發(fā)展學(xué)生模型意識的有效策略

［摘 要］模型意識是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，學(xué)生需要具備并發(fā)展模型意識，為持續(xù)學(xué)習(xí)提供思想支持。要發(fā)展學(xué)生的模型意識，教師應(yīng)該扎根課堂教學(xué)，逐步滲透模型意識。文章以蘇教版教材“解決問題的策略（轉(zhuǎn)化）”一課為例，闡述發(fā)展模型意識的有效策略：深挖故事，孕伏模型的結(jié)構(gòu)；分層推進，構(gòu)建模型的脈絡(luò)；轉(zhuǎn)換視角，把握模型的本質(zhì)；豐富變式，拓寬模型的外延；聯(lián)結(jié)溝通，體會模型的價值。

［關(guān)鍵詞］轉(zhuǎn)化；模型意識；解決問題

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）08-0075-04

模型意識有助于增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，認識到模型可以解決一類問題。發(fā)展模型意識，要結(jié)合學(xué)生的認知水平，由淺入深、循序漸進地進行教學(xué)。本節(jié)課的教學(xué)貼近學(xué)生的需求，運用有效策略幫助學(xué)生感悟模型的本質(zhì)特點。

一、深挖故事，孕伏模型的結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是基于對情境的抽象和對問題的表征。因此，教師要深挖故事，提出有代表性的問題，孕伏模型的結(jié)構(gòu)，從而激發(fā)學(xué)生建模的興趣，讓學(xué)生感悟模型的結(jié)構(gòu)，為下一步構(gòu)建模型打下基礎(chǔ)。

師：你們聽過“曹沖稱象”的故事嗎？他是怎樣稱出大象的質(zhì)量的？我們一起來看一下。

（教師播放《曹沖稱象》動畫）

師：為什么要把大象換成石頭？

生1：如果直接稱大象，就要造一桿很大的秤，很麻煩。

師：當我們遇到復(fù)雜的問題時，就要想辦法把它轉(zhuǎn)化成一個簡單的問題。那為什么稱出了石頭的質(zhì)量就能知道大象的質(zhì)量？

生2：石頭和大象都能把船往水里壓，壓到一樣的程度，互相轉(zhuǎn)化后，它們的質(zhì)量是一樣的。

師：是的，轉(zhuǎn)化過程中質(zhì)量是不變的。今天我們就一起來學(xué)習(xí)這個解決問題的策略——轉(zhuǎn)化。

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提出三個關(guān)鍵問題：怎樣稱大象的質(zhì)量？為什么要把大象換成石頭？為什么稱出了石頭的質(zhì)量就能知道大象的質(zhì)量？這三個問題層層深入，孕伏后續(xù)的模型內(nèi)涵。教師設(shè)計這三個問題的意圖如圖1所示。

三個關(guān)鍵問題使得學(xué)生深刻理解故事背后的道理，自然而然地思考轉(zhuǎn)化的意義，讓學(xué)生初步感悟轉(zhuǎn)化模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

二、分層推進，構(gòu)建模型的脈絡(luò)

想讓學(xué)生摸清模型的脈絡(luò)，教師就要站在學(xué)生的角度上考慮，將資源進行分類，有序推進，搭建符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律的交流平臺。只有通過豐富的資源對比，才能讓學(xué)生多維度感知事物的特征，幫助他們抓住模型的本質(zhì)，構(gòu)建模型的脈絡(luò)。對此，筆者設(shè)計了以下教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：大家欣賞誰的做法？

生3：我欣賞生2的做法，因為比較簡便。

師：生2的做法有什么特點？

生4：把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成了規(guī)則圖形。

師：為什么轉(zhuǎn)化后的兩個長方形的面積相等，就能說明轉(zhuǎn)化前的兩個不規(guī)則圖形的面積相等呢？

生5：轉(zhuǎn)化前后圖形的面積沒有發(fā)生變化。

師：是的，可以在變化中找到不變的量。

此教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生的做法有兩種，分別是數(shù)格子的方法和轉(zhuǎn)化方法。教師引導(dǎo)學(xué)生對比不同的方法，并用“為什么轉(zhuǎn)化后的長方形的面積相等，就能說明轉(zhuǎn)化前的不規(guī)則圖形面積相等？”這一問題帶領(lǐng)學(xué)生明確等積變換的本質(zhì)——轉(zhuǎn)化前后圖形的面積沒有發(fā)生變化。教師要將問題抽絲剝繭，才能幫助學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，構(gòu)建模型的脈絡(luò)和結(jié)構(gòu)。

