核心問題引領(lǐng)下的單元結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)與實(shí)施

核心問題是基于對(duì)核心概念理解而設(shè)計(jì)的問題，指向思維方式，考驗(yàn)教師對(duì)單元結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)與實(shí)施的能力。用杰基·阿克里·沃爾什的話來說，核心問題是“為討論”，而非“為背誦”。結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)倡導(dǎo)整體感悟、整體融合，深度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，并形成比較完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。本文以“圓柱和圓錐”為例，以單元核心問題為引領(lǐng)，創(chuàng)造性地挖掘多元高效的學(xué)習(xí)素材，再構(gòu)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)脈絡(luò)，對(duì)圓柱圓錐的特征追根溯源。

一、審視單元根基，聚焦教學(xué)現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對(duì)圖形與幾何教學(xué)提出“讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成空間觀念。”“圓柱和圓錐”主要包括“圓柱的認(rèn)識(shí)、圓柱的表面積、圓柱的體積、圓錐的認(rèn)識(shí)、圓錐的體積”。深入課堂觀察“圓柱和圓錐”，如下問題值得思考。

1.費(fèi)時(shí)費(fèi)力的操作。如研究圓柱的側(cè)面展開圖與底和高之間的關(guān)系時(shí)，往往設(shè)計(jì)：①準(zhǔn)備材料：教師給每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張長方形紙片、兩張圓形紙片、固體膠和剪刀。②制作圓柱模型：學(xué)生根據(jù)準(zhǔn)備好的材料，小組合作完成圓柱模型的制作。③得出結(jié)論：圓柱側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。在實(shí)踐操作中，由于事先提供的材料單一，學(xué)生只是簡單拼湊。

2.故步自封的聯(lián)系。如圓柱表面積公式的推理，教師會(huì)直接問：怎么求圓柱的表面積？然后直接呈現(xiàn)圓柱和圓柱側(cè)面展開圖，觀察長方形面積和圓柱側(cè)面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長方形的面積等于圓柱側(cè)面積，所以圓柱側(cè)面積就是底面周長×寬，再加上下兩個(gè)圓的面積。教師通過“問答”的形式展開教學(xué)，問題問完了，課也上完了，聚焦重點(diǎn)不夠，深入內(nèi)里不及。

3.管中窺豹的整體。如筆者在教學(xué)“圓柱的體積”后對(duì)多個(gè)班級(jí)進(jìn)行了后測(cè)，所有學(xué)生都知道“圓柱的體積=底面積×高”，課堂上也經(jīng)歷了體積公式的推導(dǎo)，但是大部分學(xué)生都沒辦法將圓柱和長方體、正方體體積及時(shí)整體地聯(lián)系起來。說明多數(shù)教師對(duì)教材沒有進(jìn)行深度的解構(gòu)，簡單地把認(rèn)知體系內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)按照單元和課時(shí)割裂開來，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略無法遷移。

二、關(guān)注教材維度，把握單元結(jié)構(gòu)

核心問題引領(lǐng)下的課堂力圖挖掘多元高效的學(xué)習(xí)素材，把握單元結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)感悟、實(shí)踐操作、表達(dá)交流等活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，自主“問”、自主“探”、自主“思”，促進(jìn)自主遷移相關(guān)知識(shí)、自動(dòng)關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（一）多元內(nèi)容對(duì)比，全面滲透概念

“圓柱與圓錐”共10個(gè)例題（見表1），圍繞圓柱和圓錐兩條線展開教學(xué)，注重定性描述與定量刻畫，讓學(xué)生從認(rèn)識(shí)的角度感知圓柱與圓錐的特征。無論是圓柱還是圓錐，都是通過生活中常見的物體入手，剔除它們的物理屬性，得到圓柱和圓錐的直觀模型，抽象出圓柱和圓錐的表象，再通過觀察、比較、交流，探索表面積和體積的計(jì)算，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和極限思想。

（二）分析結(jié)構(gòu)差異，核心目標(biāo)具體化

新課標(biāo)對(duì)圖形與幾何提出了層級(jí)性的目標(biāo)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看“課程總目標(biāo)、學(xué)段目標(biāo)、單元目標(biāo)以及課時(shí)目標(biāo)”，在總目標(biāo)的引領(lǐng)下確定“圓柱和圓錐”具體化的核心目標(biāo)。

