一種抗沖擊噪聲的高精度波達方向估計算法

摘要：針對現有波達方向（DOA）估計算法在沖擊噪聲下估計精度較低的問題，提出了一種基于相控分數低階矩和指數族分布函數的離格近似 l 0范數DOA估計算法。首先，利用相控分數低階矩抑制沖擊噪聲，構建稀疏DOA模型；其次，通過對平滑函數的平滑性和陡峭性進行研究，構造了一類平滑性和陡峭性可變的函數族，并利用該函數族求解初始支撐集；然后，提出了一種前向展望和后向延拓策略，對初始支撐集進行擴展，并從中選擇出可以使殘差最小化的一組支撐集為最優支撐集，從而確定在格DOA估計；最后，為了解決網格失配效應，利用DOA粗估計與離格偏差之間的聯合稀疏性，通過交替方向迭代聯合求解DOA粗估計與離格偏差，獲得離格DOA估計值。仿真結果表明：與正交匹配追蹤算法相比，在信噪比為－8dB時，所提算法的DOA估計精度提高了66.36%。此外，當沖擊噪聲特征指數大于0.6時，所提算法對目標DOA的估計誤差可以控制在1°以內。仿真結果充分說明了所提算法可在沖擊噪聲下實現高精度的DOA估計。

關鍵詞：波達方向估計；近似 l 0范數；沖擊噪聲；指數族分布函數；前向展望；后向延拓

中圖分類號：TN911 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202504018 文章編號：0253-987X（2025）04-0193-10

A High-Accuracy Direction of Arrival Estimation Algorithm for

Impact Noise Resistance

SHAN Zebiao^1，2， YAO Ruiguang1， LIU Xiaosong1， XUE Hongyao1， LIU Yunqing1

（1. School of Electronic and Information Engineering， Changchun University of Science and Technology， Changchun

130022， China; 2. College of Communication Engineering， Jilin University， Changchun 130022， China）

Abstract：To address the issue of low estimation accuracy in existing direction of arrival （DOA） estimation algorithms under impulsive noise， an off-grid approximation "l 0-norm DOA estimation algorithm based on phased fractional low-order moments （PFLOM） and exponential family distribution functions is proposed. Firstly， PFLOM is employed to suppress impulsive noise and construct a sparse DOA model. Secondly， by analyzing the smoothness and steepness of smoothing functions， a family of functions with variable smoothness and steepness is constructed. This function family is used to solve the initial support set. Then， a forward-looking and backward-extending strategy is introduced to expand the initial support set， selecting a group of support sets that minimizes the residual to determine the optimal support set for grid-based DOA estimation. Finally， to address grid mismatch effects， the joint sparsity between DOA coarse estimates and off-grid deviation is used to jointly solve DOA coarse estimates and off-grid deviations through alternating direction iterative methods to obtain off-grid DOA estimate. Simulation results show that， compared to the orthogonal matching pursuit algorithm， the proposed algorithm improves the DOA estimation accuracy by 66.36% at a signal-to-noise ratio of-8dB. Furthermore， when the impulsive noise characteristic index exceeds 0.6， the estimation error of the target DOA by the proposed algorithm can be controlled within 1°. These results demonstrate that the proposed algorithm can achieve high-precision DOA estimation under impulsive noise.

Keywords：direction of arrival estimation; approximate "l 0-norm; impulsive noise; exponential family distribution function; forward exploration; backward extension

波達方向（DOA）估計是陣列信號處理中的主要研究內容，其在多個領域都具有重要的意義和廣泛的應用，包括雷達定位、移動通信、電子偵察和自動駕駛等領域^［1-4］。其中在電子偵察領域，DOA估計可以用于確定電磁信號的入射方向，進行目標定位或電磁干擾。在自動駕駛領域，DOA估計可以用于環境感知，利用陣列天線感知周圍車輛和行人的位置及運動方向，從而實現更安全的自動駕駛。

