考慮圓弧修形和交錯角的人字齒輪嚙合行為分析

摘要：針對人字齒輪制造加工導致左、右齒面存在不同程度的對稱性偏差，以及傳統軸向位移迭代法受誤差尺度限制的問題，以某型高速列車人字齒輪為研究對象，提出了一種新的軸向位移迭代方法，并建立人字齒輪承載接觸分析（LTCA）模型。該模型以有限元法和有限長線接觸理論為基礎，在載荷-變形協調方程中考慮不同嚙合點處螺旋角的差異，采用牛頓迭代法計算主動齒輪軸向位移，通過LTCA模型分析了輪齒圓弧修形與齒面交錯角對嚙合激勵和載荷分布的影響。研究結果表明：牛頓迭代法可適用于含不同誤差類型的人字齒輪LTCA模型，且小誤差下牛頓迭代法比傳統迭代法的計算時間減少70%，圓弧修形量從2μm增至15μm，時變嚙合剛度均值降低38%，嚙合誤差均值提高39%；當輸入扭矩為500N·m時，兩側齒面中部最大法向嚙合力由100N增大到370N；隨著齒面交錯角的增大，時變嚙合剛度均值提高，嚙合誤差均值減小，交錯角相位差從0增加到π，時變嚙合剛度、嚙合誤差的幅值分別降低了54%和79%。該研究結果可為人字齒輪嚙合穩定性的提高提供新思路。

關鍵詞：人字齒輪；承載接觸分析；圓弧修形；齒面交錯角；軸向位移；牛頓迭代法

中圖分類號：TH132.41 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202504017 文章編號：0253-987X（2025）04-0180-13

Analysis on the Meshing Behavior of Double Helical Gear

Considering Arc Modification and Stagger Angle

HOU Xiaoyan1， WANG Xi^1，2， ZHOU Yue1

（1. School of Mechanical， Electronic and Control Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China;

2. Frontiers Science Center for Smart High-Speed Railway System， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044， China）

Abstract：In response to the asymmetrical deviations in the left and right tooth surfaces caused by the manufacturing and processing of double helical gears， as well as the limitations of traditional axial displacement iterative methods due to error scale， a new axial displacement iterative method is proposed based on a certain type of high-speed train double helical gear. A loaded tooth contact analysis （LTCA） model is established based on the finite element method （FEM） and finite line contacts theory. It considers the difference of helix angles on different meshing points in the load-deformation coordination equation. The Newton iterative method is used to calculate the axial displacement of the driving gear. The LTCA model is employed to analyze the effects of circular arc modification and tooth surface interference angle on meshing excitation and load distribution. The research results indicate that the Newton iterative method is suitable for the LTCA model of double helical gears with different types of different types of errors. Under small errors， the Newton iterative method reduces the calculation time by 70% compared to traditional iterative methods. With the arc modification increasing from 2μm to 15μm， the time-varying meshing stiffness decreases by 38%， the average meshing error increases by 39%， and the maximum normal meshing force at the middle of the tooth surface increases from 100N to 370N when the input torque is 500N·m. As the tooth surface stagger angle increases， the average time-varying meshing stiffness increases， the average meshing error decreases， and the phase difference of the stagger angle increases from 0 to π. The amplitude of the time-varying meshing stiffness and meshing error decreases by 54% and 79%， respectively. These research findings provide new insights for improving the meshing stability of double helical gears.

Keywords：herringbone gear；loaded contact analysis；lead crowning modification; tooth surface stagger angle；axial displacement；Newton’s iteration method

人字齒輪由兩個螺旋角相同、旋向相反的斜齒輪組成，由于具有高負載能力、傳動平穩、無軸向力等優點，因此被廣泛應用于船舶與航空領域^［1-2］。隨著我國高速列車運行速度的提升，高速列車傳動系統將傳遞更高頻次的齒輪嚙合力。為了消除斜齒輪嚙合的軸向分力對傳動系統中關鍵部件力學性能的負面影響，高速列車傳動系統開始采用人字齒輪傳動方式，齒輪嚙合過程中產生的周期性變化嚙合激勵將影響傳動系統的動態行為^［3-6］。因此，分析人字齒輪的嚙合激勵特征對研究高速列車傳動系統振動穩定性有著重要意義。

