基于粗糙近似的區(qū)間值模糊形式背景屬性約簡(jiǎn)

摘要 將粗造集技術(shù)融入形式概念分析是數(shù)據(jù)分析和信息處理的一種重要方法，其對(duì)數(shù)據(jù)知識(shí)發(fā)現(xiàn)具有重要意義。在區(qū)間值模糊形式背景中定義兩種粗糙近似算子，從而導(dǎo)出一種新型單邊概念格，即經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格，主要研究新型概念格的屬性約簡(jiǎn)。給出區(qū)間值模糊形式背景屬性約簡(jiǎn)和差別矩陣的定義，研究協(xié)調(diào)屬性集判定和約簡(jiǎn)計(jì)算方法。給出協(xié)調(diào)屬性集判定定理和基于差別矩陣的約簡(jiǎn)計(jì)算方法。新概念模型可為區(qū)間值模糊形式背景中的知識(shí)發(fā)現(xiàn)提供新方法，給出的約簡(jiǎn)方法有利于開(kāi)發(fā)高效的屬性約簡(jiǎn)算法。

關(guān)鍵詞 區(qū)間值模糊形式背景；經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格；屬性約簡(jiǎn)；區(qū)間值模糊集

中圖分類號(hào)：TP18" DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2025-02-010

Attribute reduction of interval-valued fuzzy formal contexts based on rough approximations

LI Tongjun， MENG Qifeng， WU Weizhi

（College of Information Engineering， Zhejiang Ocean University， Zhoushan 316022， China）

Abstract The integration of rough sets into formal concept analysis is an important method for data analysis and information processing， which is of great significance for data knowledge discovery. Two rough approximation operators are defined in an interval-valued fuzzy formal context， and a new type of one-side concept lattice， namely， crisp-interval-valued fuzzy concept lattice， is derived， and its attribute reduction is meanly studied. According to the definition of attribute reduction of interval-valued fuzzy formal context， the judgement of consistent attribute sets is considered， and by using the techniques of discernibility matrix of rough sets， the calculation method of reducts is explored. The new concept model can provide new approaches for the knowledge discovery of interval-valued fuzzy formal contexts， and the obtained reduction method is beneficial to develop efficient attribute reduction algorithms.

Keywords interval-valued fuzzy formal context; crisp-interval-valued fuzzy concept lattice; attribute reduction; interval-valued fuzzy sets

概念格理論是建立在形式背景之上的一種數(shù)據(jù)分析和知識(shí)發(fā)現(xiàn)的重要工具^［1］，在許多領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用，如知識(shí)工程、信息檢索等。

形式背景建立起對(duì)象集和屬性集之間的一個(gè)二元關(guān)系，然而許多實(shí)際問(wèn)題中對(duì)象和屬性間的關(guān)系是模糊關(guān)系，因此，基于模糊形式背景的概念分析應(yīng)運(yùn)而生。Burusco和Fuentes-Gonzalez于1994年首次在模糊形式背景中提出了L-模糊概念格的概念^［2］。

區(qū)間值模糊形式背景是模糊形式背景的一種推廣，有著廣闊的應(yīng)用前景。關(guān)于區(qū)間值模糊形式背景的概念分析和知識(shí)約簡(jiǎn)研究已經(jīng)取得了一些成果^［3-4］。與區(qū)間值模糊形式背景概念分析密切相關(guān)的是區(qū)間值形式背景上的研究工作。結(jié)合張文修等提出的屬性約簡(jiǎn)方法^［5］，吳克生首次在區(qū)間值形式背景中定義了概念格^［6］，楊建峰等借助差別矩陣研究了區(qū)間值概念格的約簡(jiǎn)^［7］。文獻(xiàn)［8-9］對(duì)區(qū)間值決策形式背景的約簡(jiǎn)問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［6-9］涉及的概念又稱為單邊概念，單邊概念首先由Krajic 和 Yahia 等獨(dú)立地提出^［10-11］。

將粗糙集方法應(yīng)用于形式概念分析研究是一種重要方法。Duntsch等和Yao首先利用粗糙近似算子定義了形式概念，給出了面向?qū)傩愿拍罡窈兔嫦驅(qū)ο蟾拍罡?sup>［^12-13］。Li等將文獻(xiàn)［13］的方法用于模糊形式背景的概念研究，定義了一種單邊概念，即經(jīng)典-模糊概念^［14］。

本文首次將粗糙近似運(yùn)算用于區(qū)間值模糊形式背景中單邊概念問(wèn)題研究，定義區(qū)間值模糊形式背景中一種新型的單邊概念格，即經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格，研究概念格屬性約簡(jiǎn)，給出基于差別矩陣的約簡(jiǎn)方法。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 廣義粗糙近似算子和概念格