DOA估計算法主要有最大似然算法以及子空間類算法等^［5-7］，其中子空間類算法通常需要較多的陣元和采樣數據才能實現更高精度的估計，這在資源受限的情況下是難以實現的。壓縮感知技術^［8-9］的提出，為解決這一問題提供了新的思路。由于目標信號在空域內具有稀疏性，因此可以利用壓縮感知的方法對目標信號進行DOA估計。基于壓縮感知的DOA估計算法主要有3類：第1類是以正交匹配追蹤（OMP）算法為代表的貪婪類算法^［10］；第2類是稀疏貝葉斯學習（SBL）算法^［11］；第3類是以近似 l 0范數（SL0）為代表的凸優化類算法^［12］。其中，SL0算法相較于OMP算法和SBL算法具有明顯的優勢。一方面，SL0算法通過優化平滑化的 l 0范數，直接逼近稀疏解，能夠在稀疏性較強的信號中展現更高的重構精度。另一方面，SL0算法避免了復雜的超參數優化過程，其迭代計算相對簡單，因此在處理大規模稀疏問題時表現出更高的效率。

壓縮感知類算法多是將連續的空域離散為網格，當目標信號精準落在網格內時，可以得到較高精度的DOA估計值。然而當網格與目標信號存在偏差時，便會出現網格失配效應^［13］，算法性能嚴重下降。由于網格劃分過于密集會導致導向矢量矩陣中的原子相關度提高，破壞有限等距條件^［14］，導致算法性能進一步降低。因此，并不能通過密集劃分網格的方法解決網格失配問題。為此，文獻［15］將離格偏差引入到陣列輸出的二階矩模型中，并利用OMP算法對方向角和網格誤差進行聯合估計。文獻［16］提出迭代相位偏移校正算法，利用虛擬陣的等效單快拍數據結構增大陣列自由度的同時減小算法復雜度。文獻［17］提出了一種基于協方差擬合的離格DOA估計方法，通過糾正共形陣列數據與假設模型之間的相位偏移，補償了角度偏差。文獻［18］提出了一種適用于球形聲傳感器陣列的壓縮波束形成算法，克服了網格失配問題，提高了估計精度。文獻［19］提出了基于動態壓縮感知的DOA跟蹤算法，可以實現移動目標波達角的高精度動態估計。

在實際應用中環境噪聲并非都是高斯噪聲，其中表現出脈沖沖擊特性和厚重拖尾現象的非高斯噪聲稱為沖擊噪聲，使用Alpha穩定分布予以描述。針對沖擊噪聲下DOA估計算法性能下降甚至失效的問題，文獻［20］將稀疏恢復理論與分數低階矩（FLOM）相結合，構造了基于FLOM的稀疏DOA估計算法。然后，通過凸優化方法求解模型，獲得DOA估計值。文獻［21］通過分數低階協方差（FLOC）和Khatri-Rao（KR）子空間方法，抑制沖擊噪聲。所提重構OMP（R-OMP）算法和重構離格OMP（R-OGOMP）算法，有效提高了沖擊噪聲下DOA估計精度。但該算法只能抑制特征指數 α gt;1的沖擊噪聲，適用范圍較小。且該算法重構性能容易受到原子相關性影響，算法精度較差。

為解決上述問題，本文提出適用于在格場景條件下基于相控分數低階矩（PFLOM）和指數族分布（EFD）函數的近似 l 0范數DOA估計算法（P-ESL0）以及適用于離格場景下基于PFLOM和EFD函數的離格近似 l 0范數DOA估計算法（P-EOGSL0）。首先，利用PFLOM抑制沖擊噪聲，并結合KR子空間，構建基于PFLOM的稀疏DOA模型。其次，通過分析平滑函數平滑性與陡峭性的關系，構造了一種平滑性和陡峭性可變的EFD函數，以提高近似 l 0范數的效果。然后，利用EFD函數近似 l 0范數算法求解信號初始支撐集，并對初始支撐集進行前向展望和后向延拓，獲得待測支撐集。從待測支撐集中選擇出可使擬合殘差最小化的最優支撐集，從而確定在格DOA估計值。最后，對導向矢量求一階泰勒展開，將離格偏差引入稀疏DOA模型，利用交替迭代求解DOA粗估計和離格偏差，從而得到離格DOA估計值。本文的主要貢獻如下。

