^r×n+，分解秩r，有限數集Ω，光滑正則化參數α Sm ， 稀疏正則化參數α sp ，迭代次數m;

初始化：W0∈Euclid Math TwoRA@^m×r++，H0∈ R ^r×n++，λβ=1/ Ω ；

對k=1，2，…， m執行迭代

Wk= max ε，Wk－1· Δ －Wk－1J Δ +Wk－1J+ε

歸一化Hk;

Hk= max ε，Hk－1· Δ －Hk－1J Δ +Hk－1J+ε

歸一化W，使得‖W（：，j）‖2 F =1， j=1，2，…，r

找到在所有β中，使得β*（V|WkHk）最大的β*，為λ*k，β賦值

λ*k，β=0，β=β*1，β≠β*

定義步長νk=1/（k+1），對各β∈Ω更新λk，β

λk，β=λk－1，β+νk（λ*k，β－λk－1，β）;

直至迭代收斂或達到最大迭代值，循環結束；

輸出：SmODRNMFLq的近似解Wk、Hk。

對于NMF的參數分解秩 r ，多數NMF方法以源數量作為其選擇的依據，因此數值較小。但在復雜的振動加速度頻譜中，較少的分解秩 r 會使能量微弱的頻帶和其他頻帶合并在同一子空間中，從而極大降低了包絡譜的效果。

為此，對于本文提出的SmODRNMFLq模型，選取較大的分解秩 r ，在基矩陣的頻譜光滑性約束下，可以通過頻帶的充分分解，使得弱能量的頻帶被有效分解出來。在基向量和權向量組成的系列子空間中，通過每個子空間的逆變換來獲得相應頻帶的信號，并依據希爾伯特變換解調出包絡成分，組成子空間包絡譜的分布。根據各子空間重構波形的包絡譜，進行周期沖擊特征的識別與故障診斷分析。

3 仿真分析

為了展示本文所提方法的優越性，首先通過數值仿真來進行分析與驗證。參照滾動軸承振動模型，模擬的局部故障振動信號如下

x（t）=u（t）+v（t）+n（t） （24）

式中：u（t）為局部故障激發的周期性瞬態沖擊成分；v（t）為隨機沖擊分量；n（t）為高斯噪聲。其中故障周期T F =0.02 s ，振幅為4，故障沖擊激發了3個共振頻帶，其中心頻率分別為3、6.5、7 kHz ，沖擊衰減的阻尼取0.01。其次，考慮到非高斯噪聲成分，模擬了隨機沖擊分量v（t），其包含了2個隨機沖擊，分別位于0.3、0.8 s 時，其共振頻帶分別為2500、6750 Hz ，且峰值能量之比為2∶1，對信號施加了高斯噪聲n（t）。

模擬信號的時域波形、頻譜和時頻譜如圖1所示，由圖1（b）可知，周期沖擊引發的3個共振帶能量遞減，低頻帶的3kHz頻帶受到2.5kHz隨機沖擊頻帶的干擾，而高頻區的6.5、7kHz能量較小，受到另一個隨機沖擊的影響。圖1（c）中，周期沖擊序列對應的頻帶和2個隨機沖擊成分的頻帶存在一定的干擾。

為了對比分析，除本文所提稀疏光滑正交魯棒模型SmODRNMFLq，還選擇了標準NMF模型、基于歐式距離的正交模型OEDNMF、 以及光滑正交模型SmODRNMF，其中SmODRNMF模型在分布魯棒非負矩陣分解模型的基礎上施加了光滑和正交約束。考慮到模擬的沖擊頻帶數， 時頻譜的分解秩 r 設為10，4種方法的分解結果如圖2～5所示，為了使得各分離基向量和權向量清晰，對基矩陣和權矩陣進行了獨立的歸一化。

從圖2（a）可知，標準NMF的分解結果中，能量較大的低頻區占有多個子空間，相同的故障沖擊頻帶被分離到相近的子空間中，3kHz頻帶成分被同時分到第4、5和6子空間中。由于沒有正交約束的限制，高頻區的沖擊共振帶也被分解在不同的空間中。

從OEDONMF模型分解結果可見，較標準NMF的結果有一定提升。由于分解模型中施加了正交約束項，分解得到的各基向量近似正交，頻帶得以獨立分解。但基于歐式距離的誤差函數具有能量導向的選擇特性，在分解秩較多時，能量較大的3kHz頻帶會被拆分到多個子空間中，導致明顯不光滑現象，且在高頻部分出現欠分解現象，6.5kHz的部分頻帶被分解至其他頻帶中。

對于SmODRNMF、SmODRNMFLq模型，在分布魯棒誤差函數的影響下，沖擊故障頻帶和隨機沖擊頻帶有效分離，同時獲得較好的正交效果。SmODRNMFLq模型分解得到的權向量較SmODRNMF模型有明顯的稀疏性提升，從而準確有效地提取出了故障沖擊序列的時域特征和頻率特征，第6子空間重構波形包絡譜，準確提取出了故障特征頻率。