廣義近似空間是一個(gè)三元組（U，V，R），其中U和V是兩個(gè)非空、有限的論域，R是U到V的一個(gè)二元關(guān)系，即RU×V。 AV在（U，V，R）中的下近似R （A）和上近似R（A）分別定義為^［15］

R （A）={x∈U｜Rs（x）A}，

R（A）={x∈U｜Rs（x）∩A≠}。

其中，Rs（x）是x∈U在R下的后繼鄰域，即Rs（x）={y∈V｜（x，y）∈R}。分別稱R和R為廣義上、下近似算子。

廣義近似算子R 和R滿足下列性質(zhì)：

1） R（V）=U，R（）=;

2） A1A2，R（A1）R（A2），R（A1）R（A2）;

3） R（A1∩A2）=R（A1）∩R（A2），

R（A1∪A2）=R（A1）∪R（A2）；

4） R（A1∪A2）R（A1）∪R（A2），

R（A1∩A2）R（A1）∩R（A2）。

形式背景是一個(gè)三元組（G，M，I），G和M是非空、有限的集合，分別稱為對(duì)象集和屬性集，I是G到M的二元關(guān)系。用I^-1表示I的逆，即

I^-1={（a，x）∈M×G｜（x，a）∈I}。

對(duì)于XG，BM，記I（B）、I（B）、I^-1（X）、I^-1（X）分別為B□、B◇、X□、X◇。

若X□＝B，B◇=X，則稱（X，B）是一個(gè)面向?qū)ο蟾拍睿蝗鬤◇=B，B□=X，則稱（X，B）是一個(gè)面向?qū)傩愿拍?sup>［^13］。

形式背景（G，M，I）的全體面向?qū)ο蟾拍畹募虾腿w面向?qū)傩愿拍畹募显谝粋€(gè)共同的偏序下形成完備格，故分別稱為面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡瘢渲衅驗(yàn)?/p>

（X1，B1）≤（X2，B2）X1X2。

1.2 區(qū)間值模糊集

區(qū)間［0，1］中的閉區(qū)間［a，b］又稱為區(qū)間數(shù)，若a＜b ，則［a，b］就是普通區(qū)間；若a=b，則［a，b］退化為實(shí)數(shù)a。全體區(qū)間數(shù)的集合記為D［0，1］，其上的一個(gè)偏序定義為^［16］

D1=［a1，b1］，D2=［a2，b2］∈D［0，1］，

D1≤D2a1≤a2，b1≤b2。

關(guān)于上面的偏序， D［0，1］中任意兩個(gè)區(qū)間數(shù)D1＝［a1，b1］和D2=［a2，b2］都有下確界D1∧D2和上確界D1∨D2，分別是

D1∧D2＝［min{a1，a2}，min{b1，b2}］，

D1∨D2＝［max{a1，a2}，max{b1，b2}］。

因此，（D［0，1］，≤）是一個(gè)完備格，它的最小元和最大元分別是［0，0］和［1，1］。

設(shè)G是一個(gè)非空、有限的論域，G上的區(qū)間值模糊集F是G到D［0，1］的一個(gè)映射^［16］，即

F：G→D［0，1］。

對(duì)于任何x∈G， F（x）記為［F（x），F(xiàn)（x）］。顯然，F(xiàn)和F是兩個(gè)G上的經(jīng)典模糊集，滿足FF。若對(duì)于任意x∈G，都有F（x）=F（x），則區(qū)間值模糊集F就退化為一個(gè)經(jīng)典模糊集，因此，區(qū)間值模糊集是經(jīng)典模糊集的一種推廣。

記G上的全部區(qū)間值模糊集組成的集合為IVFS（G）。對(duì)于E，F(xiàn)∈IVFS（G），E和F的交E∩F和并E∪F分別定義為

（E∩F）（x）=E（x）∧F（x），x∈G，

（E∪F）（x）=E（x）∨F（x），x∈G。

因此，EFE（x）≤F（x），x∈G。

2 經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格

定義1^［17］ 區(qū)間值模糊形式背景是一個(gè)三元組（G，M，I），其中G是非空、有限的對(duì)象集，M是非空、有限的屬性集，I是G到M的一個(gè)區(qū)間值模糊二元關(guān)系，即I：G×M→D［0，1］。