（1）在分析平滑函數的陡峭性和平滑性基礎上，構造了一種陡峭性和平滑性可變函數族，即EFD函數。該函數族可以通過調節其中的參數，構造出具有不同平滑性和陡峭性的函數，使得算法可以應對更加復雜的應用場景。

（2）提出了前向展望和后向延拓策略。該策略將對初始支撐集進行前向展望和后向延拓，并依據最小二乘準則，選擇出最優支撐集，以保證擬合誤差的最小化。

（3）為解決網格失配問題，本文提出了離格SL0算法。該算法利用DOA粗估計與離格偏差的聯合稀疏性，通過交替迭代最終可以得到較高精度的DOA估計值。

1 信號和噪聲模型

假設陣列是由M個間距為d的陣元組成的均勻線性陣列，K個遠場窄帶信號以平面波的形式入射到陣列上，方向分別為θ0，θ1，…，θK。在t時刻，陣列接收數據可表示^［22］為

x（t）=A（θ）s（t）+g（t）（1）

式中：x（t）=x1（t），x2（t），…，xM（t） T 為接收數據矢量；s（t）=s1（t），s2（t），…，sK（t） T 為目標信號矢量；g（t）=g1（t），g2（t），…，gM（t） T 為沖擊噪聲矢量；A（θ）=a（θ1），a（θ2），…，a（θK）為導向矢量矩陣；a（θk）=1， e ^{－ j 2 π λd sin "θk}，…， e ^{－ j 2 π λ（M－1）d sin "θk} T 為第k個導向矢量；λ表示信號的波長。

沖擊噪聲可用 Alpha 穩定分布予以描述，其特征函數可表示^［23］為

φ（t）= exp （ j at－γtα1+ j β sgn （t）ω（t，α））（2）

式中：ω（t，α）= tan α π 2，α≠1

2 π" lg t，α=1 ； sgn （t）=1，tgt;10，t=1－1，tlt;1；α（0lt;α≤2）為特征指數，表示噪聲沖擊程度；β（－1lt;βlt;1）為對稱參數，用于確定分布的對稱性；γ（γgt;0）為分散系數，其值用來描述樣本偏離均值的程度；a（－∞lt;alt;∞）為位置參數。值得注意的是，當α=2時， Alpha 穩定分布會退化為高斯分布。

2 基于 PFLOM 的稀疏 DOA 模型

在陣列信號接收模型基礎上，將 KR 子空間方法與 PFLOM 矩陣結合，構造稀疏 DOA 模型。首先，定義一種更接近二階采樣協方差矩陣形式的 PFLOM 矩陣，記為V。V中第（i，k）個元素vi，k定義為

vi，k=Ex i （t）x i （t）^b－1x i （t）xk（t）^b－1（3）

式中：b（0lt;blt;α/2）為 PFLOM 參數；（·）表示取共軛；·表示取模值；E·表示數學期望。對i，k，vi，k有界，矩陣V^［24］可表示為

V=A（θ）Ψ s A H （θ）+κIM（4）

式中：Ψ s = diag （η s ）為對角矩陣，其主對角元素η s =η1，η2，…，ηK T 為等效信號源列向量；κ為矩陣V的M－K個較小特征值的平均值；IM為M維單位矩陣；（·） H 表示共軛轉置。

