基于數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究

摘 要：?jiǎn)卧虒W(xué)從整體視角出發(fā)，整合優(yōu)化教材內(nèi)容，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，助力學(xué)生形成整體認(rèn)知，把握知識(shí)本質(zhì).隨著課程改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相融合的研究越來(lái)越多，其教育教學(xué)價(jià)值受到廣泛認(rèn)同.具有發(fā)展脈絡(luò)的數(shù)學(xué)史料不僅能將數(shù)學(xué)知識(shí)“串聯(lián)”成一個(gè)有機(jī)整體，更為其注入了文化內(nèi)涵.在“多邊形的面積”單元教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以使教學(xué)更具有連貫性、整體性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；單元教學(xué)；“多邊形的面積”

在歷史與教學(xué)相融合的模式中構(gòu)建的課堂模塊，注重將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，目的是利用其獨(dú)有的文化價(jià)值.教師在教學(xué)之前需認(rèn)真搜集資料，搜集完畢之后，也需細(xì)心挑選并加以整理，這樣才能使得數(shù)學(xué)史資料在教學(xué)中能更有效地發(fā)揮其教育價(jià)值.需要明確的是，鑒于當(dāng)前基礎(chǔ)教育教師的職業(yè)能力和工作情況，讓一位教師單獨(dú)搜集歷史資料的難度相當(dāng)高.因此，吸收并革新先前成效顯著的數(shù)學(xué)史教學(xué)案例是不可或缺的.本文旨在以“多邊形的面積”單元為例，梳理與“多邊形的面積”有關(guān)的史料，并提出多樣化的教學(xué)策略.

1 “多邊形的面積”相關(guān)史料梳理

1.1 有關(guān)面積的歷史

測(cè)量面積這一行為起源于人們?nèi)粘Ｉ钪械膶?shí)際需求，如對(duì)土地的測(cè)量以及對(duì)天體的觀察等活動(dòng)，它的應(yīng)用和發(fā)展歷程橫跨了整個(gè)數(shù)學(xué)史.從遠(yuǎn)古時(shí)代的幾何學(xué)研究，延伸至萊布尼茨和牛頓時(shí)代的微積分學(xué)說(shuō)的形成，乃至當(dāng)代復(fù)雜的測(cè)度理論，都與面積的計(jì)算緊密關(guān)聯(lián).人對(duì)空間尺寸的感知天生就有，而且會(huì)本能地比較不同面積的大小.兩個(gè)區(qū)域不僅在外觀輪廓上各異，還在面積上不同.這使人們漸漸形成了對(duì)“面積多少”的認(rèn)知.要描述平面區(qū)域的尺寸大小，就必須采用數(shù)值進(jìn)行量化.^［1］因此，在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，大家逐漸歸納并概括出計(jì)算面積的技能，并最終推導(dǎo)出了用于計(jì)算面積的數(shù)學(xué)公式.

中國(guó)古代對(duì)于圖案的平面區(qū)域測(cè)量源自對(duì)于土地規(guī)劃的實(shí)際操作，與征稅體系的構(gòu)建及計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)體系的發(fā)展有緊密的聯(lián)系.公元前594年，魯國(guó)實(shí)施了“初稅畝”制度，這說(shuō)明在春秋時(shí)期我國(guó)已掌握了土地面積測(cè)算方法.中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《九章算術(shù)》分為九個(gè)篇章，匯編了246個(gè)實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，資料翔實(shí)，充分體現(xiàn)了中國(guó)古代人民的聰明才智，對(duì)中國(guó)乃至全球數(shù)學(xué)史均具有深遠(yuǎn)的影響.其中，關(guān)于計(jì)算平面幾何形狀的開(kāi)篇章節(jié)為“方田”，該章節(jié)闡述了幾種特殊平面形態(tài)的土地面積測(cè)算方法.書(shū)籍里將這類(lèi)平面圖形命名為“某田”，相關(guān)的計(jì)算面積的方法則被叫作“某田術(shù)”.“方田”篇詳細(xì)闡述了包含長(zhǎng)方形（方田）、等腰三角形（圭田）、直角梯形（邪田）、一般梯形（箕田）以及圓形（圓田）在內(nèi)的各類(lèi)土地圖形的測(cè)量方法，并提供了若干多邊形以及部分圓弧形狀土地的面積算法.