當(dāng)區(qū)間值模糊關(guān)系I退化為經(jīng)典模糊關(guān)系[AKI～]時(shí)，區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I）就退化為一個(gè)經(jīng)典模糊形式背景（G，M，[AKI～]）。

對(duì)于x∈G，a∈M，xI∈IVFS（M），Ia∈IVFS（G），滿足

（xI）（a）=I（x，a），a∈M；

（Ia）（x）=I（x，a），x∈G。

其中：xI表示對(duì)象x所具有的區(qū)間值模糊屬性集；Ia表示具有屬性a的區(qū)間值模糊對(duì)象集。

定義2 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，XG，B∈IVFS（M），令

f（X）=∪[DD（X]x∈X[DD）]xI[JY]（1）

h（B） ={x∈G｜xIB }[JY]（2）

可以看出， f是P（G）到IVFS（M）的映射，h是IVFS（M）到P（G）的映射。這里，P（G）表示G的所有子集的集合。 f（X）表示對(duì)象集X所具有的區(qū)間值模糊屬性集，h（B）表示區(qū)間值屬性集包含于B的對(duì)象組成的集合。

當(dāng)區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I）退化為一個(gè)經(jīng)典模糊形式背景（G，M，I～）時(shí)，定義2中f（X）和h（B）就退化為文獻(xiàn)［18］中的X和B～□，即

X=∪[DD（X]x∈X[DD）]xI～，

B～□={x∈G｜xI～B～}。

對(duì)于B∈IVFS（M），記M=｛a1，a2，…，am｝，則B表示為

（a^{B （a1）}1，a^B（a2）2，…，a^B（am）m）。

定理1 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，X，X1，X2G， B，B1，B2∈IVFS（M）。

1） X1X2f（X1）f（X2），

B1B2h（B1）h（B2）;

2） f（X1∪X2）=f（X1）∪f(wàn)（X2），

h（B1∩B2）=h（B1）∩h（B2）;

3） Xhf（X）， fh（B）B;

4） fhf（X）=f（X），hfh（B）=h（B）。

證明 1） 由于X1X2，所以∪[DD（X]x∈X1[DD）]xI∪[DD（X]x∈X2[DD）]xI，故由式（1）得f（X1）f（X2）。

因?yàn)锽1B2，所以對(duì)于任意x∈G，xIB1，蘊(yùn)含xIB2，再由式（2）得h（B1）h（B2）。

2） 由定義2得

f（X1∪X2）=∪[DD（X]x∈X1∪X2[DD）]xI=

（∪[DD（X]x∈X1[DD）]xI）∪（∪[DD（X]x∈X2[DD）]xI）=

f（X1）∪f(wàn)（X2），

h（B1∩B2）={x∈X｜xIB1∩B2｝=

｛x∈X|xIB1，xIB2｝=

｛x∈X|xIB1｝∩{x∈X｜xIB2}=

h（B1）∩h（B2）。

3）對(duì)于任意XG，由式（1）和式（2），有hf（X）=｛x∈G|xIf（X）}。對(duì)于任意x∈X，顯然xI∪[DD（X]x∈X[DD）]xI=f（X），故x∈hf（X）。因此，Xhf（X）。

B∈IVFS（M），由式（1）得fh（B）=∪[DD（X]x∈h（B）[DD）]xI。對(duì)于x∈G，x∈h（B）xIB，故fh（B）B。

4）由條件3）可知Xhf（X），再由條件1）得f（X）fhf（X）。由條件3）得fh（B）B，B∈IVFS（M），用f（X）代替B得fhf（X）f（X）。故fhf（X）=f（X）。

同理可證hfh（B）=h（B）。

可以看到，定義2中的算子f和h與文獻(xiàn)［18］中的算子和□滿足基本相同的性質(zhì)。

定義3 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，XG，B∈IVFS（M），若f（X）=B，h（B）=X，則稱（X，B）為（G，M，I）中一個(gè)經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念，簡(jiǎn)稱概念，分別稱X和B為概念（X，B）的外延和內(nèi)涵。

區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I）的全部概念的集合記為L(zhǎng)（G，M，I）或L（I），所有（G，M，I）中概念的外延組成的集合記為Ext（G，M，I）或Ext（I）。

由定理1和定義3易證，對(duì)于任意XG，（hf（X），f（X））∈L（I）;對(duì)于任意B∈IVFS（M），（h（B），fh（B））∈L（I）。于是有

Ext（I）={hf（X）｜XG}=

｛h（B）|B∈IVFS（M）}" [JY]（3）

在L（I）中定義偏序關(guān)系為

（X1，B1）≤（X2，B2）X1X2，

則有以下定理2。

定理2 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于任意（X1，B1），（X2，B2）∈L（I），它們的上確界和下確界都存在，且有