對式（4）應用向量化算子，可得

y PFLOM = vec （V）=（θ）η s +κ vec （IM）（5）

式中： vec （·）為向量化算子；（θ）為 Khatri-Rao 積重構導向矢量矩陣，其表達式為

（θ）=A（θ） KR A（θ）=

a（θ1）a（θ1），…，a（θK）a（θK）=

（θ1），（θ2），…，（θK）（6）

式中：（θk）為重構導向矢量；為 Kronecker 積； KR 為 Khatri-Rao 積。由于κ可通過特征值分解獲得，因此式（5）可整理為

=y PFLOM －κ vec （IM）=（θ）η s （7）

進而在式（7）的基礎上，構造稀疏 DOA 估計模型。首先，將陣列可接收的角度范圍（－90 ° ，90 ° ）按一定間距均勻等分為Q個網格。Q要遠大于目標信號數量K，以保證信號在空域內的稀疏性。然后，按劃分的網格1，2，…，Q定義過完備字典（）和稀疏信號列向量s如下

（）=（1），（2），…，（Q）（8）

s=s1，s2，…，sQ T （9）

式中：向量s中僅有K個非零元素，若第i個非零元素si的值為ηk，則si對應的角度i就為θk。

根據上述定義，式（7）可表示為

=（）s（10）

由于式（10）是一個非確定性多項式難題（ NP-hard ）問題，難以直接求解。因此，通過連續的平滑函數去近似離散的l0范數，將離散的l0范數優化問題等價為連續函數的優化問題。求解該優化問題，獲得稀疏解s及對應的支撐集，從而根據支撐集中的原子在導向矢量矩陣中的位置確定 DOA 估計值。

3 一種近似l0范數的 EFD 函數

近似l0范數方法的關鍵在于構造一種平滑函數，去近似l0范數的特性，進而將離散的l0范數優化問題轉化為連續平滑函數的優化問題。所構造的平滑函數fσ（si）應當在遞減序列σi的控制下，逐漸逼近稀疏向量的l0范數，并且當逼近因子σ趨近于0時，fσ（si）應滿足

lim σ→0fσ（si）=1，si≠0

0，si=0（11）

對于任意的s∈RQ，令Fσ（s）=∑Qi=1fσ（si），可得‖s‖0= lim σ→0 Fσ（s），則式（10）可轉換為

min s Fσ（s）

s.t. "‖－（）s‖2 ≤ε（12）

式中：‖·‖2表示l2范數；ε表示擬合誤差上界。

平滑函數的平滑性和陡峭性對近似l0范數算法的估計精度起著重要作用。平滑函數的陡峭性越好，即函數在－1，0）和（0，1區間內的積分面積越大，函數對l0范數的近似效果越好，相應算法的估計精度會更高。此外，在求解Fσ（s）的極值時，需用到凸優化算法，所構造函數的平滑性越好，局部極值點則越少，越易于求得全局最優解。

為了提高平滑函數近似l0范數的效果，本文構造了一種 EFD 函數。該類函數可以在參數q的控制下，構造出具有不同平滑性和陡峭性的平滑函數。 EFD 函數的具體形式為

fσ（si）=1－ exp － ln "hσq lg "h^s2i+1（13）

式中：h（hgt;0）和q（qgt;0）為常數。

研究表明^［25］，迭代初期選擇較大的逼近因子σ和合適的初始解s能有效緩解梯度下降法帶來的鋸齒效應，從而避免陷入局部最優解。在h=10的條件下，當式（13）選取q=1、q=2、q=4以及qgt;4時，可得到4種平滑性和陡峭性不同的 EFD 函數。圖1為4種 EFD 函數分別在σ=10和σ=0.1時的近似效果圖。

由圖1可知，平滑函數的平滑性和陡峭性會受逼近因子σ及初始解s的影響。當逼近因子σ取值較大時，平滑函數的平滑性較好，函數幅值變化較為平緩，且變化率較小。因此，相鄰點的函數幅值差異較小，局部極值點較少，可以避免算法陷入局部最小值。反之，當逼近因子σ較小時，平滑函數更為陡峭，則有利于提高平滑函數近似l0范數的效果。