本文所提模型在正交約束的基礎上，利用了光滑和稀疏約束，使得頻帶分解時充分考慮了高頻區域的信息，對幅值微弱的頻帶具有很好的辨識和分離能力。

4 實例應用

本節使用軸承局部故障的振動數據進行應用驗證，所選數據來源于文獻［26］。DIRG軸承實驗臺如圖6所示，實驗臺主要由高速主軸、空心轉軸、滾動軸承、滑動平臺等組成，滑動平臺的移動方向與軸相互垂直，通過靜力傳感器測量徑向力。實驗過程中，采樣率為51200Hz，采樣時長為10s。圖6（b）中3個滾動軸承B1、B2和B3內圈固定于空心轉軸上，且B1、B3軸承的外圈固定在底座上，用于支承空心轉軸，B2軸承外圈與滑動平臺連接，用于施加徑向載荷。

現選擇內圈故障數據（編號“C1A_100_502_2”）中的振動信號進行分析，軸承B1內圈上的圓錐形壓痕直徑近似為450μm。根據軸承結構參數可知內圈故障BPFI的階次為6.112，高速主軸實際轉速為88.9Hz。

信號波形、頻譜、包絡譜以及時頻譜如圖7所示，可知頻譜中包含了較多共振頻帶，其中低頻段的能量較大，而高頻段（1kHz以上）的振動能量普遍較低，在圖7（c）的包絡譜中，除了轉頻f r 及諧波分量外，幾乎無法觀察到內圈故障的特征頻率分量f i 及其諧波。

對時頻譜陣的分解中，為了保證正交頻帶的完全分離，分解秩設定為20，圖8給出了標準NMF、OEDNMF以及本文所提SmODRNMFLq模型分解結果，可知標準NMF分離得到的基向量幾乎都包含有4kHz左右的低頻共振峰，并帶有其他頻帶信息，而不同基向量對應的權向量的結果不盡相同，這說明在無約束情況下，標準NMF方法無法實現頻帶的準確劃分。圖8（c）中各基向量近似正交，然而在分解中，仍有較多基向量對應特征集中在能量較大的4kHz附近，其放大圖中的各基矩陣出現了明顯的不光滑情形，這不符合沖擊頻響函數的頻譜表現。圖8（e）中對應劃分的基向量在高頻和低頻分布較為均勻，且在光滑約束下各基向量光滑，由此驗證了所提方法進行自適應頻帶劃分的合理性。

SmODRNMFLq模型的分解結果如圖9所示，對分解的20個子空間進行重構可得相應頻帶下的波形，且各頻帶波形的包絡譜如圖9（a）所示。根據實驗臺運行的轉頻和內圈故障特征BPFI，高頻段的第14子空間中，含有明顯的內圈故障特征頻率及其諧波。為了顯示方便，該頻帶下的重構波形及包絡譜如圖9（b）、9（c）所示，其中內圈故障的特征頻率f i 及其倍頻清晰可見，故障特征的提取效果明顯。

為了對比分析，本文選擇了Autogram方法進行最優頻帶選擇與沖擊特征提取，其中頻帶劃分等級為5，計算結果如圖10所示。在圖10（a）所示的各頻帶包絡相關峭度中，第4級中的第12個頻帶是最優頻帶（圖中紅色方框所示），其位置與本文所提方法的第20子空間頻帶接近，該頻帶對應的濾波信號及包絡譜如圖10（b）、10（c）所示，可知波形中存在著明顯的轉頻成分，且包絡譜中的背景噪聲較大，內圈故障特征頻率f i 非常微弱。由于轉頻及其諧波成分的誤導，使得Autogram方法沒有選擇到更好的頻帶。

5 結 論

結合約束項和誤差函數對NMF模型求解結果的影響以及沖擊振動信號的時頻分布特性，本文提出了一種面向沖擊頻帶自適應分解的多約束魯棒非負矩陣分解模型與算法，得到如下結論。

（1）結合分布魯棒模型誤差函數的構建方式，利用故障周期沖擊響應的時頻特征引入光滑和稀疏約束，并與正交約束結合，建立了多約束魯棒非負矩陣分解模型，借助正則化技術和Stiefel流形優化方法推導出了優化求解算法。

（2）所提模型具有良好的物理意義，能夠獲得同時具有基矩陣正交光滑、權矩陣光滑稀疏，且對頻帶特征幅值大小不敏感的效果，從而減少頻帶混疊，實現沖擊多頻帶的有效分離。

（3）通過仿真數據和軸承故障實驗，驗證了所提方法在沖擊頻帶分解中的有效性，將該模型與自譜方法對比，驗證了本文方法在沖擊故障特征提取中的優越性。

參考文獻：

［1］SMITH W A， BORGHESANI P， NI Qing， et al. Optimal demodulation-band selection for envelope-based diagnostics： a comparative study of traditional and novel tools ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 134： 106303.

［2］ANTONI J. Fast computation of the kurtogram for the detection of transient faults ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2007， 21（1）： 108-124.

［3］MOSHREFZADEH A， FASANA A. The autogram： an effective approach for selecting the optimal demodulation band in rolling element bearings diagnosis ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 105： 294-318.