（X1，B1）∨（X2，B2）＝

（hf（X1∪X2）， B1∪B2），

（X1，B1）∧（X2，B2）＝

（X1∩X2， fh（B1∩B2））。

證明 只證明第一個(gè)等式，第二個(gè)等式可類似證明。

首先，證明（hf（X1∪X2），B1∪B2）是一個(gè)概念。

由（X1，B1），（X2，B2）∈L（I），可知f（X1）=B1， f（X2）=B2。結(jié)合定理1，有

fhf（X1∪X2）=f（X1∪X2）=

f（X1）∪f(wàn)（X2）=B1∪B2，

即fhf（X1∪X2）=B1∪B2;又有

h（B1∪B2）=h（f（X1）∪f(wàn)（X2））=

h（f（X1∪X2））=hf（X1∪X2），

即h（B1∪B2）=hf（X1∪X2）。

因此，（hf（X1∪X2），B1∪B2）是一個(gè)概念。

其次，由于X1，X2X1∪X2hf（X1∪X2），所以（hf（X1∪X2），B1∪B2）是（X1，B1）和（X2，B2）的一個(gè)上界。

最后，對(duì)于任意（X，B）∈L（I），若（X1，B1）≤（X，B），（X2，B2）≤（X，B），則X1X，X2X，故X1∪X2X。因此，f（X1∪X2）f（X），于是hf（X1∪X2）hf（X）。由于hf（X）=X，所以Xhf（X1∪X2），因此，（hf（X1∪X2），B1∪B2）≤（X，B）。

綜上可知，（hf（X1∪X2），B1∪B2）是（X1，B1）和（X2，B2）的上確界。證畢。

定理2說(shuō)明，（L（），≤）是一個(gè)完備格，故稱其為經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格，簡(jiǎn)稱概念格。

例1 表1為一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I），其中，

G=｛x1，x2，x3，x4｝，M=｛a，b，c，d，e｝，

區(qū)間值模糊關(guān)系I如表1所示，表2為L(zhǎng)（G，M，I）的所有概念，圖1為概念格L（G，M，I）。

3 區(qū)間值模糊形式背景屬性約簡(jiǎn)

定義4 設(shè)L（G，M1，I1）和L（G，M2，I2）是兩個(gè)經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格（簡(jiǎn)記為L(zhǎng)（I1），L（I2）），若對(duì)于任何（X，B）∈L（I2），都存在（Y，C）∈L（I1），使得X=Y，則稱L（I1）細(xì)于L（I2），記為L(zhǎng)（I1）≤L（I2）。若L（I1）≤L（I2），L（I2）≤L（I1），則稱L（I1）與L（I2）同構(gòu)，記為L(zhǎng)（I1）L（I2）。

顯然，L（I1）≤L（I2）等價(jià)于Ext（I2）Ext（I1）。因而，L（I1）L（I2）等價(jià)于Ext（I1）=Ext（I2）。

定義5 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景， 對(duì)于非空集合NM， 稱（G， N， IN）是（G，M，I）的一個(gè)子背景， 其中， IN是I在G×N上的限制， 也就是IN是G×N上的區(qū)間值模糊集， 滿足

IN（x，a）=I（x，a），x∈G，a∈N。

在子背景（G，N，IN）中， 將定義2中算子對(duì)應(yīng)地記為fN和hN，這樣定義2中的f和h也可寫成fM和hM。特別地，當(dāng)N只有一個(gè)屬性a時(shí)，fN和hN也簡(jiǎn)記為fa和ha。

不難發(fā)現(xiàn)，XG，≠NM， fN（X）=f（X）|N，這里f（X）|N表示f（X）在N上的限制。

定理3 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合NM，有L（G，M，I）≤L（G，N，IN）。

證明 只需證明，對(duì)于任何X∈Ext（IN），有X∈Ext（I），即證hf（X）=X。

由定理1可知Xhf（X）。相反，x∈hf（X），有xIf（x），兩邊取在N上的限制，得xINf（X）|N=fN（X），即x∈hNfN（X），故hf（X）hNfN（X）。由（X，B）∈L（IN）可知，hNfN（X）=X，于是有hf（X）X。