三、轉(zhuǎn)換視角，把握模型的本質(zhì)

構(gòu)建模型不能局限于一個視角，要從不同的視角找到知識的本質(zhì)，從而構(gòu)建相應(yīng)的模型。學(xué)生在經(jīng)歷探究并構(gòu)建模型后，教師應(yīng)為學(xué)生提供豐富的練習(xí)，幫助學(xué)生體會許多數(shù)學(xué)問題本質(zhì)上都是指向同一個模型。

就這節(jié)課而言，等積變換模型是教學(xué)的重難點。在轉(zhuǎn)化時，可以將圖形本身進行轉(zhuǎn)化，也可以將圖形外的空白部分進行轉(zhuǎn)化，但這兩種方法歸根到底都是將“面”進行平移或旋轉(zhuǎn)。教師應(yīng)該讓學(xué)生體會到這一點，從多個視角感悟等積變換的內(nèi)涵。對此，筆者設(shè)計了以下教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：比較圖4中直條面積的大小。（長方形面積相等，直條寬度相等）

生1：把左邊圖形的直條圖案分別平移到邊上，就跟右邊圖形的直條圖案是一樣的了。

師：比較圖5中各圖形陰影部分面積的大小。（長方形面積相等，直條寬度相等）

生2：①號圖形的陰影部分與②號圖形的陰影部分等底等高，面積相等。

生3：計算③號圖形的陰影部分的面積用不了面積公式，比較起來有困難。

師：沒關(guān)系，我?guī)砹诉@三個圖案的模型，請你仔細觀察③號圖形左邊空白部分和右邊空白部分的形狀，你有什么想說的？

生4（邊操作邊說，如圖6）：可以把左邊的空白部分向右側(cè)移動，與右邊的空白部分拼在一起。

師：大家還想再看一遍嗎？請生4再演示一遍。但這次我有個要求，請大家仔細觀察，原來的“S”形圖案轉(zhuǎn)化后“跑”去哪里了？

（生4再次操作）

生5：“S”型圖案轉(zhuǎn)化成了左端的小長方形，轉(zhuǎn)化后，可以看出③號圖形陰影部分的面積與①號圖形陰影部分的面積相等。

師：照這樣的思路，誰來轉(zhuǎn)化①號圖形和②號圖形的空白部分？

（生6上臺操作，如圖7-1、圖7-2）

生6：它們的空白部分都可以通過平移，轉(zhuǎn)化成相同的長方形，因此①號圖形、②號圖形、③號圖形陰影部分的面積是相等的。

師：回顧剛才做的這兩道題，它們有什么相同點和不同點？

生7：相同點是這兩題都是將面進行平移。不同點是第一題我們直接比圖案，第二題我們比了空白部分。

師：當我們在比較面積時，除了可以直接轉(zhuǎn)化圖案本身，還可以轉(zhuǎn)化空白部分。但無論哪種方法，本質(zhì)上都是將面進行平移。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)包含兩道題：第一題是對陰影部分進行等積變換，第二題是對空白部分進行等積變換。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圖5中③號圖形的陰影部分很難直接比較，以此產(chǎn)生認知沖突。為此，教師組織三次操作活動：第一次，聚焦空白部分，明確③號圖形的空白部分能夠轉(zhuǎn)化成一個長方形；第二次，聚焦陰影部分，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)陰影部分轉(zhuǎn)化成了左端的小長方形；第三次，聚焦①號圖形和②號圖形，將它們的空白部分進行變換，再次鞏固轉(zhuǎn)化策略。學(xué)生在活動中感悟，如果直接比較陰影部分的面積行不通，可以轉(zhuǎn)換視角，將空白部分進行轉(zhuǎn)化。但不論是哪種方式，本質(zhì)都是對面的平移。

四、豐富變式，拓寬模型的外延

除了在不同的問題中找到相同的本質(zhì)，抽象出相同的數(shù)學(xué)模型，還可以改變情境中的關(guān)鍵量，探究關(guān)鍵量與結(jié)果的關(guān)系，從而拓寬模型的外延，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。就這節(jié)課而言，除了上文提到的等積變換模型，等長變換模型也是重點。這兩種變換有相同點，也有不同點，教師可以通過豐富的變式練習(xí)讓學(xué)生深刻地理解等積變換模型和等長變換模型。對此，教師設(shè)計了以下教學(xué)環(huán)節(jié)。