中國(guó)古代，人們選用“畝”來(lái)衡量耕地的大小.一畝通常指的是一塊長(zhǎng)方形的土地，其測(cè)算面積的方式在《九章算術(shù)》一書(shū)中已有所闡明，即將土地的寬度以步量計(jì)算，再將所得數(shù)值相乘，得出土地的總面積.在此，“步”作為古代的長(zhǎng)度量度，古人通過(guò)給長(zhǎng)度單位加上“積”字來(lái)借代面積量度，將一畝定義為240積步，并把這種計(jì)量方法稱(chēng)作“畝制”.盡管“畝”作為一個(gè)度量單位在當(dāng)代依舊流通，但其定義的尺寸與古時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)已有所出入.

1.2 平行四邊形面積的相關(guān)史料

在古代的數(shù)學(xué)典籍中，并未具體闡明計(jì)算平行四邊形面積的公式或方法，僅涉及一些常規(guī)的四邊形求面積的方法.公元前2世紀(jì)左右，一份區(qū)域合同記載古埃及居民如何測(cè)算任意四邊形的面積，通過(guò)變量 a、b、c、d 代表相對(duì)邊長(zhǎng)，采用公式（a＋b）（c＋d）/4進(jìn)行計(jì)算.在我國(guó)北周時(shí)代，數(shù)學(xué)家甄鸞編著的數(shù)學(xué)著作《五曹算經(jīng)》的首卷“田曹”中則以“加二鄰邊之和，取其半，乘余下兩邊之半和”作為計(jì)算任意四邊形面積的方法，如果用現(xiàn)代代數(shù)表示，可寫(xiě)作S=a＋b/2×c＋d/2.這一做法與古埃及人測(cè)算同類(lèi)圖形面積的手段有異曲同工之妙.目前看來(lái)，這兩套算法都存在明顯不足之處，然而應(yīng)用它們來(lái)測(cè)算長(zhǎng)方形的面積卻能得到準(zhǔn)確結(jié)果.很明顯，古人在長(zhǎng)方形面積算法的影響下，認(rèn)為只需將對(duì)側(cè)之和取平均，類(lèi)似于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，接著將這兩個(gè)平均值相乘即可計(jì)算出面積.

盡管?chē)?guó)內(nèi)外的古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中并未直接記述平行四邊形的面積計(jì)算公式，然而在古希臘的數(shù)學(xué)經(jīng)典《幾何原本》里通過(guò)利用平行四邊形的性質(zhì)，已經(jīng)對(duì)平行四邊形的面積比較作出了論證.^［2］具體來(lái)說(shuō)，在第一卷指出了“位于同一底邊上且界于同一對(duì)平行線之間的平行四邊形，它們的面積是相等的”.值得一提的是，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也配備了涉及此命題的相關(guān)練習(xí).

1.3 梯形面積的相關(guān)史料

中國(guó)古代將呈等腰梯形狀的農(nóng)田命名為“箕田”，形如直角梯形的田地則被稱(chēng)為“邪田”.《九章算術(shù)》一書(shū)中的“方田”一節(jié)闡述了兩類(lèi)梯形面積求解的規(guī)則.箕田術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正縱.邪田術(shù)曰：若將雙廣之地展如延長(zhǎng)，再取其中半分，用以與正方形之面積相乘.復(fù)又能以半正律之廣，乘之以并，折為畝之制以求其一.

在等腰梯形中，上邊界稱(chēng)為“踵廣”，下邊界則稱(chēng)為“舌廣”，其垂直距離稱(chēng)為“正從”；對(duì)于直角梯形來(lái)說(shuō)，“廣”指的是其底邊，其中上底邊稱(chēng)為“小廣”，下底邊稱(chēng)為“大廣”（如圖1）.先前的學(xué)者持有這樣的看法，對(duì)于求解等腰梯形的面積，取其上下兩底之和并對(duì)其二等分，然后與其高度相乘即可得出結(jié)果.關(guān)于求解直角梯形的面積，文獻(xiàn)中介紹了以下兩個(gè)計(jì)算方式：其一與前文相同；其二則是先將其高度除以2，隨后乘底邊長(zhǎng)度之和.顯然，盡管運(yùn)算手段各異，它們與現(xiàn)代梯形面積計(jì)算公式在本質(zhì)上是相同的，僅在求解步驟上略有差異.設(shè)a與b各自代指梯形的頂?shù)缀偷走厡挾龋琱代表梯形的垂直距離，其面積計(jì)算公式為S=?（a＋b）h.

