基于數學實驗 積累基本活動經驗

摘要：數學實驗主要是指學生通過自主參與探究過程，將動態操作和靜態思考有機結合在一起，形成對數學的認識，發展思維水平的活動。以“有趣的拼圖”一課為例，教師可以引導學生在探索圖形剪拼實質的過程中，展開數學實驗，通過操作、探究、思考，積累基本活動經驗，實現思維進階。

關鍵詞：數學實驗；基本活動經驗；思維進階

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）強調基本活動經驗的積累是數學教學的重要目標，是提高學生核心素養的重要標志。東北師范大學史寧中教授指出，基本活動經驗包括“實踐的經驗”和“思維的經驗”。因此，要把基本活動經驗的積累落實在教學中，就必須兼顧“做”與“思”。數學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學“教”與“學”的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的思維活動。數學實驗將動態操作和靜態思考有機結合在一起，外顯為觀察、操作等實踐活動，核心和歸宿則是思維的激活與發展。可以說，數學實驗是學生積累基本活動經驗的有效路徑。

以“有趣的拼圖”為例，教師要通過數學實驗引導學生了解圖形剪拼，把握圖形剪拼的實質，掌握正方形的剪拼方法；通過動手操作、合作交流、分析歸納等探究活動，經歷從特殊到一般的過程，豐富圖形剪拼經驗，體會圖形平移、旋轉、軸對稱的變換特征，深化對三角形、平行四邊形、矩形、正方形等圖形的認識與理解；逐步掌握問題解決過程中的圖形變換、化歸、數形結合等數學思想與方法，發展幾何直觀和推理能力等數學核心素養。

一、初步感知，積累經驗

問題1：木匠師傅準備將一塊普通三角形的木板鋸兩刀，無縫膠合成一個矩形，你能幫他辦到嗎？（如圖1）

教師將普通三角形木塊進行抽象，置于圖1右側的方格紙中，學生在方格紙上通過添加輔助線，嘗試剪切三角形，利用旋轉或平移拼合成一個矩形，剪拼方法如圖2所示。

追問1：剪拼前后什么量不變？能夠拼合的兩個圖形具有何種特點？剪拼的關鍵是什么？

學生依次回答“剪拼前后形狀改變了，但面積始終不變”“能夠拼合的兩個圖形具有相同的邊”“剪拼的關鍵是尋找剪痕，利用剪痕產生相同的邊”。然后，教師講解何為圖形剪拼，引出課題。

【設計意圖】教師創設真實情境，引導學生發現問題，積極參與數學實驗。借助方格紙完成圖形的剪拼，可有效降低學生初次進行圖形剪拼的難度。將三角形剪拼成矩形的探究過程，既可以喚起學生的舊知，還可以讓學生在動態操作與靜態推理中感知圖形剪拼的實質和關鍵，積累數學活動經驗，為后續探究做好準備。

二、合作探究，收獲新知

問題2：任意矩形能否剪拼成更特殊的正方形？

學生回答“若沒有限制剪痕數量，根據矩形的面積將其分割成平方數個小正方形，就能拼合成一個大正方形”，教師指出學生完成相似三角形和圓的學習后，只需剪兩刀即可將任意矩形剪拼成正方形，借助動態幾何軟件演示剪拼過程，引導學生觀察剪痕特征，但不做深入探究。

追問1：基于問題1和問題2，你還能得到什么結論？

學生回答：任意三角形能剪拼成矩形，進而剪拼成一個正方形。

追問2：除任意三角形可以剪拼成正方形外，還有哪些圖形可以剪拼成正方形？

【設計意圖】教師將剪拼目標特殊化，并設置一系列關聯性問題，在這一過程中，學生的圖形剪拼經驗由“任意三角形可以剪拼成一個矩形”拓展到“任意三角形可以剪拼成一個正方形”。借助動態幾何軟件的演示，學生從矩形剪拼正方形的過程中觀察剪痕特征，獲得直觀感知。學生進而提出疑問：能否將結論推廣至更復雜的圖形？教師帶領學生有邏輯地進行思考，這樣有助于提升學生發現與提出問題的能力，也為學生接下來的探究指明方向。

問題3：如圖3，任意四邊形能否剪拼成一個正方形？

教師引導學生基于已有圖形的剪拼經驗思考問題，將四邊形問題轉化為三角形問題就可以得到思路：沿四邊形的一條對角線剪開，能夠得到兩個小三角形，每個小三角形都能剪拼成一個正方形，因此能夠得到兩個正方形。