由于成本低、效率高，輪齒接觸分析（TCA）模型被廣泛應用于分析齒輪嚙合激勵特征^［7-10］。隨著研究不斷深入，研究人員開始意識到扭矩對齒輪嚙合激勵特征的影響。Litvin等^［11］在TCA模型的基礎上發展并完善了輪齒承載接觸分析（LTCA）模型。方宗德^［12］提出了考慮齒面幾何形態的斜齒輪LTCA模型，將齒輪幾何分析與力學分析進行了有機結合。曹雪梅等^［13］基于弧齒錐齒輪的LTCA模型，提出了承載傳動誤差簡化計算公式，并通過與有限元法計算結果的比較，證明了其合理性。馬登秋等^［14］基于幾何接觸分析、有限元法和承載接觸分析，研究了齒面修形對變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪承載接觸特性的影響。

與斜齒輪嚙合相比，人字齒輪LTCA模型需滿足軸向載荷平衡條件。王成等^［15］將變形協調方程與軸向力平衡方程、非嵌入方程聯立，提出了考慮輪輞結構變形和小輪浮動的人字齒輪LTCA數值計算方法。王峰等^［16］提出一種計算人字齒輪小齒輪軸向竄動的方法，建立了考慮軸向竄動的人字齒輪LTCA模型，分析了修形和負載對嚙合剛度的影響。劉玄等^［17］根據軸向力差判斷竄動方向優化軸向位移迭代過程，分析了小齒輪軸向竄動和齒向修形對載荷分布的綜合影響。蔣進科等^［18］針對單排人字行星齒輪嚙合，提出了考慮構件浮動的齒面承載接觸分析數值方法，更準確地反映了齒面分布力系的耦合作用。受加工安裝誤差的影響，人字齒輪左、右齒面存在一定的不對稱性偏差。文獻［19-20］提出一種考慮齒距偏差的人字齒輪LTCA模型，研究分析了長周期嚙合激勵對人字齒輪副動態響應的影響。李緯國等^［21］建立含對稱度誤差的人字齒輪LTCA模型，分析了對稱度誤差對人字齒輪輪齒接觸和軸向振動的影響。Kang等^［22-23］提出雙斜齒輪副齒面交錯角概念，搭建了可自定義交錯角的雙斜齒輪試驗機，對雙斜齒輪副準靜態和動態行為進行了實驗和理論研究。李棟梁等^［24］建立了含交錯角的人字齒輪模型，利用ROMAX軟件分析了交錯角對人字齒輪副軸向力及動態性能的影響，但未研究對軸向位移和齒面載荷分布的影響。目前，有關交錯角對人字齒輪副嚙合激勵與嚙合行為影響的研究較少，且尚未有考慮齒面交錯角的人字齒輪LTCA模型。同時，現有的人字齒輪軸向位移計算方法僅考慮了小誤差，未驗證其是否適用于含齒面交錯角等大誤差的人字齒輪LTCA模型。

鑒于以上分析，本文提出一種新的軸向位移迭代方法，以某型高速列車人字齒輪為研究對象建立人字齒輪LTCA模型。該模型考慮了主動齒輪軸向移動和嚙合點螺旋角變化，利用牛頓迭代法平衡左、右斜齒輪副軸向載荷，精確計算含大齒面交錯角的人字齒輪法向嚙合激勵與軸向位移，同時考慮輪齒圓弧修形的影響，通過模型揭示了輪齒圓弧修形和齒面交錯角對人字齒輪嚙合激勵的影響規律。

1 人字齒輪承載接觸分析模型

1.1 人字齒輪載荷-變形協調方程組

齒輪的嚙合可以等效為兩彈性圓柱體的接觸過程，通常認為是沿接觸橢圓長軸方向的線接觸。以人字齒輪一側斜齒輪副為例，假設外力P作用下，主、從動齒輪沿齒面的法向相對移動為δ，兩彈性齒面接觸并產生變形，如圖1所示，其中虛線為主、從動齒輪齒面初始位置，實線為齒面嚙合接觸變形后實際位置。將接觸線離散為一系列接觸點，則產生變形的點滿足變形協調條件