最后，結(jié)合Xhf（X）和hf（X）X得到hf（X）=X。證畢。

命題1 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合C1，C2M，XG，有

hC1∪C2 fC1∪C2（X）=hC1 fC1（X）∩hC2 fC2（X）。

證明 對(duì)于任意x∈G，有

x∈hC1∪C2 fC1∪C2（X） xIC1∪C2fC1∪C2（X）

xIC1∪xIC2fC1（X）∪f(wàn)C1（X）

xIC1fC1（X），xIC2fC2（X）

x∈hC1 fC1（X），x∈hC2 fC2（X）

x∈hC1 fC1（X）∩hC2 fC2（X），

即hC1∪C2 fC1∪C2（X）=hC1 fC1（X）∩hC2 fC2（X）。

由命題1可直接得到推論1。

推論1 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合C1，C2M，若C1C2，則XG，hC2 fC2（X）hC1 fC1（X）。

定義6 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合NM，若L（G，N，IN）L（G，M，I），則稱N是（G，M，I）的一個(gè)協(xié)調(diào)集。若進(jìn)一步，對(duì)于任何a∈N，都有L（G，N-｛a｝，IN-｛a｝）不同構(gòu)于L（G，M，I），則稱N是（G，M，I）的一個(gè)約簡(jiǎn)。

定義6說(shuō)明，約簡(jiǎn)是其概念格與原形式背景的概念格同構(gòu)的最小屬性子集。

定理4 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合NM，則N是一個(gè)協(xié)調(diào)集，當(dāng)且僅當(dāng)XG，hN fN（X）hf（X）。

證明 （必要性）設(shè)N是一個(gè)協(xié)調(diào)集，易知Ext（IN）＝Ext（I）。XG，由式（3）得hf（X）∈Ext（I），所以hf（X）∈Ext（IN）， 故hN fN（hf（X））=hf（X）。由定理1得Xhf（X），依據(jù)定理1條件1）知道，fN和hN具有單調(diào)性，故得fN（X）fN（hf（X）），進(jìn)而得hN fN（X）hN fN（hf（X））。再根據(jù)hf（X）hN fN（hf（X）），得到hN fN（X）hf（X）。

（充分性） 設(shè)XG，hN fN（X）hf（X）。由推論1知道hf（X）hNfN（X）， 故結(jié)合假設(shè)得hN fN（X）=hf（X）。最后根據(jù)式（3）可知，Ext（IN）=Ext（I），即N為一個(gè)協(xié)調(diào)集。證畢。

定理5 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合NM，則N為一個(gè)協(xié)調(diào)集，當(dāng)且僅當(dāng)m∈M-N，非空集合PN，使得XG，hPfP（X）hmfm（X）。

證明 （必要性）設(shè)N為一個(gè)協(xié)調(diào)集，則由定理4得hN fN（X）hf（X），XG。取P=N，再由推論1得hPfP（X）=hNfN（X）hf（X）hm fm（X），即hPfP（X）hm fm（X），m∈M-N。

（充分性） 若對(duì)于任意m∈M-N，存在非空集合PN，使得hPfP（X）hm fm（X），XG，則由推論1得hN fN（X）hP fP（X）hm fm（X）。再由m的任意性及命題1得hN fN（X）hM-N fM-N（X）。由命題1得hf（X）=hN fN（X）∩hM-N fM-N（X），故hf（X）=hN fN（X）。由式（3）得到Ext（IN）=Ext（I），即證得N為一個(gè)協(xié)調(diào)集。

證畢。

顯然，區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I）一定有約簡(jiǎn)，也可能有多個(gè)約簡(jiǎn)，屬于每個(gè)約簡(jiǎn)的屬性非常重要，稱這樣的屬性為核心屬性。

4 屬性約簡(jiǎn)方法

定義7 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，（X1，B1），（X2，B2）∈L（I），令

DIS（（X1，B1），（X2，B2））=

[JB（｛]｛m∈M|B1（m）≠B2（m）}，

X1X2或X2X1；

，否則。[JB）]

稱DIS（（X1，B1），（X2，B2））為（X1，B1）與（X2，B2）差別屬性集。稱

DM（I）=（DIS（（X1，B1），（X2，B2））｜

（X1，B1），（X2，B2）∈L（I））

是（G，M，I）的區(qū)間值模糊差別矩陣，簡(jiǎn)稱差別矩陣。

例2 對(duì)于例1中區(qū)間值模糊形式背景（G，M，I），根據(jù)定義7計(jì)算出它的所有差別屬性集，表3為其差別矩陣。

在表3所示的差別矩陣中，非空差別屬性集的表示省略了括號(hào)和屬性間的分隔符，如abc表示屬性集{a，b，c}。由于差別矩陣具有對(duì)稱性，表3中僅保留主對(duì)角線及其上方元素，下三角部分已省略。