［4］MAURICIO A， SMITH W A， RANDALL R B， et al. Improved envelope spectrum via feature optimisation-gram （IESFOgram）： a novel tool for rolling element bearing diagnostics under non-stationary operating conditions ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2020， 144： 106891.

［5］SUN Jing， WANG Zhihui， SUN Fuming， et al. Sparse dual graph-regularized NMF for image co-clustering ［J］. Neurocomputing， 2018， 316： 156-165.

［6］LEPLAT V， GILLIS N， ANG A M S. Blind audio source separation with minimum-volume beta-divergence NMF ［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2020， 68： 3400-3410.

［7］WODECKI J， KRUCZEK P， BARTKOWIAK A， et al. Novel method of informative frequency band selection for vibration signal using nonnegative matrix factorization of spectrogram matrix ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 130： 585-596.

［8］王華慶， 王夢陽， 宋瀏陽， 等. 雙約束非負矩陣分解的復合故障信號分離方法 ［J］. 振動工程學報， 2020， 33（3）： 590-596.

WANG Huaqing， WANG Mengyang， SONG Liu yang， et al. Method of compound fault signal separation using double constraints non-negative matrix factorization ［J］. Journal of Vibration Engineering， 2020， 33（3）： 590-596.

［9］薛紅濤， 丁殿勇， 李汭鋮， 等. 基于分量加權重構和稀疏NMF的輪轂電機軸承復合故障特征提取方法 ［J］. 機械工程學報， 2023， 59（9）： 146-156.

XUE Hongtao， DING Dianyong， LI Ruicheng， et al. Feature extraction method based on component weighted reconstruction and sparse NMF for bearing compound faults of in-wheel motor ［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2023， 59（9）： 146-156.

［10］LIANG Lin， SHAN Lei， LIU Fei， et al. Impulse feature extraction of bearing faults based on convolutive nonnegative matrix factorization ［J］. IEEE Access， 2020， 8： 88617-88632.

［11］LIANG Lin， DING Xingyun， LIU Fei， et al. Feature extraction using sparse kernel non-negative matrix factorization for rolling element bearing diagnosis ［J］. Sensors， 2021， 21（11）： 3680.

［12］YANG Yongsheng， MING Anbo， ZHANG Youyun， et al. Discriminative non-negative matrix factorization （DNMF） and its application to the fault diagnosis of diesel engine ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017， 95： 158-171.

［13］GABOR M， ZDUNEK R， ZIMROZ R， et al. Non-negative tensor factorization for vibration-based local damage detection ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2023， 198： 110430.

［14］LIANG Lin， WEN Haobin， LIU Fei， et al. Feature extraction of impulse faults for vibration signals based on sparse non-negative tensor factorization ［J］. Applied Sciences， 2019， 9（18）： 3642.

［15］LEE J H. Enhancement of decomposed spectral coherence using sparse nonnegative matrix factorization ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 157： 107747.

［16］LIANG Lin， DING Xingyun， WEN Haobin， et al. Impulsive components separation using minimum-determinant KL-divergence NMF of bi-variable map for bearing diagnosis ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2022， 175： 109129.

［17］DING C， LI Tao， PENG Wei， et al. Orthogonal nonnegativematrix t-factorizations for clustering ［C］//Proceedings of the 12th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. New York， NY， USA： ACM， 2006： 126-135.

［18］CHEN Z， CICHOCKI A. Nonnegative matrix factorization with temporal smoothness and/or spatial decorrelation constraints ［J］. Signal Processing， 2005， 68： 1-6.

［19］SALEHANI Y E， GAZOR S. Smooth and sparse regularization for NMF hyperspectral unmixing ［J］. IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensing， 2017， 10（8）： 3677-3692.

［20］ESSID S， FVOTTE C. Smooth nonnegative matrix factorization for unsupervised audiovisual document structuring ［J］. IEEE Transactions on Multimedia， 2013， 15（2）： 415-425.

［21］VIRTANEN T. Monaural sound source separation by nonnegative matrix factorization with temporal continuity and sparseness criteria ［J］. IEEE Transactions on Audio Speech and Language Processing， 2007， 15（3）： 1066-1074.

［22］FABREGAT R， PUSTELNIK N， GONALVES P， et al. Solving NMF with smoothness and sparsity constraints using PALM ［EB/OL］. （2021-03-18） ［2024-10-10］. https：//arxiv.org/abs/1910.14576.

［23］GILLIS N， HIEN L T K， LEPLAT V， et al. Distributionally robust and MULTI-OBJECTIVE nonnegative matrix factorization ［J］. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2022， 44（8）： 4052-4064.

［24］QIAN Yuntao， JIA Sen， ZHOU Jun， et al. Hyperspectral unmixing via "L 1/2 sparsity-constrained nonnegative matrix factorization ［J］. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing， 2011， 49（11）： 4282-4297.

［25］YOO J H， CHOI S J. Nonnegative matrix factorization with orthogonality constraints ［J］. Journal of Computing Science and Engineering， 2010， 4（2）： 97-109.

［26］DAGA A P， FASANA A， MARCHESIELLO S， et al. The Politecnico di Torino rolling bearing test rig： description and analysis of open access data ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 120： 252-273.

（編輯 趙煒）