u p i+u g i+εi=δ（1）

式中：u p i、u g i分別為主、從動齒輪在i點的彈性變形；εi為i點的初始間隙；δ為兩齒輪的相對接觸位移。

傳統齒面接觸承載分析通過有限元法得到齒面法向柔度系數，但計算精度和效率受網格密度的影響。Vedmar等^［25］提出將有限元法與局部赫茲接觸解析表達式相結合計算輪齒變形。Chang等^［26］將輪齒變形分為線性宏觀變形和非線性局部變形，其中前者與載荷之間為線性關系，可由有限元子結構法和二維插值得到的齒面宏觀柔度系數表示；而每個嚙合點對應的局部有限長線接觸彈性變形被認為與載荷之間存在非線性關系^［27］，計算公式為

u c i=f n i π liE ln 6.59l3iE（R p i+R g i）f n iR p iR g i

E=1-υ2 p E p +1-υ2 g E g ^－1（2）

式中：u c i為嚙合點i處局部接觸變形；f n i為嚙合點i處的法向嚙合力；li為嚙合點接觸線長度；E*為線接觸材料參數，與主、從動齒輪材料的彈性模量E p 、E g 及泊松比υ p 、υ g 有關；R p i、R g i為主、從動齒輪嚙合點i處的法向曲率半徑。式（1）可以改寫為

∑kj=1（λ p ij+λ g ij）f n j+u c i+εi=δ（3）

式中：k為該時刻左、右斜齒輪副上的嚙合點總數；λ p ij、λ g ij為主、從動齒輪上嚙合點j對嚙合點i的宏觀變形柔度系數；f n j為嚙合點j處的法向嚙合力。

根據幾何關系將軸向移動疊加到初始間隙中，由承載接觸變形條件和力平衡條件，可得某一嚙合時刻下人字齒輪副載荷-變形協調方程組，表示如下

－λ n f n －u c +d+δ=ε

I T f n =F n

F aL =F aR

di=0， f n igt;0

digt;0， f n i=0（4）

式中：λ n 為齒輪整體柔度矩陣；f n 為嚙合點法向嚙合力向量；u c 為接觸點局部接觸變形向量；d為嚙合后接觸點的剩余間隙向量；δ為兩齒輪相對接觸位移向量；ε為接觸點初始間隙向量；I為各分量均為1的列向量；F n 為總嚙合力；F aL 、F aR 為左、右斜齒輪副軸向力。利用兩層迭代法求解式（4），得到該嚙合步下的載荷分布、靜態傳遞誤差及軸向位移，再由嚙合前后變形協調關系，得到斜齒輪副嚙合剛度和綜合嚙合誤差^［26］。

人字齒輪副嚙合面及嚙合點的分布如圖2所示。圖中給出了人字齒輪左、右斜齒輪副嚙合面，面內離散點為嚙合點。P bt 為基圓齒距，表示某一嚙合時刻下相鄰輪齒嚙合線沿y軸方向的距離，其內的嚙合線代表一個嚙合周期，包含三齒嚙合和雙齒嚙合兩部分。對嚙合周期內的每條嚙合線進行承載接觸分析，并將同一嚙合時刻的左、右斜齒輪計算結果相加，可得到人字齒輪時變嚙合激勵。值得注意的是，提取柔度系數時是對整個人字齒輪進行有限元建模，因此λ n 同時包含左、右兩個斜齒輪，且各斜齒輪柔度矩陣之間存在耦合矩陣。

1.2 人字齒輪軸向力計算

斜齒輪嚙合受力分析如圖3所示，其中圓周力p t 、法向力p n 和軸向力p a 的計算公式分別為

p t =T1/R

p n =p t /（ cos "α n" cos "β）

p a =p n" cos "α n" cos "γ（5）

式中：T1為齒輪扭矩；R為分度圓半徑；β為分度圓螺旋角；α n 為法面分度圓壓力角；γ為軸向夾角。

螺旋角通常是指斜齒輪分度圓螺旋角，但實際上齒面不同嚙合點的螺旋角并不完全相同。由于齒面是等距螺旋面，斜齒輪齒廓上任意圓的螺旋角和分度圓螺旋角滿足以下關系

tan "β k =R k R tan "β（6）

式中：β k 、R k 分別為齒廓上任意圓的螺旋角和半徑。

漸開線斜齒輪嚙合面與兩齒輪的基圓相切，嚙合線與齒輪軸向夾角為螺旋角，嚙合過程如圖4所示，其中平面N1N2N3N4為理論嚙合面，平面B1B2B3B4為實際嚙合面。主動齒輪從靠近齒根處的B1點進入嚙合，隨著齒輪轉動，齒面上形成與軸線夾角為螺旋角的嚙合線，最后在靠近齒頂處的B3點嚙出。以B1為原點建立嚙合面局部坐標系O M X M Y M ，嚙合點m的坐標（Xm， Ym）可根據圖2插值得到。m′點為m點在B1B2連線上的投影，定義l pg 為點O p 到O g 的距離，l1為點N1到B1的距離，根據幾何關系可得m′點距主動齒輪基圓圓心O p 的距離Rm′ p 為