1.4 出入相補(bǔ)原理

諸如三角形和梯形等二維輪廓可以被細(xì)分，并且將這些切割出來(lái)的片段轉(zhuǎn)移到別處，組合成一個(gè)長(zhǎng)方形.這類(lèi)通過(guò)“剪裁加補(bǔ)”的手法所映射出的，乃是“流入流出互補(bǔ)理念”.古人是依據(jù)這一理念計(jì)算了多邊形的面積.

“出入相補(bǔ)”（“以盈補(bǔ)虛”）原理，是中國(guó)歷史數(shù)學(xué)幾何學(xué)領(lǐng)域的根本法則之一，彰顯了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，最早由魏晉年間數(shù)學(xué)家劉徽確立并提出，其主要應(yīng)用于計(jì)算平面圖形的面積問(wèn)題.劉徽不光闡述了“勾股法”，還利用了“盈虧相抵”的原理來(lái)驗(yàn)證了勾股定理.

《九章算術(shù)注》中的“勾股”一節(jié)提及“出入相輔”.其中，“出”指對(duì)圖形進(jìn)行切割，使其面積縮小，“入”指對(duì)圖形進(jìn)行填充，令其面積擴(kuò)大.通過(guò)出與入的相互作用，將圖形切割部分填補(bǔ)至圖形其余部分，從而保持總體面積的不變性.

劉徽借助“方田術(shù)”，在其著作《九章算術(shù)注》里，通過(guò)運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理，對(duì)數(shù)個(gè)平面圖形的面積計(jì)算法則進(jìn)行了推導(dǎo)證明.以“圭田法”為例，其中載述“半廣以乘正從”，對(duì)此劉徽作注解“所謂半廣，即用填滿之法來(lái)補(bǔ)足不足之地，以此求得方田.也可以偏依正途以享寬廣”.顯而易見(jiàn)，劉徽提出的這個(gè)原則闡明了兩種“三角形割補(bǔ)”的技巧.一種策略是，在求取三角形的面積過(guò)程中，能夠?qū)⒌走呄鳒p為原長(zhǎng)的一半，并采用增減填補(bǔ)的手法，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)換成一個(gè)底為三角形“半邊寬”的長(zhǎng)方形，高則與三角形的高相同；另一策略是將三角形的高一分為二，依照類(lèi)似的增減填補(bǔ)原則，組合出一個(gè)底等于三角形“全寬”的長(zhǎng)方形，其高為三角形高度的一半（如圖2）.應(yīng)當(dāng)明確，盡管“圭田”常常特指呈等腰三角形輪廓的耕地，但這并非表示“以盈補(bǔ)虛”的原則沒(méi)有普遍適用性，在實(shí)踐中它依然能夠按照三角形的中線進(jìn)行劃分與旋轉(zhuǎn)，使之改變?yōu)槠叫兴倪呅?

在闡述“異形田法”里所說(shuō)的（直角）梯形的計(jì)算公式時(shí)，劉徽在注釋中寫(xiě)道“將兩邊合起來(lái)再取其半”，是為了用多的部分填補(bǔ)不足之處.在求解（直角）梯形的面積過(guò)程中，可以將其上下兩邊相加之和作為長(zhǎng)方形的一邊，從而將梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形計(jì)算.關(guān)于“箕田”（等腰梯形）的面積算法，劉徽持有如下看法：中分箕田則為兩分田，故其術(shù)相似.又可并踵舌，半正踵以乘之.換言之，等腰梯形的面積求解過(guò)程與直角梯形類(lèi)似，其證明過(guò)程如圖3所示.

2 “多邊形的面積”教學(xué)設(shè)計(jì)

經(jīng)過(guò)仔細(xì)整理與審視前述的數(shù)學(xué)歷史資料可以領(lǐng)悟到，平面圖形的面積量度跟人類(lèi)生產(chǎn)緊緊相關(guān)，因?yàn)槊娣e的概念是在實(shí)際需求下孕育出來(lái)的.關(guān)于“多邊形的面積”這一主題的數(shù)學(xué)歷史記錄相當(dāng)翔實(shí)，并且其發(fā)展軌跡也相當(dāng)明了.