課程總目標(biāo)：經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。

學(xué)段目標(biāo)：經(jīng)歷探索物體與圖形的位置、大小、運(yùn)動(dòng)和位置關(guān)系的過程。了解簡單幾何體和平面圖形的基本特征，能對(duì)簡單圖形進(jìn)行變換，能初步確定物體的位置，發(fā)展測(cè)量包括估測(cè)、識(shí)圖、作圖等技能。在探索物體的位置關(guān)系、圖形的特征、圖形的變換以及設(shè)計(jì)圖案的過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。

單元目標(biāo)：①使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐，掌握它們的基本特征，認(rèn)識(shí)圓柱的底面、側(cè)面和高，并認(rèn)識(shí)圓錐的底面和高。②引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握?qǐng)A柱的側(cè)面積、表面積的計(jì)算方法以及圓柱、圓錐體積的計(jì)算公式，會(huì)運(yùn)用公式計(jì)算體積，解決有關(guān)的簡單實(shí)際問題。③通過觀察、設(shè)計(jì)和制作圓柱、圓錐模型等活動(dòng)，使學(xué)生了解平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。④使學(xué)生理解除了研究幾何圖形的形狀和特征，還要從數(shù)量的角度來研究幾何圖形，如圖形的面積、體積等，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。⑤通過圓柱和圓錐體積公式的探索，使學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化、推理、極限、“變中有不變”等數(shù)學(xué)思想。

三、核心問題引領(lǐng)，結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)與實(shí)施

本實(shí)踐以核心問題為引領(lǐng)，以圓柱圓錐的認(rèn)識(shí)與表面積、圓柱體積的推理以及圓柱、圓錐、長方體之間的關(guān)系為例，展開結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，積極推動(dòng)學(xué)生思維進(jìn)階。

（一）著眼異同找尋，引導(dǎo)主動(dòng)創(chuàng)造

核心問題1：我們認(rèn)識(shí)了圓柱和圓錐，你能用多種方法制作圓柱或圓錐嗎？

1.“卷”。生：用長方形的紙卷起來，沿長卷，長方形的長是底面圓的周長，寬是圓柱的高；沿寬卷，長方形的寬是底面圓的周長，長是圓柱的高。

生：我先剪一個(gè)扇形，再剪一個(gè)周長等于扇形弧長的圓，弧長等于底面圓周長。

2.“旋轉(zhuǎn)”。生：用長方形的紙旋轉(zhuǎn)，可以得到4種不同的圓柱：①第一組以長方形的長或?qū)捵鳛樾D(zhuǎn)軸，寬或長作為半徑旋轉(zhuǎn)成圓柱。②第二組以長方形的長或?qū)挼囊话胱鳛樾D(zhuǎn)軸，寬或長的一半作為半徑旋轉(zhuǎn)成圓柱。旋轉(zhuǎn)成的圓柱表面積和體積各不相同。

生：除了上述4種，我還可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個(gè)不同的圓柱，因?yàn)樾D(zhuǎn)軸可以有無數(shù)條。

生：可以用三角形的紙旋轉(zhuǎn)得到圓錐，如①直角三角形，分別沿兩條直角邊旋轉(zhuǎn)。②鈍角三角形，兩個(gè)圓錐的組合圖形。③銳角三角形，兩個(gè)圓錐的組合圖形。④沿著等腰三角形的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)180°就可以形成圓錐。

3.“平移”。生：我還可以用平移的方法得到圓柱，一個(gè)圓（同圓）沿著豎直方向上下平移。但是沒辦法利用平移制作圓錐，因?yàn)閳A錐的每個(gè)疊起來的圓大小不同。

4.“疊加”。生：疊加的方法也可以得到圓柱，由大小相同的圓（等圓）依次疊加（相鄰兩個(gè)圓完全重合）而成，且圓心的連線垂直于底面。圓錐必須由不等圓進(jìn)行疊加，其中最后是一個(gè)點(diǎn)（理論上成立）。

圓柱的認(rèn)識(shí)和圓錐的認(rèn)識(shí)在本質(zhì)上有著相同的地方，可以將圓柱和圓錐進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，采用并進(jìn)式實(shí)踐，幫助學(xué)生建立整體性的邏輯思維結(jié)構(gòu)。

（二）著眼思維外顯，促發(fā)真實(shí)推理

經(jīng)歷多種方法的創(chuàng)造后，學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐有了發(fā)展性的認(rèn)識(shí)，知道圓柱可以分為側(cè)面積和底面積兩部分，圓錐的側(cè)面積跟底面周長和母線有關(guān)。