Rm′ p =R2 pb +（l1+Y2 M ）

l1=l pg" sin "α tp －R2 ga －R2 gb （7）

式中：R pb 為主動齒輪基圓半徑；α tp 為主動齒輪基圓端面壓力角；R ga 、R gb 為從動齒輪齒頂圓半徑和基圓半徑。嚙合點m對應的螺旋角和軸向夾角分別為

βm= arc Rm′ p R tan "β（8）

γm=π2－βm（9）

假設某一嚙合時刻下人字齒輪左側斜齒輪副嚙合點數為k L ，右側斜齒輪副嚙合點數為k R ，則軸向力平衡方程可寫為

∑k L i=1f n i cos "α n" cos "γi=∑k R j=1f n j cos "α n" cos "γj（10）

1.3 人字齒輪軸向位移計算

為保證含大誤差人字齒輪承載接觸模型收斂，本文基于傳統迭代方法^［16］，進一步采用牛頓迭代法，提出了一種考慮齒面交錯角的軸向位移計算方法。牛頓迭代法基本思想是：根據Taylor展開將非線性方程轉化為線性方程，利用切線逐步逼近曲線，找到函數的0點。定義軸向移動量為ηz，軸向移動會導致每個嚙合點的嚙合力變化，故軸向力差 Δ F a 可認為是η z 的函數，求解的非線性方程為

Δ F a （ηz）=F aL （ηz）－F aR （ηz）=

∑k L i=1（f n i cos "α n" cos "γi）－∑k R j=1（f n j cos "α n" cos "γj）=0 （11）

由于 Δ F a （ηz）的導數無法直接求解得到，因此采用割線斜率K代替函數局部導數

K= Δ F a n－ Δ F a （n－1）ηzn－ηz（n－1）， n≥1（12）

收斂條件為

Δ F a （ηz）F aL （ηz）+F aR （ηz）lt;0.0001（13）

給定初始軸向移動量ηz0，根據式（4）計算初始軸向力差 Δ F a 0，然后采用傳統迭代方法得到第一次迭代結果ηz1和 Δ F a 1，之后根據這兩次結果結合式（12）進行迭代計算，表示為

ηz（n+1）=ηzn－ Δ F a n（ Δ F a n－ Δ F a （n－1））/（ηzn－ηz（n－1））， n≥1 （14）

直至軸向力差 Δ F a 滿足收斂條件后，輸出軸向位移。其計算流程如圖5所示。

本文以不同的對中誤差和某一交錯角為例，從小誤差和大誤差兩個方面比較兩種方法的計算效率與應用范圍。取對中誤差為1、5、10μm，兩種方法計算結果的對比如表1所示。可以看出，小誤差情況下兩種方法的計算結果基本一致，牛頓迭代法比傳統迭代法計算時間降低了約70%，且用時更穩定。

進一步分析含交錯角人字齒輪LTCA模型，兩種方法的軸向位移和軸向力差計算結果對比如圖6所示，其中橫坐標為無量綱時間軸，代表嚙合進程， T 為齒輪一個嚙合周期，與嚙合頻率互為倒數。從圖6（a）可以看出，在嚙合前期，兩種方法的計算結果基本一致；到了嚙合后期，傳統迭代法計算的軸向位移始終趨近于0。由圖6（b）可知，此時仍存在約800N的軸向力差，傳統迭代法無法令含交錯角人字齒輪LTCA模型收斂。根據牛頓迭代法計算結果可知，在整個嚙合周期，主動齒輪表現為左右往返移動的運動狀態，軸向力差波動范圍為0～0.02N，滿足式（13）的收斂條件，即軸向力平衡條件。通過以上對比可以看出，相較于傳統迭代法，牛頓迭代法的適用性更好，且在小誤差情況下計算效率更高。