追問3：我們不妨將這兩個正方形拼合成一個圖形（如圖4），設這兩個正方形的邊長分別為[a，b]。現在，怎樣去研究任意兩個正方形能否剪拼成一個大正方形？

學生提出可以分為[a=b]和[a≠b]兩種情況進行研究。

【設計意圖】教師先引導學生基于已有學習經驗構造對角線，將四邊形問題轉化為三角形問題，化未知為已知，滲透化歸思想。然后，教師把問題又轉化為兩個正方形的剪拼問題，將不規則的圖形規則化，突破研究難點。最后，教師明確具體的研究問題，引導學生規劃數學實驗，提升學生分類討論的意識。

問題4 ：我們從特殊的情況開始探究，如圖5，當[a=b]時，你能將其剪拼成一個大正方形嗎？至少需要剪幾刀？

學生借助方格紙獨立完成剪拼方案，教師展示學生的不同成果，學生闡述最優方案，由于剪拼前后面積不變，所以大正方形面積為[2a2]，算出它的邊長為[2a]。因此，至少需要沿小正方形的兩條對角線剪開再拼合（如圖6）。

追問4：觀察各方案中的剪痕，說說它們有何關系？

學生回答：剪痕長度相等，均為大正方形的邊長，并且同一方案中的兩條剪痕互相垂直。

追問5：根據以上剪痕的特點，你還能找到其他的最優方案（剪痕數量最少）嗎？

學生回答：在圖6的基礎上，平移剪痕使其始終保持互相垂直且等于正方形邊長，可以得到無數種“最優方案”，教師借助動態幾何軟件演示剪拼過程。

【設計意圖】教師從特殊的[a=b]情況入手，把研究問題簡單化。這一問題對于學生來說比較簡單，通過動手操作、觀察思考、歸納方法等過程，學生獲得正方形剪拼的初步經驗，從而得到剪痕之間的關系。教師可借助動態幾何軟件輔助教學，使學生能直觀地把握正方形剪拼方法的本質，獲得正方形剪拼的一般方法。學生在此過程中豐富了活動經驗，也使得后續的探究有了明確的方向與方法。

問題5：如圖5，當[a≠b]時，能否只剪兩刀，就能將其剪拼成一個大正方形？

教師引導學生類比特殊情況下的剪拼方法進行分組探究，學生通過思考嘗試、合作交流得到多種剪拼方案（在此僅呈現部分成果，如圖7）。教師借助動態幾何軟件演示剪拼過程。

追問6：請同學們仔細觀察圖7，利用該圖我們能證明哪個已學定理？

學生觀察后發現，圖7可用于證明勾股定理，教師順勢講解這就是數學家劉徽用“出入相補法”證明勾股定理的“青朱出入圖”。學生感悟到：以形證數，是我國古代數學史上的偉大成就。

追問7：現在，我們已經完成了對[a=b]和[a≠b]兩種情況的探究，你能得出哪些結論？

學生歸納結論：任意兩個正方形可以剪拼成一個大正方形；把兩個正方形剪拼成一個大正方形，可以找到兩條互相垂直且等于大正方形邊長的剪痕；任意四邊形可以剪拼成一個正方形等。

【設計意圖】首先，學生自主探究，嘗試將活動經驗轉化為理性認知，可以更好地鞏固正方形剪拼的技巧和方法，體會剪拼方案的多樣化。其次，教師有機融入“青朱出入圖”，將圖形剪拼與勾股定理相結合，在幫助學生建立本節課與已學知識聯系的同時，滲透數學文化，增強學生文化自信和民族自豪感。

問題6：將結論進一步推廣，任意多邊形能否剪拼成一個正方形？

學生通過連接對角線的方式添加輔助線，將多邊形分割為多個小三角形，這些小三角形可以剪拼成小正方形，這些小正方形又可以兩兩剪拼成較大的正方形，因此最終可以通過有限次剪拼成一個大正方形。

擴展：數學史上曾經有這樣一個難題——任意給定兩個面積相等的多邊形，它們之間能否通過剪拼得到另一個圖形？19世紀，匈牙利數學家鮑耶解決了這一問題，而我們的探究過程也是沿著鮑耶的證明路徑，步步化歸，層層推進，最終成功得到了結論。

【設計意圖】本環節首先將問題拓展至“任意多邊形能否剪拼成一個正方形”，學生基于先前的經驗積累已經能借助所學知識回答該問題，求知欲和成就感得到充分滿足。其次，教師帶領學生了解數學歷史上圖形剪拼問題的研究歷程，重新梳理本節課的研究路徑，讓學生在回顧的同時體驗數學再創的奇跡。

