新高考背景下數學高考試題評析

摘要：隨著中國高等教育招生考試改革的不斷深入，新高考制度逐漸在全國范圍內推廣實施.文章以2024年新高考Ⅰ，Ⅱ卷為研究對象，旨在通過定性的研究方法，對新高考試題進行系統評析，發現新高考試題在題型設計、知識點覆蓋、核心素養及能力考查等方面均呈現出新的特點和趨勢.具體而言，試題更加注重考查學生的綜合運用能力和創新思維，減少了對死記硬背知識的依賴.同時，試題設計更加貼近實際，反映了當前社會發展的新要求.此外，新高考試題對數學核心素養的考查更全面，強化素養導向，選拔適合不同層次的創新型人才.

關鍵詞：新高考；思維；素養；創新

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0039-06

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：孫景然，碩士研究生，從事中學數學教學研究.

隨著中國教育改革的不斷深化，到2024年，新高考制度已在全國范圍內廣泛推廣并實施.這一變革旨在更好地適應社會發展的需求，培養具有創新精神和實踐能力的高素質人才.本文以2024年新高考Ⅰ，Ⅱ卷為研究對象，通過對數學高考試題的系統評析，探討新高考背景下數學試題的新特點和趨勢，并為教學提供相應的建議.

1問題提出

2019年《中國高考評價體系》正式發布，提出了一套包含“一核”、“四層”和“四翼”的綜合評價體系[1].該體系特別強調在“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”這四個層面的考查內容中，自然地融入核心素養的培養.從2020—2023年的新高考數學Ⅰ卷和Ⅱ卷的分析來看，新高考模式依舊強調對邏輯推理素養與數學運算素養的考查[2].同時，試題結構和題目設計趨向開放性，引入了多選題以及結合文化、科學等多種情境的題目，這些變化都有助于選拔具有創新潛質的學生.隨著2024年高考數學考試內容的持續深化改革，考試結構將進一步調整.基于此背景繼續對新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷試題進行分析，不僅為教育工作者提供了新高考命題趨勢的參考，也為未來的教學改革和課程設置提供了理論支持，助力建設教育強國.

2題目情境更多維，與數學知識更融合

2024年新高考全國Ⅰ，Ⅱ卷共考查了4道以生活與社會為情境的數學試題，不僅擴充了題目的情境范圍，而且題目情境更加貼近現實，與知識點的融合度也更高.

2.1基于生活情境

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第14題）甲乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人共進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各從自己持有的卡片中隨機抽選一張，并比較所選卡片上的數字大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則在四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為多少？

分析設置情境題目往往助力考查學生知識的遷移能力[3].本試題以日常生活中的卡片游戲為背景，旨在教育學生運用數學思維去探索和理解世界，它鼓勵學生在生活中積極發現問題并主動尋求解決方案.首先，考慮到四輪比賽中，甲乙兩人出牌的可能性共有A44×A44=576種情況；接下來的目標是計算甲的總得分小于2的概率.具體來說，甲得1分表示他在四輪比賽中贏了一輪而輸了三輪；甲得0分則意味著他在四輪比賽中全部失利.接下來，將分別計算這兩種情況的概率并將它們求和.最后，通過對立事件的概率公式，便可以得出甲得分大于或等于2的最終概率.

2.2基于社會情境

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第9題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x-=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（1.8，0.12），假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N（x-，s2），則（）.（若隨機變量Z服從正態分布N（μ，σ2），則P（Zlt;μ+σ）≈0.8413）

A.P（Xgt;2）gt;0.2B.P（Xgt;2）lt;0.5

C.P（Ygt;2）gt;0.5D.P（Ygt;2）lt;0.8

分析當今世界所需要的人才，并非那些對外界漠不關心的學者，而是那些不僅擁有專業知識，同時對社會有深刻理解和獨特見解的人.本題以農田畝收入為背景，考查了正態分布與概率理論的應用，體現了教育應以人為本，培養學生的綜合素養.在解決此題時，學生需要有效地利用概率公式P（Zlt;μ+σ）≈0.8413，這意味著掌握正態分布下的概率分布是解題的關鍵.題目旨在考查學生的數學建模素養和數據分析素養.