2 考慮修形和交錯角的承載接觸分析

2.1 圓弧修形

輪齒修形是改善齒面載荷分布狀況、提高齒輪傳動承載能力的主要方法，也是影響齒輪嚙合行為的重要因素之一。為避免高速重載工況下齒面邊緣應力集中，以及齒輪和支撐軸變形所導致的載荷沿齒向分布不均現象，高速列車齒輪通常需要進行齒向修形。常見的方法有圓弧修形、螺旋線修形、曲面修形等，雖然實際誤差并非按圓弧曲線分布，但綜合考慮修形方式對載荷分布和加工工藝的影響，實際應用中常采用圓弧修形。圓弧修形示意圖如圖7所示，其中z軸為齒輪軸線方向，Ci為齒面上任一點的圓弧修形量，r為圓弧半徑，Li為該點到齒面中心線的距離，β b 為基圓螺旋角，C max 為最大圓弧修形量，B為齒寬。由圖可見，修形量沿齒寬方向從齒面中部向齒面端部逐漸增大。雖然修形能夠改變齒面接觸區域和接觸線長度，但不會改變接觸形式，人字齒輪左、右斜齒輪副仍為線接觸。

若B1B2B3B4為理論齒面，B′1B′2B′3B′4為修形后齒面形狀，M1M2是齒面沿齒寬方向上的中心線。修形后，齒面上任一點的齒向修形量Ci和圓弧半徑r應滿足如下關系

Ci=r－r2－Li cos "β b 2

r2=（r－C max ）2+B2 cos "β b 2（15）

線性宏觀變形為輪齒和輪輞的整體彎曲、壓縮和剪切變形，由有限元模型得到的柔度系數主要與齒輪整體結構有關^［28］，故齒向修形對結構柔度系數的影響可以忽略，只需將接觸點圓弧修形量Ci疊加進該點初始間隙εi，再代入載荷-變形協調方程，即可得到考慮圓弧修形的承載接觸分析模型。

2.2 人字齒輪交錯角

定義理想狀態下，左、右斜齒輪相同位置的輪齒在實際情況下的角位置差為人字齒輪齒面交錯角Γ s 。含不同交錯角的人字齒輪示意圖如圖8所示，其中p為分度圓齒距。對于齒數為N的人字齒輪，交錯角取為0～ π /N，對應齒距為0～p/2。

（a）Γ s = π /2N，25%交錯

（b）Γ s = π N，50%交錯

交錯角、交錯角相位差及交錯比例的關系如表2所示。

由圖2可知，嚙合線在基圓齒距上等間隔分布，因而可以通過控制左、右斜齒輪副嚙合線間的距離，得到含不同交錯角的人字齒輪承載接觸模型。沿基圓齒距P bt 劃分K=2n條嚙合線，定義交錯角控制參數L為［0， n］間的正整數，當左側斜齒輪副嚙合線為第I（I=1，2，…，2n）條時，右側斜齒輪副的嚙合線為第I+L條，當L=n時對應50%交錯。由于斜齒輪同時嚙合的齒數通常為2或3，因此每個嚙合步下需同時考慮5個輪齒，按照齒輪旋轉方向進行編號：前齒為輪齒1、輪齒2（逐漸退出嚙合），中齒為輪齒3，后齒為輪齒4、輪齒5（逐漸進入嚙合）。

3 圓弧修形對人字齒輪嚙合行為影響分析

本文以某型高速列車人字齒輪副為研究對象，基本參數如表3所示。

3.1 圓弧修形對嚙合激勵的影響

以額定扭矩500N·m的高速列車為例，研究圓弧修形對人字齒輪副嚙合激勵的影響。圖9給出了不同最大圓弧修形量C max 下，人字齒輪副軸向位移的變化情況。由圖9可見，軸向位移隨修形量的增大而增大，當C max =15 μm 時，最大軸向位移為－8 pm 。由此可知，圓弧修形對軸向移動影響較小，因而可以忽略。