定理6 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，對(duì)于非空集合NM，則N為一個(gè)協(xié)調(diào)集，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意非空DIS（（X1，B1），（X2，B2）），有

N∩DIS（（X1，B1），（X2，B2））≠。

證明 （必要性）設(shè)N為一個(gè)協(xié)調(diào)集， 對(duì)于任意DIS（（X1， B1）， （X2， B2））≠， 顯然hN fN（Xi）=Xi，i=1，2，且hN fN（X1）≠hN fN（X2），故fN（X1）≠fN（X2）。因此存在m∈N，使得（fN（X1））（m）≠（fN（X2））（m），由定義7可知

m∈DIS（（X1，B1），（X2，B2）），

故N∩DIS（（X1，B1），（X2，B2））≠。

（充分性） 假設(shè)對(duì)于DIS（（X1，B1），（X2，B2））≠，都有N∩DIS（（X1，B1），（X2，B2））≠。 要證明N為協(xié)調(diào)集， 由定理3知道只需證明hN fN（X）hf（X），XG。設(shè)存在XG，使得hN fN（X）hf（X），即一定有hf（X）hN fN（X），記X1=hf（X），X2=hN fN（X），則（X1，f（X1）），（X2，f（X2））∈L（I），且X1X2。因此，DIS（（X1，f（X1）），（X2，f（X2）））≠。

由假設(shè)可知N∩DIS（（X1，f（X1）），（X2，f（X2）））≠。因?yàn)閒（X）=fhf（X）=f（X1），故fN（X）=fN（X1）。由fN（X2）=fN（hN fN（X））=fNhN fN（X）=fN（X）得fN（X1）=fN（X2），即m∈N，（f（X1））（m）=（f（X2））（m），這與

N∩DIS（（X1，f（X1）），（X2，f（X2）））≠

相矛盾。因此，XG，hNfN（X）hf（X），故由定理4知道，N是一個(gè)協(xié)調(diào)集。證畢。

從定理6可以看出，區(qū)間值模糊形式背景的約簡(jiǎn)是與差別矩陣中所有非空差別屬性集相交不空的最小屬性子集。

定理7 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，則m∈M是一個(gè)核心屬性，當(dāng)且僅當(dāng)（X1，B1），（X2，B2）∈L（I），使得DIS（（X1，B1），（X2，B2））＝{m}。

證明 （充分性）設(shè)DIS（（X1，B1），（X2，B2））={m}。對(duì)于（G，M，I）的任意約簡(jiǎn)D，由定理6可知，D∩DIS（（X1，B1），（X2，B2））≠。

這樣顯然有D∩DIS（（X1，B1），（X2，B2））={m}，故m∈D。由D的任意性知道m(xù)是一個(gè)核心屬性。

（必要性）設(shè)m是一個(gè)核心屬性，即對(duì)于任意約簡(jiǎn)D，都有m∈D。可以肯定M-｛m｝不是協(xié)調(diào)集，因?yàn)槿鬗-｛m｝是協(xié)調(diào)集，則存在約簡(jiǎn)D，滿足DM-｛m｝，故mD，這與m是一個(gè)核心屬性相矛盾。由于M-｛m｝不是協(xié)調(diào)集，所以根據(jù)定理3知道，存在XG，使得hM-｛m｝fM-｛m｝（X）hf（X），即一定有hf（X）hM-｛m｝fM-｛m｝（X）。記

X1=hf（X），X2=hM-｛m｝fM-｛m｝（X），

則X1X2，顯然（X1，f（X1）），（X2，f（X2））∈L（I）。因?yàn)?/p>

f（X2）|M-｛m｝=fM-｛m｝（X2）=

fM-｛m｝hM-｛m｝fM-｛m｝（X）=

fM-｛m｝（X），

即fM-｛m｝（X2）=fM-｛m｝（X）。又由X1=hf（X）得f（X1）=fhf（X），再由fhf（X）=f（X）得f（X1）=f（X），故fM-｛m｝（X1）=fM-｛m｝（X）。有fM-｛m｝（X1）=fM-｛m｝（X2），即對(duì)于任意a∈M-｛m｝，都有（f（X1））（a）=（f（X2））（a）。又由X1X2可得f（X1）≠f（X2），否則，可推出X1=X2，則有（f（X1））（m）≠（f（X2））（m），故得