三、遷移應用，內化方法

問題7：如圖8，下列網格中的六邊形[ABCDEF]是由一個邊長為6的正方形剪去左上角一個邊長為2的正方形所得，將該六邊形按照一定的方法可剪拼成一個正方形。

（1）根據剪拼前后圖形的面積關系求出拼成的正方形的邊長為 ；

（2）如圖8，把六邊形[ABCDEF]沿[EH，BG]剪成①，②，③三個部分，請在圖中畫出將②，③與①拼成的正方形，然后標出②，③變動后的位置；

（3）在圖9中畫出一種與圖8不同位置的兩條剪痕，并畫出將此六邊形剪拼成的正方形。

（4）如圖10是由5個全等的正方形拼成的圖形，請將它剪拼成一個大正方形，并使剪痕的條數最少。

【設計意圖】在學生具備活動經驗、掌握剪拼方法的基礎上，教師出示上述兩個不規則圖形的剪拼問題，學生在解決問題的過程中內化剪拼經驗，提升應用意識，發展幾何直觀、推理能力等核心素養。

四、梳理總結，形成反思

學生分享本節課的收獲與感想，學生交流回答后，教師補充總結。

一個實質：圖形剪拼前后，形狀改變，面積不變。

兩個結論：任意兩個正方形剪拼成一個大正方形的最優方案是找兩條相互垂直且相等（等于大正方形邊長）的剪痕；任意多邊形都能剪拼成一個正方形。

三種思想：圖形變換思想、化歸思想、數形結合思想。

【設計意圖】教師以“一個實質、兩個結論、三種思想”作為本節課的總結，學生深化對知識與技能、基本活動經驗和數學思想方法的歸納整理，完善知識結構。

在教學過程結束后，筆者形成如下反思。

一是重構數學史料，設計數學實驗。弗賴登塔爾指出，學生數學學習唯一正確的方式是再創造。這種再創造，不是簡單地重現數學知識的形成過程，而是需要選擇性地刪減重構，讓學生經歷數學知識的關鍵步子。根據教學目標、學生學情與學生的認知發展規律，本節課將核心問題設置為任意多邊形都可以剪拼成正方形。本節課圍繞核心問題，重構數學史料，分別設計了兩個數學實驗：“任意三角形可以剪拼成一個矩形”“任意兩個正方形可以剪拼成一個大正方形”。學生在兩個數學實驗中，進行動態操作和靜態思考，經歷數學“再發現”的過程，汲取數學史中的數學智慧，發展幾何直觀、推理能力等數學核心素養。

二是聚焦實驗過程，積累活動經驗。數學實驗既是一種教學手段，更是學生的一種學習方式，應凸顯學生的主體地位，使其真實完整地參與數學實驗過程。本節課，教師從真實情境出發，學生在方格紙上進行三角形剪拼的數學實驗活動，初步積累數學活動經驗。而對問題進行探究時，學生不斷地對已有經驗進行加工、轉換、積累，得到正方形剪拼的基本經驗。為達成既定教學目標，教師重點開展第二個數學實驗，學生在活動中先進行動手操作，通過主動觀察、發現、思考剪痕之間的關系，獲得正方形剪拼的經驗；然后，通過經驗再現，在觀察、實踐、討論、思考中得到多種剪拼方案，并深化正方形的剪拼經驗。最后，學生將積累的活動經驗轉化為理性的數學經驗，逐層思考，步步化歸，順利解決本節課的核心問題。

三是超越實驗表象，實現思維進階。數學中充滿了從有限到無限的直觀想象，學生的數學思維是在“直觀—抽象—直觀”的循環往復過程中不斷深化的。學生可以借助數學實驗直觀“做”數學，但是最終要在頭腦中“思”數學。因此，教師不僅要關注學生在數學實驗中的操作過程，更要注重學生在實驗之后的反思過程。本節課，教師在每一次數學實驗之后，有意識地進行問題設計，引導學生提煉在實驗中獲得的隱藏經驗。學生在完成三角形剪拼后，教師利用兩個串聯的問題引導學生推導得到“任意三角形都可以剪拼成正方形”。接著，教師繼續將學生的思維縱向推進，提出問題，組織開展數學實驗。最后，學生聯系所積累的數學活動經驗，進行轉化、化歸、思考，得到最終結論。這樣的數學實驗與問題設計之間橫向具有延伸性，縱向具有遞進性，由淺入深、環環相扣，不斷地引導學生超越實驗表象，深入思考數學本質，促進深度學習，實現思維進階。

參考文獻：

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（責任編輯：楊強）