為使近似l0范數算法取得更好的近似效果，同時又避免使其陷入局部最小值。當逼近因子σ較大時，平滑函數應展現出較好的平滑性。這有利于為后續迭代求解出合適的初始解s，并避免陷入局部最小值。而當逼近因子σ逐漸趨于0時，平滑函數應有較好的陡峭性，以提高對l0范數的近似效果。從圖1可以看出，所提指數族分布函數在q=4時，平滑性和陡峭性較好，有利于提高算法的精確度。

4 在格近似l0范數 DOA 估計算法

基于第3節的 EFD 函數，構造稀疏 DOA 估計模型 min sFσ（s）， "s.t. "（）s=。該模型可以拆分為兩部分求解，其表達式為

min s Fσ（s）=∑Qi=1fσ（si）

min s G（s）=－（）s

（14）

對于式（14）的第1個問題，可通過梯度下降法求解。對構造的平滑函數求導，可得函數的梯度為

dl=2slσqs2l+σqh ^{log hs2l}+1σq（15）

進而可得到迭代計算公式為

sl+1=sl－uldl（16）

式中：ul表示梯度下降的步長。隨著逼近因子σ的降低，ul的值也應隨之變化。本文將步長設置為

ul=u0σq i /2（17）

式中：u0（u0gt;0）為初始步長。針對式（14）的第2個問題，可通過牛頓-拉夫遜法求解，其第l次迭代公式為

sl+1=sl－G（sl）G′（sl）

（18）

為了避免1/G′（sl）可能產生的病態問題，式（18）可轉換為

sl+1=sl－ T （ T ）^－1（－sl）

（19）

為分析式（18）的收斂性，可將其記為

v（s）=s－G（sl）G′（sl）（20）

對式（20）求導可得

v′（s）=G（s）G″（s）G′（s）2

（21）

假設s*是G（s*）=0的最優解，且G′（s*）≠0，在s*的鄰域內，存在v′（s）lt;1，根據定點定理可證式（18）是收斂的。

為進一步提高算法的精度，給出了一種前向展望和后向延拓策略。該策略的核心是將 SL0 算法求解出的稀疏解的支撐集Λ=ai1，ai2，…，aiK作為初始支撐集。通過前向展望和后向延拓，將初始支撐集原子aik在導向矢量矩陣中的前1個原子aik－1和后1個原子aik+1取出，組成原子塊Γik=aik－1，aik，aik+1。當有K個目標時，稀疏解的初始支撐集有K原子，在導向矢量矩陣中可以對應取出K個原子塊，其表達式為

Γi1=ai1－1，ai1，ai1+1

Γi2=ai2－1，ai2，ai2+1

ΓiK=aiK－1，aiK，aiK+1（22）

從每個原子塊中各取出1個原子可以組成待測支撐集t（t=1，2，…，3K），通過最小二乘法可以求解每個待測支撐集的殘差t，其表達式為

t=－tt

（23）

式中：t為最小二乘系數。對求解出的殘差矩陣=1，2，…，K3按列求l2范數可得χ=χ1，χ2，…，χK3。選擇可使殘差l2范數最小化的支撐集 min 為最優支撐集。根據 min 中原子在導向矢量矩陣中的位置，就可以獲得目標信號在格 DOA 估計值。

將 PFLOM 與 KR 子空間方法結合，抑制沖擊噪聲，重構 PFLOM 矩陣，并構造稀疏 DOA 模型。利用基于 EFD 函數的近似l0范數算法求解出稀疏信號s及其支撐集。然后，在該支撐集基礎上，對其進行前向展望和后向延拓，并從中抽取待測支撐集。計算各待測支撐集對應的擬合殘差，并選擇殘差l2范數的最小值對應的待測支撐集為最優支撐集。最后，根據最優支撐集中的原子索引，獲取目標 DOA 估計值。 P-ESL0 算法的偽碼如下。