DIS（（X1，f（X1）），（X2，f（X2）））=｛m｝。

例3 根據(jù)定理6，再利用例2中給出的差別矩陣，可以得到例1中形式背景（G，M，I）的所有約簡(jiǎn)與核心屬性。

找出表3中全部非空的差別屬性集，可列為

｛c｝，｛d｝，

｛a，b｝，｛b，e｝，｛c，e｝，｛c，d｝，

｛a，b，d｝，｛a，b，e｝，｛a，d，e｝，｛b，c，e｝，｛c，d，e｝，

｛a，b，d，e｝，｛a，c，d，e｝，｛a，b，c，d，e｝。

由定理7可知，c和d是核心屬性。由差別屬性集｛a，b｝可知，不存在僅含兩個(gè)屬性的約簡(jiǎn)，所以每個(gè)約簡(jiǎn)至少包含3個(gè)屬性，而且必含屬性a或者屬性b。

接下來(lái)，考慮屬性集D1=｛a，c，d｝和D2=｛b，c，d｝。

對(duì)于D1=｛a，c，d｝，由定理6可知，只需要考慮差別屬性集｛b，e｝，于是考慮E1=｛a，c，d，e｝是否為約簡(jiǎn)。依據(jù)定理6可以驗(yàn)證，E1=｛a，c，d，e｝是一個(gè)協(xié)調(diào)集，同時(shí)也能肯定它是一個(gè)約簡(jiǎn)。

對(duì)于D2=｛b，c，d｝，依據(jù)定理6可驗(yàn)證，它是一個(gè)協(xié)調(diào)集，同時(shí)也可確定它是一個(gè)約簡(jiǎn)。

綜上得到例1中的（G，M，I）有兩個(gè)約簡(jiǎn)，分別｛a，c，d，e｝和｛b，c，d｝。

定義8 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，DM（I）是（G，M，I）的差別矩陣，定義

Δ（I）=∧H∈DM（I），H≠（∨H）。

這里把屬性集H中的每個(gè)屬性看作一個(gè)布爾變量，仍用屬性的符號(hào)表示其對(duì)應(yīng)的變量，∨H表示H中屬性對(duì)應(yīng)的布爾變量的析取。稱Δ（I）為（G，M，I）的差別函數(shù)。

通過(guò)使用布爾運(yùn)算的吸收律和分配律可以將差別函數(shù)Δ（I）轉(zhuǎn)化為極小析取式，利用定理6可證明定理8成立。

定理8 設(shè)（G，M，I）是一個(gè)區(qū)間值模糊形式背景，Δ（I）是（G，M，I）的差別函數(shù)，若Δ（I）的極小析取式為（∧D1）∨（∧D2）∨…∨（∧Dk），則屬性集D1，D2，…，Dk是（G，M，I）的全部約簡(jiǎn)。

例4 利用表3中的差別矩陣，結(jié)合定義8可以得出例1中形式背景（G，M，I）的差別函數(shù)Δ（I）為

Δ（I）=c∧d∧（a∨b）∧（b∨e）∧

（c∨e）∧（c∨d）∧（c∨d）∧

（a∨b∨d）∧（a∨b∨e）∧

（a∨d∨e）∧（b∨c∨e）∧

（c∨d∨e）∧（a∨b∨d∨e）∧

（a∨c∨d∨e）∧

（a∨b∨c∨d∨e）=

c∧d∧（a∨b）∧（b∨e）=

c∧d∧［b∨（a∧e）］=

（b∧c∧d）∨（a∧c∧d∧e）。

可以發(fā)現(xiàn)，（b∧c∧d）∨（a∧c∧d∧e）是極小析取式，根據(jù)定理8可知，形式背景（G，M，I）共有兩個(gè)約簡(jiǎn)，它們是｛b，c， d｝和｛a，c，d，e｝。這個(gè)結(jié)果與例3中的結(jié)果一致。

取N=｛b， c， d｝， 區(qū)間值模糊形式背景（G， N， IN）如表4所示， 它的所有概念列于表5中， 圖2為概念格L（G，N，IN）。

對(duì)照表5和表3，或者對(duì)照?qǐng)D1和圖2，可以發(fā)現(xiàn)，L（G，N，IN）L（G，M，I），但是在L（G，N，IN）中概念的內(nèi)涵表示中只用到3個(gè)屬性，說(shuō)明L（IN）中概念的表示比L（G，M，I）中概念的表示要簡(jiǎn)單。

5 結(jié)語(yǔ)

本文將模糊粗糙近似方法用于模糊概念分析，在區(qū)間值模糊形式背景中提出一種經(jīng)典-區(qū)間值模糊概念格。在保持概念格結(jié)構(gòu)不變的要求下，給出屬性約簡(jiǎn)的判定方法，同時(shí)依據(jù)提出的差別矩陣給出一種約簡(jiǎn)計(jì)算方法。不同屬性在不同約簡(jiǎn)中所起的作用不同，屬性的分類和特征刻畫(huà)，以及它在知識(shí)發(fā)現(xiàn)中的作用是我們今后研究的一個(gè)問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

［1］ GANTER B， WILLE R. Formal concept analysis［M］.Berlin， Heidelberg： Springer Berlin Heidelberg， 1999.