3以素養為導向，選拔創新型人才

3.1兼顧基礎性與創新性

新高考試卷注重基礎知識的考查[4]，新高考Ⅰ卷第1，2，3，4，5，7，12題體現出此種基礎性，著重考查了集合的運算、復數的性質、向量垂直的性質、三角函數性質、圓柱圓錐表面積體積公式、三角函數圖象、雙曲線離心率的定義及運算等高考評價體系中所強調的常用知識.以新高考Ⅰ卷第7，12題為例展開說明.

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第7題）當x∈［0，2π］時，曲線y=sinx與y=2sin（3x-π6）的交點個數為（）.

A.3B.4C.6D.8

分析如果學生直接嘗試通過聯立方程來解決這個問題，他們可能會誤入歧途.事實上，這個問題對應的圖象來源于人教版必修一教材的第237頁，如圖1所示.這也表明了高考對基礎知識的重視，即創新是建立在扎實基礎之上的.本題主要考查了直觀想象素養和邏輯推理素養.

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第12題）如圖2，設雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左右焦點分別為F1，F2，過點F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點，若|F1A|=13，|AB|=10，則C的離心率為.

分析由題知|F2A|=5，

2a=13-5=8，

2c=|F1F2|=12，

因此e=ca=32.

采用雙曲線的定義和性質來解答這個問題，可以有效避免煩瑣的坐標計算和聯立方程求解，從而顯著減少計算量，節省考試時間.這種方法主要考查了直觀想象素養、數學運算素養以及邏輯推理素養.

新高考卷注重基礎性的同時也注重創新性的考查.以新高考Ⅰ卷第8，19題，新高考Ⅱ卷第8，14題為例.

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第8題）已知函數f（x）的定義域為R，f（x）gt;f（x-1）+f（x-2），且當xlt;3時，f（x）=x，則下列結論一定正確的是（）.

A.f（10）gt;100B.f（20）gt;1 000

C.f（10）lt;1 000D.f（20）lt;10 000

分析根據題意f（3）gt;f（1）+f（2）.

所以f（3）gt;3.

若將x=10代入f（x）gt;f（x-1）+f（x-2），

則f（10）gt;f（9）+f（8）.

同理f（9）gt;f（8）+f（7），

f（8）gt;f（7）+f（6）

……

使用這種計算方法可能會給學生帶來較大的心理壓力.然而，如果秉承“多思考，少計算”的原則，就會發現這個問題實際上是對斐波那契數列的一種變形考查，這樣一來，解答起來就會變得簡單許多.

根據題意f（4）gt;f（3）+f（2）gt;5，

所以f（4）gt;5.

因為f（5）gt;f（4）+f（3），

所以f（5）gt;8.

因為f（6）gt;f（5）+f（4），

所以f（6）gt;13.

容易發現3，5，8，13構成了一組斐波那契數列.

那么f（15）gt;f（14）+f（13），所以f（15）gt;987.

由f（16）gt;f（15）+f（14），所以f（16）gt;1 000，自然f（20）gt;1 000.

此題著重考查學生的邏輯推理素養、數學抽象素養、數學運算素養.

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第19題）設m為正整數，且數列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai和aj（ilt;j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分數列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使數列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分數列.

（2）當m≥3時，證明：數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）—可分數列.

（3）從1，2，…，4m+2中任取兩個數i，j（ilt;j），記數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分數列的概率為Pm，證明Pmgt;18.

分析此題作為壓軸題，以等差數列為知識背景引入新定義“可分數列”，此題在情境、設問、解法上也別出心裁[5].這既促進了學生的思維活躍度，又使他們在思考的過程中深入理解數學方法，進而能夠自主地挑選出解題的思路.

（2024年新高考數學全國Ⅱ卷第8題）設函數f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（）.

A.18B.14C.12D.1

分析這個問題可以通過直接求導或分類討論定義域的方法來解決，但這些方法過程煩瑣.實際上，也可以通過分析函數的單調性和零點來直接得出答案.學生需要通過思考知道：如果兩個單調函數的乘積在其定義域內始終不小于0，那么這兩個函數必須有共同零點，即滿足a+b=1;之后可以利用函數的最值或不等式的性質來完成求解.這種創新的題目設計旨在考查學生真實的數學能力，而非僅僅依賴于刷題和技巧訓練.