核心問題2：你能嘗試用多種方法推理圓柱的體積嗎？試著把自己的方法表示出來（見表2）。

本片段圍繞核心問題，進(jìn)行自主式的多元深度探究，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中切實(shí)掌握了圓柱體積公式的推導(dǎo)過程，加深了對(duì)幾何體積的直觀理解，通過方法之間的溝通、類比、推理、遷移，凸顯極限思想和化曲為直的轉(zhuǎn)化思想。

（三）著眼關(guān)系研究，深度探究本質(zhì)

核心問題3：經(jīng)過實(shí)驗(yàn)知道等底等高的圓柱和圓錐，體積比是3：1，那么如何創(chuàng)造一組體積相等的圓柱和圓錐呢？

①組內(nèi)交流：如何創(chuàng)造一組體積相等的圓柱和圓錐呢？

圓柱S=____，h=_____，V=_____

圓錐S=____，h=_____，V=_____

②第一組匯報(bào)：底面積相同，高是1：3。

④第三組：體積相等，底面積不同，高不同，但是必須S1h1∶S2h2=1∶3。

學(xué)生思維的發(fā)展、解決問題能力的提高，需要以不斷積累的鮮明、靈活的關(guān)系模型作為支撐。上述教學(xué)從正、逆兩個(gè)方向進(jìn)行了推理，尤其是“高之比”“底之比”“積之比”三類關(guān)系，觸及了學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)，可以提高學(xué)生結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知水平。

（四）著眼整體關(guān)聯(lián)，激發(fā)真實(shí)遷移

核心問題4：在底面是正方形的長方體里剪一個(gè)最大的圓柱或圓錐，怎么剪？這個(gè)圓柱或圓錐的體積會(huì)和長方體的體積有什么關(guān)系？

生：我認(rèn)為圓柱的底面積應(yīng)該和長方體的底面積一樣，只是高可能不同。

生：圓錐的底面積也一樣，但體積是三分之一的圓柱體積，所以它肯定比圓柱小。

生：我可以根據(jù)圓中方和方中圓來推理。

師：圓柱、圓錐和長方體之間有著結(jié)構(gòu)和體積上的關(guān)聯(lián)，這也能幫助我們更好地理解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

教師基于“長方體和正方體”“圓柱與圓錐”兩個(gè)單元的知識(shí)，嘗試向前向后縱深關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問題展開探究。學(xué)生明確了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的遷移。

四、思考延展啟迪，反思單元精髓

在以核心問題為引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師進(jìn)一步挖掘和拓展知識(shí)內(nèi)涵，可確保學(xué)生在掌握基本的數(shù)學(xué)概念后靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，從而獲得更深層次的知識(shí)。在“圓柱與圓錐”單元中，師生對(duì)幾何體積、表面積以及它們之間的相互關(guān)系進(jìn)行探究，能進(jìn)一步加深對(duì)幾何概念的認(rèn)識(shí)，切實(shí)地發(fā)展幾何想象能力，為日后學(xué)習(xí)其他幾何知識(shí)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐，推理了體積和表面積以及相關(guān)的知識(shí)。那你們覺得這些知識(shí)可以用到哪些地方呢？

生1：如設(shè)計(jì)水杯或者儲(chǔ)物罐，水杯的形狀不就是圓柱嗎？

師：沒錯(cuò)，水杯的設(shè)計(jì)確實(shí)需要用到圓柱的體積計(jì)算。那么，如果我們要設(shè)計(jì)一個(gè)既能節(jié)省材料又能裝最多東西的容器，是選擇圓柱還是圓錐呢？

生2：圓柱。

師：我們?cè)偎伎迹诮ㄖ校瑸槭裁磮A柱形的柱子比方形的柱子更常見呢？

學(xué)生思考。

在探究圓柱與圓錐知識(shí)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，進(jìn)行遷移和擴(kuò)展，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理與豐富的空間想象能力。

核心問題是建立在對(duì)教材的整體建構(gòu)的基礎(chǔ)上，把握單元內(nèi)或跨單元知識(shí)之間的整體，同時(shí)關(guān)注“聯(lián)”的統(tǒng)整，體現(xiàn)知識(shí)關(guān)聯(lián)、學(xué)材關(guān)聯(lián)、活動(dòng)關(guān)聯(lián)和方法關(guān)聯(lián)，架構(gòu)單元整體教學(xué)，運(yùn)用遷移、類比等思想展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化思維發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生以連續(xù)、完整的視角分析理解知識(shí)本質(zhì)與關(guān)聯(lián)，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

編輯：曾彥慧

作者簡介：楊青（1976 —），女，漢族，浙江杭州人，本科，高級(jí)教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。