算法1 "P-ESL0 算法

輸入：，（），K；

初始化：算法初始解s= T （ T ）^－1；逼近因子最小值σ min ；逼近因子初值σ= max （s）；逼近因子遞減步長β；內循環次數L。

1. "while "（σgt;σ min ）

2. """for "l=1：L

3. ""根據式（15）求解梯度

4. ""令s=s－uldl

5. ""令s=s－ T （ T ）^－1（－s）

6. """end for

7. ""更新逼近因子σi+1=βσi

8. "end while

9. 更新式（22）、（23）

10. 更新χ=χ1，χ2，…，χK3

11. 更新最優支撐集 min

輸出：稀疏信號， DOA 估計值。

5 離格近似l0范數 DOA 估計算法

5.1 P-EOGSL0算法原理

為提高離格目標的估計精度，對式（10）中的（）求一階泰勒展開，將離格偏差引入，從而構造離格稀疏 DOA 模型，其表達式為

=（+ Δ β）s

（24）

式中：= d / d θ為失配矩陣； Δ β= diag （β1，β2，…βQ）為偏差矩陣，主對角元素βq=q－θq，其中θq為真實 DOA 值，q為距離真實值最近的網格值。令u= Δ βs，則式（24）可轉換為

min s，u‖s‖0+‖u‖0

s.t. "‖－（s+u）‖2≤ε（25）

由于s和u具有相同的稀疏結構，因此在求解式（25）時可以暫時忽略包含離格偏差信息的u，先求出 DOA 粗估計s，再根據s中非零元素的位置求解u，通過交替迭代法逐步逼近離格 DOA 值。因此，式（25）可以拆分為兩部分

^（r）= arg" min s‖s‖0

s.t. "‖－^（r）s‖2≤ε（26）

^（r）= arg" min u‖u‖0

s.t. "‖（－^{（r）（r）}）－^（r）u‖2≤ε（27）

式中：^（r）是第r次迭代對s的估計值；^（r）是第r次迭代對u的估計值。

針對式（26），可利用第4節提出的在格近似l0范數 DOA 估計算法求解出 DOA 粗估計^（r）。在求解出^（r）后，可根據^（r）的非零元素位置，通過最小二乘法求解式（27）的^（r），其計算公式為

^（r）=（^{（r） H} I^（r）I）^{－1（r） H} Iz（28）

式中：I為^（r）的支撐集原子索引，即非零元素的索引；z為求解^（r）時的殘差，即z=－^{（r）（r）}。在得到^（r）和^（r）后，通過^（r）i= Re （^（r）i/^（r）i），^（r）i≠0計算對應位置的離格偏差^（r）i，最后更新迭代因子如下

s^（r+1）=^（r）（29）

u^（r+1）=^（r）（30）

^（r+1）=^（r）+β^（r）（31）

^（r+1）=（^（r+1））（32）

^（r+1）=^（r+1）′（33）

在第4節構造的在格稀疏 DOA 模型的基礎上，將離格偏差引入模型，構造離格稀疏 DOA 模型，并通過交替迭代法，求解 DOA 粗估計^（r）和包含離格偏差信息的^（r），從而獲得離格 DOA 估計值。 P-EOGSL0 算法的偽碼算法2所示。