［2］ BURUSCO A， FUENTES-GONZALEZ R. The study of the L-fuzzy concept lattice［J］.Mathware amp; Soft Computing， 1994， 1（3）： 209-218.

［3］ DJOUADI Y， PRADE H. Interval-valued fuzzy formal concept analysis［C］∥Foundations of Intelligent Systems. Berlin， Heidelberg： Springer Berlin Heidelberg， 2009： 592-601.

［4］ LI L F. Multi-level interval-valued fuzzy concept lattices and their attribute reduction［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics， 2017， 8（1）： 45-56.

［5］ 張文修，魏玲，祁建軍.概念格的屬性約簡(jiǎn)理論與方法［J］.中國(guó)科學(xué)E輯：信息科學(xué)，2005， 35（6）：628-639.

ZHANG W X， WEI L， QI J J. Theory and method of attribute reduction for concept lattices［J］.Science in China Series E： Information Science， 2005， 35（6）： 628-639.

［6］ 吳克生. 區(qū)間形式背景分析［D］.西安： 西北大學(xué)，2011.

［7］ 楊建峰，魏玲.基于差別矩陣的區(qū)間值形式背景屬性約簡(jiǎn)［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，42（3）：365-369.

YANG J F， WEI L. Interval valued formal context attribute reduction based on difference matrix［J］.Journal of Northwest University （Natural Science Edition）， 2012， 42（3）： 365-369.

［8］ 黃艷，任苗苗，魏玲.區(qū)間值決策形式背景的屬性值向量約簡(jiǎn)［J］.計(jì)算機(jī)科學(xué)，2012，39（1）：193-197.

HUANG Y， REN M M， WEI L.Attribute value vector reduction for formal contexts of interval-valued decision［J］.Computer Science， 2012， 39（1）：193-197.

［9］ 王虹，崔聘芝.協(xié)調(diào)區(qū)間值決策形式背景的知識(shí)約簡(jiǎn)［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（9）：265-273.

WANG H， CUI P Z. Knowledge reduction in formal background of coordinated interval valued decision making［J］.Mathematics in Practice and Understanding， 2014， 44（9）： 265-273.

［10］KRAJIC S. Cluster based efficient generation of fuzzy concepts［J］.Neural Network World， 2003， 13（5）： 521-530.

［11］YAHIA S B， JAOUA A. Discovering knowledge from fuzzy concept lattice［C］∥Data Mining and Computational Intelligence. Heidelberg： Physica-Verlag， 2001： 167-190.

［12］DUNTSCH N， GEDIGA G. Modal-style operators in qualitative data analysis［C］∥Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on Data Mining. Maebashi， Japan： IEEE Computer Society， 2002： 155-162.

［13］YAO Y Y. Concept lattices in rough set theory［C］∥Proceedings of 2004 Annual Meeting of the North American Fuzzy Information. Banff， AB， Canada： IEEE Computer Society， 2004： 796-801.

［14］LI T J， WANG Y Q.Crisp-fuzzy concept lattice based on interval-valued fuzzy sets［C］∥International Joint Conference on Rough Sets. Cham： Springer Nature Switzerland， 2023： 449-462.

［15］吳偉志.粗糙近似算子的公理化刻畫(huà)：綜述［J］.模式識(shí)別與人工智能，2017，30（2）：137-151.

WU W Z. Rough approximation operator of axiomatic characterization： Review［J］.Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence， 2017， 30 （2）： 137-151.

［16］AKRAM M， DUDEK W A. Interval-valued fuzzy graphs［J］.Computers amp; Mathematics with Applications， 2011， 61（2）： 289-299.

［17］BURUSCO A， FUENTES-GONZALEZ R. The study of the interval-valued contexts［J］.Fuzzy Sets and Systems， 2001， 121（3）： 439-452.

［18］吳明瑞. 基于粗糙近似的經(jīng)典： 模糊概念格的屬性約簡(jiǎn)研究［D］.舟山： 浙江海洋大學(xué)， 2023.

（編 輯 張 歡）

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（12371466）

第一作者：李同軍，男，博士，教授，從事粒計(jì)算、概念格、粗糙集研究，litj@zjou.edu.cn。