在教學(xué)時(shí)，教師可將古人算土地尺幅的歷史事件作為課堂導(dǎo)入的背景，指引學(xué)生穿越時(shí)空，體驗(yàn)測(cè)量土地所映照出的實(shí)際需求，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.此課程模塊旨在研究平行四邊形、三角形和梯形的面積求解定理，故而，古代總結(jié)的與求面積方式有關(guān)的歷史資料也應(yīng)予以保存.在研究特定圖形求面積的規(guī)則時(shí)，教師可以展示古籍中記錄的算法，接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討并闡述各自的見(jiàn)解.鑒于部分計(jì)算技能準(zhǔn)確無(wú)誤，另一些則存有謬誤，故在介紹這類(lèi)歷史資料時(shí)，需精心選擇時(shí)機(jī)，以免干涉學(xué)生對(duì)計(jì)算方式的記憶和領(lǐng)悟.

全面審視“多邊形的面積”單元可以看到，學(xué)生在推演平行四邊形、三角形以及梯形面積公式的實(shí)際操作中，不斷深入領(lǐng)會(huì)了“轉(zhuǎn)化”這一思維方法的精髓.學(xué)生應(yīng)用“割補(bǔ)策略”將平行四邊形改造為長(zhǎng)方形，梯形變作長(zhǎng)方形或改組成其他形狀，并利用“倍拼法”把三角形轉(zhuǎn)換為平行四邊形.^［3］“割補(bǔ)法”所依據(jù)的是“出入相補(bǔ)”原理展現(xiàn)的理念，該理念內(nèi)涵了“轉(zhuǎn)化”觀念.該觀點(diǎn)不僅對(duì)本課程單元的教學(xué)極為關(guān)鍵，亦對(duì)學(xué)生掌握不規(guī)則形狀、圓形乃至三維形態(tài)的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用.于是，根據(jù)“出入相補(bǔ)”這一理念以及對(duì)古代數(shù)學(xué)家劉徽的相關(guān)資料的研究，教師應(yīng)當(dāng)精心挑選相關(guān)素材.實(shí)際上，大部分教師在教學(xué)過(guò)程中確實(shí)會(huì)涉及該素材，遺憾的是，多數(shù)情況下他們僅進(jìn)行簡(jiǎn)略地闡述關(guān)于“出入相補(bǔ)”原理，以數(shù)學(xué)史事跡作為教學(xué)的裝飾、點(diǎn)綴，這樣的做法主要是為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到我國(guó)數(shù)學(xué)史的輝煌成就，增強(qiáng)學(xué)生的民族自尊心，喚起文化自信心.然而，他們忽略了引導(dǎo)學(xué)生深入理解和感受民族數(shù)學(xué)文化所蘊(yùn)含的深刻現(xiàn)實(shí)意義與獨(dú)特魅力，因此“出入相補(bǔ)”理念的思想內(nèi)涵并未被充分及有效發(fā)掘.在策劃教學(xué)方案的過(guò)程中，教師不應(yīng)僅局限于表面的知識(shí)拓展，而應(yīng)深入思考將劉徽的“出入相補(bǔ)”原理及《九章算術(shù)注》中的精華理念巧妙地嵌入課堂教學(xué)的氛圍里，讓其貫穿教學(xué)素材之中.在充實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)的同時(shí)，使他們親歷古代數(shù)學(xué)家的求索旅程，領(lǐng)悟“對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律”的思考方式，激發(fā)學(xué)生追尋新知識(shí)的熱情.

3 結(jié)語(yǔ)

本文闡述的基于數(shù)學(xué)史理論架構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施方法，旨在為未來(lái)學(xué)術(shù)探索提供思路，也希望開(kāi)發(fā)的教學(xué)案例能為教師的課堂教學(xué)提供借鑒.伴隨著眾多學(xué)術(shù)研究人員、數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)人士及數(shù)學(xué)教師的熱心參與和深入探究，基于數(shù)學(xué)史模式的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)單元設(shè)計(jì)將持續(xù)獲得改善與提升，從而促進(jìn)教育教學(xué)質(zhì)量的顯著提高.

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