師：求圖8中右邊圖形的周長，每小格的邊長是1厘米。

師：這兩種解法，哪一種正確？

生1：第一種解法正確。

生2：第二種解法是轉(zhuǎn)化面，而這題求的是周長。

師：做完這道題，你想提醒大家什么？

生3：解題時一定要先看清是求面積還是求周長，再轉(zhuǎn)化。

師：到現(xiàn)在為止，我們解決了許多題，如果要你把這幾道題分類，你會怎樣分？

生4：分成兩類，前幾題都是轉(zhuǎn)化前后圖形的面積不變，最后一題是轉(zhuǎn)化前后圖形的周長不變。

師：沒錯。轉(zhuǎn)化前后圖形的面積不變，在數(shù)學(xué)上叫等積變換。轉(zhuǎn)化前后圖形的周長不變，在數(shù)學(xué)上叫等長變換。

師（出示圖10）：下圖中左邊圖形的面積和右邊哪個圖形的面積相等？左邊圖形的周長和右邊哪個圖形的周長相等？

生5：將左邊圖形的小半圓補到空白部分，左邊圖形的面積就和①號圖形的面積相等。將左邊圖形兩條短的弧轉(zhuǎn)化成一條長的弧，左邊圖形的周長就和②號圖形的周長相等。

師：你覺得等積變換和等長變換有什么相同點和不同點呢？

生6：相同點是圖形轉(zhuǎn)化過程中都有一個量保持不變。

生7：不同點是等積變換是轉(zhuǎn)化前后圖形的面積不變，等長變換是轉(zhuǎn)化前后圖形的周長不變。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)涉及兩個問題。第一個問題旨在讓學(xué)生認識等長變換，先將正確的解法和錯誤的解法進行對比，再將前面做過的題目放在一起對比并總結(jié)。第二個問題不僅涉及圓的周長和面積的知識，還將等積變換模型與等長變換模型放在一起，要求學(xué)生獨立辨認，這是對學(xué)生綜合能力的考查。豐富的變式使得學(xué)生在對比和交流中，深刻地認識到這兩類模型的特點，發(fā)展模型意識，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

五、聯(lián)結(jié)溝通，體會模型的價值

呂林海教授認為，學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“會”有兩種含義，一是“工具性的三會”；二是“本質(zhì)性的三會”。從學(xué)會使用工具轉(zhuǎn)向?qū)W會認識本質(zhì)，才是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。就“轉(zhuǎn)化”這節(jié)課而言，不能只教學(xué)解題策略和數(shù)學(xué)模型，還要將轉(zhuǎn)化策略與生活聯(lián)系起來。只有這樣，學(xué)生才能在掌握知識的同時內(nèi)化轉(zhuǎn)化策略，感悟模型的價值。具體的教學(xué)環(huán)節(jié)如下。

師：大家談?wù)劷裉斓氖斋@。

生1：我學(xué)會了等積變換和等長變換。

生2：我知道了轉(zhuǎn)化能讓問題更簡單。

師：沒錯，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中十分重要的策略。轉(zhuǎn)化不僅存在于數(shù)學(xué)中，在生活中也有它的身影。課堂的最后，我請大家看一個小故事（如圖11）。

師：你看懂這個故事了嗎？你有什么想說的？

生3：我看懂了，實際上人們都是花了100元買了一只雞。

生4：這個老板真聰明啊。

師：老板轉(zhuǎn)換營銷策略，成功將養(yǎng)雞場里的雞都賣出去了，這就是老板的智慧。希望同學(xué)們不僅能在數(shù)學(xué)中用轉(zhuǎn)化策略解決數(shù)學(xué)問題，還能在生活中利用轉(zhuǎn)化策略解決實際問題。

通過以上教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生深刻認識到轉(zhuǎn)化的價值：它既可以幫我們解決數(shù)學(xué)問題，也可以幫我們解決生活中的困難。

轉(zhuǎn)化不僅限于等積變換和等長變換，也不僅限于數(shù)學(xué)這門學(xué)科。轉(zhuǎn)化是一種思想，可以跨越多門學(xué)科，也與生活緊密相連，它是一種智慧的策略。

綜上所述，教師要從實際情況出發(fā)，開展課堂教學(xué)，探尋有效策略，讓學(xué)生參與模型的構(gòu)建與運用，幫助學(xué)生感悟模型的本質(zhì)，體會模型的價值，厘清模型的脈絡(luò)并將其運用于生活中，使得學(xué)生的模型意識落地生根。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 孫保華.發(fā)展模型意識的有效策略[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（10）：14-16.

[2] 呂林海.“三會”，應(yīng)超越工具性而存在[J].教育視界，2023（6）：1.

（責(zé)編" " 黃" " 露）