圖10給出了不同最大圓弧修形量下，人字齒輪時變嚙合剛度k m 和綜合嚙合誤差e m 隨無量綱時間的變化規律。可以看出，隨著修形量的增加，k m 呈減小趨勢，e m 在雙齒嚙合區呈增大趨勢，而在三齒嚙合區表現為先增大后減小；當C max =2 μm 時，k m 在三齒嚙合區的中心處最大，隨著修形量的增加，此處的峰值逐漸變為谷值，同時雙齒嚙合區的k m 逐漸高于三齒嚙合區域，并在中心處達到峰值，此時e m 最小。進一步統計k m 和e m 的平均值與幅值列于表4，結果表明：隨著C max 的增加，k m 平均值逐漸降低，幅值先減小后增大。這主要與嚙合線長度有關，修形量的增加使嚙合點個數減少，平均嚙合線長度降低；而k m 幅值受嚙合線長度在三齒嚙合區和雙齒嚙合區分配的影響，當修形量較大時，嚙合線主要位于雙齒嚙合區，兩區域嚙合剛度差變大，故幅值增加。由表4 還可以看出，綜合嚙合誤差e m 的平均值和幅值均呈逐漸增大趨勢。

3.2 圓弧修形對載荷分布的影響

不同最大圓弧修形量下人字齒輪副的載荷分布如圖11所示。由圖可見，兩側斜齒輪副的嚙合進程為從B1點進入嚙合直至B3點退出嚙合。當C max =2 μm 時，嚙入嚙出位置靠近齒根和齒頂，齒面邊緣法向嚙合力高于齒面中心，齒面載荷分布較為分散。隨著C max 的增加，齒面邊緣不再參與嚙合，雖仍存在嚙合沖擊，但載荷逐漸向齒面中部集中。隨著C max 從2μm增至15μm，齒面中部最大法向嚙合力從100N增加到370N左右。

假設將嚙合面劃分為 q 條嚙合線，每條嚙合線所受載荷與該齒承受總載荷^［29］滿足下式

L（x）=F Np （x）∑qx′=1F Np （x′）， x=1，2，…，q（16）

式中：L（x）為齒面載荷分布系數；F Np （x）為嚙合面第x條嚙合線所受載荷。

由式（16），可得到不同最大圓弧修形量下人字齒輪一側斜齒輪副的載荷分布系數曲線，如圖12所示。

由圖12可知，隨著C max 增加，齒根和齒頂處的載荷分布系數逐漸為0，齒面中部的載荷分布系數逐漸增大；C max 從2 μm 增加到6 μm ，齒面中部的最大齒面承載系數顯著提高；C max 增至6 μm 后，齒面最大載荷承載區略微擴大，但載荷分布系數最大值保持穩定，對齒面邊緣承載的削弱作用越來越小。這表明圓弧修形對齒輪承載特性的影響不是線性關系，選取修形量時要綜合考慮對齒面載荷分布系數和時變嚙合激勵造成的影響。

4 齒面交錯角對人字齒輪嚙合行為影響分析

4.1 軸向移動對軸向力的影響

為研究軸向移動對含交錯角人字齒輪的影響，在γ s =π、牽引扭矩為500 N·m 、C max 為5μm工況下，分別進行軸向固定和軸向移動的承載接觸分析。圖13展示了軸向固定和軸向移動下，含交錯角人字齒輪軸向力的變化情況。由圖13（a）可見，軸向固定下，兩側斜齒輪副的軸向力未達到平衡，最大軸向力差約為1000N。由圖13（b）可以看出，軸向移動下，左、右斜齒輪副的軸向力相等，能夠滿足平衡條件。綜合以上分析可知，含交錯角人字齒輪副嚙合過程存在軸向力不平衡現象，交錯角帶來的時變軸向力差使小齒輪發生軸向移動，直至載荷分布滿足軸向力平衡為止。由此可以看出，軸向移動對含交錯角人字齒輪軸向力平衡有重要意義。

4.2 交錯角對嚙合激勵的影響

牽引扭矩為500N·m、 C max為5μm工況下，計算不同交錯角下人字齒輪軸向位移變化情況，如圖14所示。由圖可見，隨著交錯角的增加，軸向位移平均值變大，波動程度逐漸劇烈，這是因為人字齒輪副交錯角越大，達到軸向力平衡所需的軸向位移越大。同時，含交錯角人字齒輪在嚙合過程中呈現左右往返的周期性軸向運動現象，結合圖13可知，這是因為嚙合過程中產生了大小和方向均改變的時變軸向力差。