算法2 "P-EOGSL0 算法

輸入：，（），K；

初始化：算法初始解s= T （ T ）^－1，最大迭代次數R，擬合誤差上界ε，重構導向矢量矩陣^（1）=（），失配矩陣^（1）=^（1）′。

1. "while "（r≤R "or "εgt;ε0）

2. "r=r+1

3. "由 P-ESL0 算法獲取^（r）

4. "計算z=－^{（r）（r）}

5. "更新^（r）=（^（r）HI^（r）I）^{－1（r） H} Iz

6. "更新^（r）i= Re （^（r）i/^（r）i）

7. "更新迭代因子式（29）～（33）

8. "更新殘差ε=‖－^{（r+1）（r+1）}－^{（r+1）（r+1）}‖2

9. "end while

輸出：稀疏信號^（r+1）， DOA 估計值^（r+1）。

5.2 沖擊噪聲下的克拉美羅界

非高斯噪聲背景下 DOA 估計算法的克拉美羅界（ CRB ）的封閉表達式為

B CRB =1Cα∑Tt=1 Re S H d（t）D H （θ） ⊥D（θ）Sd（t）（34）

式中：Sd（t）= diag s1（t），…，sK（t）為接收信號的對角矩陣；D（θ）=（θ1）/θ1，…，（θQ）/θQ是導向矢量矩陣的微分；⊥=I-（ H ）^-1 H 為導向矢量矩陣的正交補空間的投影；系數Cα可表示為

Cα=∫∞0（f′（x））2f（x）x d x（35）

式中：x=g為 Alpha 噪聲模值；f（x）是x的概率密度函數。值得注意的是，由于 Alpha 穩定分布只有當α=1或α=2時才有封閉概率密度函數，因此可以計算出C1=1/2γ和C2=3/5γ2，通過一階線性插值近似得出Cα， 1lt;αlt;2。

5.3 計算復雜度分析

本文所提算法的計算復雜度包含如下部分。

（1）預處理。利用 PFLOM 抑制信號中的沖擊噪聲，該部分計算復雜度為O（K）。

（2）初始化。求解初始解s的復雜度取決于。由于的維度是M2×Q，因此該部分計算復雜度為O（M6+M4Q）。

（3）更新梯度并按負梯度方向下降的計算復雜度為O（2K）。

（4）前向和后向延拓的計算復雜度為O（3K）。

（5）更新迭代因子的計算復雜度為O（K）。

（6）交替迭代的計算復雜度為O（K）。

將本文所提在格 P-ESL0 算法記為算法1，離格 P-EOGSL0 算法記為算法2。表1為4種算法的計算復雜度對比。從表1中可知，上述4種算法的計算復雜度基本處于同一數量級，與另外2種算法相比，本文所提算法的計算復雜度略有提高。

6 實驗結果與分析

為驗證所提算法的有效性和優越性，通過仿真實驗在不同條件下對比R-OGOMP算法、R-OMP算法、本文算法1及本文算法2的均方根誤差。附加沖擊噪聲信號的廣義信噪比（GSNR）定義為

R GSN =10 lg （ω s /γ）（36）

式中：ω s 為信號源平均功率。

DOA估計的均方根誤差（RMSE）表示為

E RMS =1KM c ∑M c m=1∑Kk=1（mk－θk）2

（37）

式中：M c 表示蒙特卡羅實驗次數；mk表示第k個信號源在第m次數實驗中的 DOA 估計值；θk表示第k個信號源的 DOA 真實值。

實驗1 指數族分布函數重構效果的分析與驗證。實驗條件設置為陣元素M=8，信號x是維度為181的向量，稀疏度K=2，沖擊噪聲特征指數α∈（0，2］。在平滑參數q取值不同的條件下， EFD 函數近似l0范數算法的恢復誤差如圖2所示。

從圖2可知：隨著特征指數α的逐漸增大，3種平滑函數的恢復誤差均逐漸減小；當q=4時，信號恢復誤差最小。由第3節的結論可知，q=4的 EFD 函數是平滑性和陡峭性綜合最優的，該實驗驗證了平滑函數近似l0范數的效果，與其平滑性和陡峭性成正相關關系。

實驗2 算法有效性實驗。

實驗條件設置為陣元數M=8，廣義信噪比為0 dB ，快拍數N=300，噪聲特征指數α=1.5，分數低階參數b=0.7，網格間距為1 ° 。假設有3個遠場窄帶信號源，分別從－30.5 ° 、15.6 ° "以及45.4 ° 入射到陣列上。圖3和圖4分別為本文算法1和本文算法2的空間譜。從圖3和圖4可以看出，本文所提兩種算法均可成功估計出目標信號的波達角，但本文所提離格P-EOGSL0算法（本文算法2）的精度更高。