（2024年新高考數學全國Ⅱ卷第14題）在下面圖3的4×4方格中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有多少種選法？在符合上述要求的選法中，選中方格的四個數之和的最大值是多少？

分析耐心讀懂題目后，學生會發現該題考查的是排列組合原理.不過此題突出考查學生的理性思維和探究能力，有一定靈活性.若要想每行每列均有一個方格被選中，從第一行開始考慮共有C14種可能，那么第二行只有3種可能，同理第三行、第四行的可能性為2和1種.因此，此題共有4×3×2×1=24種可能；第二問可通過窮舉法，最大值為15+21+33+43=112.該題有一定創新性，這導致一些固定的解題模式和模板變得不再適用，死記硬背的教學方法也無法滿足當前高考的新標準，提醒廣大教師在教學過程中要注重培養學生的思維能力.

3.2強化綜合性考查

本次試卷著重考查知識點的綜合性，考查學生可以用多個知識點或方法去解決一個綜合問題.以新高考Ⅰ卷第11題、新高考Ⅱ卷第6題為例進行說明.

（2024年新高考數學全國Ⅰ卷第11題）如圖4造型可以看作圖中曲線C的一部分，已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于-2，到點F（2，0）的距離與到定直線x=a（alt;0）的距離之積為4，則（）.

A.a=-2

B.點（22，0）在C上

C.C在第一象限的點的縱坐標最大值為1

D.當點（x0，y0）在C上時，y0≤4x0+2

分析此題為一種新型的幾何題目，其中引入了新定義.這類題目主要考查學生在短時間內對新定義的理解能力，以及他們能否迅速把握其本質特征.如果理解不到位，可能會導致解題方向錯誤，甚至完全偏離正確路徑.

在解答此題時，首要步驟是利用題目給出的等量關系，通過定義法求出軌跡方程

（x-2）2+y2×|x-a|=4.

因為經過（0，0），因此易求得a=-2.

B選項可將點（22，0）直接代入軌跡方程.

C選項通過化簡移項可得y2=（4x+2）2-（x-2）2.因此這個問題還涉及了函數最值的求解.為了找到最值，需要對函數進行求導，這一過程也考查了復合函數求導的技巧.通過分析，最終可以確定，無論何種情況，縱坐標的最大值必然大于1.

D選項將（x0，y0）代入即可判斷是正確的，考查了不等式的性質.

此題是一個多選題.它涵蓋了軌跡方程、函數最值、復合函數求導以及不等式等多個知識點，通過這種方式強化了對思維過程和思維能力的考查.在2024年新高考的試卷中，多選題的數量比之前減少了一個，但每個題目的分值提升到了6分，這種調整優化了多選題的考查方式，使考試更為精準地評估學生的能力.

此曲線并不是中學通常遇到的橢圓、雙曲線或拋物線之一，這可能導致一些學生在閱讀和分析題目時感到畏懼，覺得自己無法理解題目.然而，這種設計打破了依靠題海戰術和猜測題目的策略，同時測試了學生應對新問題和解決各種難度問題的能力，提高了試卷的鑒別力，有助于選拔具有創新能力的人才.

（2024年新高考數學全國Ⅱ卷第6題）設函數f（x）=a（x+1）2-1，g（x）=cosx+2ax（a為常數），當x∈（-1，1）時，曲線y=f（x）和y=g（x）恰有一個交點，則a=？

分析該題若直接解方程會很困難，不妨求出a與x的關系，求得a=1+cosx1+x2，經觀察等式的右側為偶函數，因此若只有1個解，該解只能是x=0，如圖5.代入即可得到a=2.

該題通過整合冪函數與余弦函數的性質，突出了對知識點和核心素養的全面考查.這種題目設計旨在引導學生深入理解并綜合應用知識點，重視對知識體系的整體性認知.

3.3強調“多想少算”，注重數學素養的考查

近年來，新高考題目的變遷體現了高考數學考核的轉變.國家越來越傾向于鼓勵學生進行深層次的思考，而非單純機械計算.這種趨勢標志著從知識素養的考查向數學核心素養的考查過渡.以新高考Ⅱ卷第19題為例，該題就明顯體現了這一變化.

（2024年新高考數學全國Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（mgt;0），點P1（5，4）在C上，k為常數，0lt;klt;1，按照如下方式依次構造點Pn（n=2，3…）：過點Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點Qn-1，令Pn為Qn-1關于y軸的對稱點，記Pn的坐標為（xn，yn）.