在考慮軸向移動的基礎上，進一步分析交錯角對人字齒輪嚙合激勵的影響。不同交錯角下的時變嚙合剛度k m 和綜合嚙合誤差e m 如圖15所示。由圖可知，隨著交錯角的增大，k m 平均值逐漸增大，e m 平均值逐漸減小，兩者波動幅度均顯著降低。經計算得到，交錯角相位差γ s 從0增大至 π ，k m 平均值增加了2.5 % ，幅值降低了54 % ；e m 平均值降低了16 % ，幅值降低了79 % 。由此可知，齒面交錯角使左、右斜齒輪副的嚙合輪齒存在相位差，通過嚙合補償，顯著降低了時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差的波動程度，提高了嚙合剛度平均值，減少了綜合嚙合誤差的引入。

4.3 交錯角對載荷分布的影響

從4.1節的分析可知，含交錯角人字齒輪嚙合過程中，左、右斜齒輪副軸向力存在相位差，因此有必要研究交錯角對人字齒輪副齒間載荷分布的影響。定義人字齒輪一側斜齒輪副齒間載荷分配系數L B （X）的表達式為

L B （X）=F N （X）/F N （17）

式中：X為輪齒序號；F N （X）為某一嚙合時刻輪齒X所受載荷；F N 為該時刻的總載荷。

假設右側輪齒相對左側轉過交錯角Γ s ，僅比較分析含交錯角人字齒輪右側斜齒輪齒間載荷分配系數。一個嚙合周期內左、右斜齒輪副5個輪齒的載荷變化情況如圖16所示。

由圖16（a）可知，無交錯角的左側斜齒輪副的嚙合歷程為：輪齒3開始進入嚙合，輪齒1逐漸退出嚙合，輪齒2的載荷分配系數先變大后變小，主要承載輪齒從輪齒2向輪齒3過渡。以左側斜齒輪副為標準，隨著交錯角的增加，右側斜齒輪副的嚙合進程超前于左側。對比圖16（a）和（b）可知，25%交錯時右側斜齒輪副的嚙合進程超前左側1/4周期，此時的嚙合歷程為：輪齒1已完成嚙合，進入輪齒2和輪齒3共同承載的雙齒嚙合區，隨著嚙合推進，在3/4周期時輪齒4進入嚙合。對比圖16（a）和（c）可知，50%交錯時右側斜齒輪副的嚙合進程嚙合超前左側1/2周期，此時的嚙合歷程為：輪齒2開始退出嚙合，載荷分配系數逐漸減小，輪齒3載荷分配系數達到最大，在1/2周期時輪齒4進入嚙合。

由以上仿真結果可以看出，左、右斜齒輪副嚙合輪齒在嚙合周期上的相位差與交錯比例相同，嚙合過程中，左、右斜齒輪副時變嚙合激勵得到相互補償，從而降低了人字齒輪整體的嚙合激勵時變性。

5 結 論

針對人字齒輪制造加工導致左、右齒面存在不同程度的對稱性偏差，以及傳統迭代法受誤差尺度限制的問題，本文提出一種新的軸向位移迭代方法，并以高速列車人字齒輪為研究對象建立人字齒輪承載接觸分析模型，綜合分析了輪齒圓弧修形和齒面交錯角對人字齒輪嚙合行為的影響規律，得到如下主要結論。

（1）分析不同圓弧修形量下人字齒輪嚙合激勵變化和載荷分布特征發現：圓弧修形量增加，時變嚙合剛度均值顯著降低，而綜合嚙合誤差均值逐漸增大，修形量從2μm增至15μm，時變嚙合剛度均值降低38%，嚙合誤差均值提高39%。最大齒面載荷分布系數隨修形量的增加而變大，當圓弧修形量增加至一定數值后，最大齒面載荷分布系數保持穩定。選擇最佳圓弧修形量應綜合考慮嚙合激勵的波動和齒面載荷分布情況。

（2）分析不同交錯角下人字齒輪的嚙合特性發現：當存在交錯角時，人字齒輪嚙合過程中產生大小和方向均改變的軸向力差，主動齒輪通過左、右往返的周期性軸向運動平衡軸向力。當交錯角相位差從0增加到π，時變嚙合剛度、嚙合誤差的幅值分別降低了54%和79%，表明交錯角使得左、右斜齒輪副參與嚙合輪齒間相互補償，提高了時變嚙合剛度均值，減少了嚙合誤差的引入，有效降低了人字齒輪嚙合激勵的波動幅度。

由上述結論可知，改變交錯角可以使左、右斜齒輪副產生的嚙合激勵得到合理性補償，從而提升了人字齒輪副的傳動穩定性，這為研究系統傳動的穩定性提供了新思路。

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（編輯 李慧敏）