實驗3 均方根誤差實驗。

實驗條件設置為陣元數M=8，快拍數N=300，廣義信噪比為8 dB ，特征指數α=1.5，分數低階參數b=0.7，網格間距為1 ° ，蒙特卡洛實驗次數M C =200。 假設有2個遠場窄帶信號入射到陣列上，其方向分別從區間－19 ° ，－20 ° 和區間25 ° ，26 ° 內隨機取值。

圖5為DOA估計均方根誤差隨廣義信噪比的變化。從圖5中可知，隨著廣義信噪比的提高，4種算法的均方根誤差均逐漸減小，但本文所提算法的估計性能明顯優于其他算法，尤其是與正交匹配追蹤算法相比，在信噪比為－8dB時所提算法的DOA估計精度提高了66.36%，充分表明了本文所提算法在低信噪比條件下，可以實現更高精度的DOA估計。

圖6為DOA估計均方根誤差隨快拍數的變化。由圖6可知，當快拍數逐漸增加時，4種算法的均方根誤差均逐漸減小，但本文算法2和本文算法1的均方根誤差均小于另外兩種算法，尤其是在較少快拍數條件下，本文算法的優勢更加明顯。以上表明，本文算法2在較小快拍數條件下可以實現更高精度的DOA估計。

圖7為DOA估計均方根誤差隨特征指數的變化。從圖7中可知，所提算法與另外兩種相比具有更小的均方根誤差，尤其是當特征指數 α lt;1時R-OMP和R-OGOMP算法的估計效果已基本失效，而所提算法仍然具有較好的估計性能，說明其適用范圍更廣。當特征指數大于0.6時，本文算法2的DOA估計均方根誤差小于1°，優勢更加明顯。另外當 α =2時，沖擊噪聲退化為高斯噪聲，此時本文算法仍然是有效的。

圖8為DOA估計均方根誤差隨陣元數的變化。當陣元數 M 增加時，4種算法的均方根誤差均逐漸減小。當陣元數較小時，所提算法的均方根誤差要小于在格R-OMP算法和離格R-OGOMP算法，而本文算法2在陣元數大于10之后，其均方根誤差均在0.1°以下，遠小于另外3種算法。實驗結果表明，本文所提算法可在小陣元數條件下可以實現更高精度的DOA估計。

圖9為DOA估計均方根誤差隨間隔角度的變化。從圖9中可知，在不同波達角間隔條件下，本文算法2和本文算法1的均方根誤差均小于另外兩種算法，尤其是本文算法2的均方根誤差最小，表明本文所提算法具有更高的分辨力。

7 結束語

針對沖擊噪聲背景下現有DOA估計算法精度較低的問題，提出了一種抗沖擊噪聲的高精度DOA估計算法。首先，將PFLOM與KR子空間法相結合，抑制沖擊噪聲的影響，并重構PFLOM矩陣，從而構造出基于PFLOM的稀疏DOA模型。其次，構造EFD函數，并分析EFD函數的平滑性和陡峭性，進而提出EFD函數近似 l 0范數算法。然后，利用所提近似 l 0范數算法求解稀疏DOA模型可得稀疏解及其支撐集。根據求得的支撐集，進行前向和后向延拓以擴充支撐集，并通過最小二乘法求解各個支撐集的擬合殘差，從而獲得能使殘差 l 2范數最小化的支撐集。最后，根據該支撐集中的原子索引，即可獲得信號的DOA估計值。同時，對導向矢量求一階泰勒展開，將離格偏差引入其中，構建出基于PFLOM的離格稀疏DOA模型，且交替迭代求解DOA粗估計和離格偏差，最終獲得離格DOA估計值。通過仿真實驗對本文所提算法進行了充分驗證，結果表明本文算法可以實現沖擊噪聲下的高精度DOA估計。

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（編輯 劉楊 陶晴）