（1）若k=12，求x2，y2；

（2）證明：數列xn-yn是公比為1+k1-k的等比數列；

（3）設Sn為△PnPn+1Pn+2的面積，證明：對任意正整數n，Sn=Sn+1.

本題設計的三個問題環環相扣，技巧性極高，旨在深入考查學生的思維能力.在考試中，如果學生不先行深入思考而直接解題，可能會陷入復雜的運算求解中.然而，通過深思熟慮，例如在第二個問題上，可以采用參數方程的方法來快速求解；在第三個問題中，證明面積相等的過程實則可以轉化為證明兩條直線的平行性，這里運用了代換的數學思維.本試題體現了“多思考，少計算”的核心設計理念，旨在鼓勵中學教學更加注重培養學生的思維能力、探究能力以及問題解決能力等數學素養，而非單純機械刷題[6].

4教學啟示

4.1日常教學中重視思維訓練

鼓勵學生通過探索、分析和理解數學概念的本質來解決問題，而不是僅僅依賴于機械的計算或公式的應用.在實施這種教學方法時，教師可以采取以下策略.

在數學教學過程中，教師應通過生動有趣的教學方式吸引學生的注意力，如引入數學趣味問題或數學游戲.在教學中應強調問題解決的過程，提供多樣化的問題，并根據學生的不同思維水平和能力設置不同難度的問題，鼓勵學生深入思考和探索;適時引入數學建模，數學建模是數學應用于實際問題的重要環節，通過建模訓練，可以提升學生將抽象規律用數學語言表達出來的能力，并加以應用.

4.2深化基礎知識的教學，使學生形成完整知識體系

綜合新高考試卷可知，試題題目既有較為基礎的基礎性知識，比如新高考Ⅰ卷第7題，答案可以在書本上找到原圖.試卷題目也體現了很強的綜合性，如新高考Ⅱ卷壓軸題考查了圓錐曲線與數列的結合等.因此需通過以下方法促進學生形成完整知識體系.

教師可通過圖表、思維導圖等工具展示不同知識點之間的關系，幫助學生理解各部分之間的內在聯系;提供多樣化的教材和參考書目，使學生能從不同角度理解數學概念;按照從易到難的順序安排教學內容，確保學生能夠在掌握基礎后再逐步學習更復雜的內容，每個階段結束時進行總結，幫助學生回顧和鞏固已學的知識，形成知識網絡.

4.3以培養學生核心素養為教學目標培養創新型人才

在教學過程中鼓勵學生提出問題，并引導他們通過探索和研究來尋找答案;將數學知識與現實世界的實際應用相聯系，如經濟、科學、工程等領域的應用.讓學生在不同學科之間運用數學工具，增強綜合運用知識的能力;為學生提供個性化的學習路徑，讓他們根據自己的興趣和能力發展.

5結束語

在新高考背景下，對數學高考試題的評析意義重大.通過對2024年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的深入研究，我們明晰了試題的新特點與趨勢.這不僅是對過去的總結，更是為未來教學指明方向，我們要緊跟新特點和趨勢，不斷優化教學方法，讓學生在數學學習中，不僅掌握知識，更能提升數學思維能力和應用能力.

參考文獻：

［1］ 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 張曉東，王銘陽.新高考試題中的數學核心素養立意分析及啟示：以2020—2023年教育部考試院命制的8套數學試題為例[J].數學教育學報，2023，32（06）：52-59.

［3］ 李亞瓊，徐文彬，陳蒨，等.情境視角下高考數學試題分析及教學啟示：以2023年高考數學全國卷為例[J].數學教育學報，2023，32（06）：31-37.

［4］ 王浩.基于高考評價體系的試題分析：以2023年新高考數學全國Ⅰ卷為例[J].數學通報，2023，62（11）：42-45，62.

［5］ 尤娜，趙思林，唐川洪.素養立意創新賦能：2023年高考數學全國卷部分試題評析[J].數學通報，2024，63（01）：33-37.

［6］ 趙軒，翟嘉祺，郭淑媛.深化關鍵能力考查助力創新人才選拔：2023年高考數學新課標Ⅰ卷評析[J].數學通報，2023，62（08）：1-3，15.

［責任編輯：李慧嬌］