基于參考集的廣義模糊數排序方法及在三支沖突分析中的應用

摘要 針對模糊數排序現有方法中參考集的選取帶有盲目主觀性的問題，提出了一種新的基于參考集和評價函數的廣義模糊數排序方法。首先，該方法借助模糊距離定義參考集，其優點是能夠減少因參考集預先給定或選取而增加的不確定性。其次，利用區間相似度和廣義模糊數的質心構建評價函數，并給出了新的廣義模糊數排序方法的框架。此外，通過實例將此方法與現有排序方法進行比較，驗證了該方法的有效性和合理性。最后，將該方法應用于三支沖突分析中，評價不同方法所建立的聯盟。

關鍵詞 廣義模糊數；參考集；評價函數；模糊數排序；三支沖突分析

中圖分類號：O159" DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2025-02-012

Generalized fuzzy numbers ranking method based on reference set and its application in three-way conflict analysis

ZHOU Xiaofeng， LI Xiaonan

（School of Mathematics and Statistics， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract In view of the blind subjectivity of reference set selection in the existing methods， this paper proposes a new generalized fuzzy number ranking method based on reference set and evaluation function. Firstly， the proposed method defines the reference set with the help of fuzzy distance， which has the advantage of reducing the uncertainty increased by the pre-given and selected reference set. Secondly， the evaluation function is constructed by using the centroid of interval similarity and generalized fuzzy numbers， and the framework of a new generalized fuzzy number ranking method is given. In addition， the effectiveness and rationality of the proposed method are verified by comparing it with the existing ranking methods by an example. Finally， the method is applied to the three-way conflict analysis to evaluate the alliances established by different methods.

Keywords generalized fuzzy numbers; reference set; evaluation function; fuzzy number ranking; three-way conflict analysis

在現實生活中，人們常常會遇到模糊的或不精確的信息。為處理具有不精確信息的實際問題，Zadeh在1965年首次引入模糊集（經典集合的推廣）^［1］。作為經典實數的模糊推廣，模糊數是描述不精確信息的強有力工具。鑒于此，模糊數排序在模糊風險分析、近似推理、模式識別、決策等領域發揮著重要作用^［2-5］。在過去幾十年里，國內外學者通過深入研究，提出了各種各樣的模糊數排序方法。盡管如此，迄今為止還沒有一個被人們廣泛接受的排序方法。

現有排序方法主要分為3類。第1類是基于去模糊化，即定義模糊數到實數的映射，根據實數的自然序列實現排序。如Chi等通過計算模糊數的質心實現排序^［6］，Nejad等利用左面積與右面積的差對模糊數排序^［7］。該類方法的缺點是在比較分析時用實數替代模糊數，在計算過程中造成信息大量流失，從而增加了所得結果的不確定性。第2類是基于模糊二元關系的兩兩比較方法，進而得到排序。如Ma等通過定義模糊數間的附加優先度并利用權重函數對模糊數排序^［8］，Li等基于區間概率和區間測度實現排序^［9］，該方法還為每對模糊數提供額外度用以評價聯盟。該類方法的缺點是模糊二元關系的構建本身較為復雜，并且該方法在處理模糊數時往往不能滿足傳遞性，使得其應用范圍有限。第3類是與預定義參考集對比的方法排序。如Jain利用最小集合作為參考集來比較模糊數^［10］，Lee-Kwang通過預定義參考集并結合T-模構建評價函數實現對模糊數排序^［11］。該類方法很好地避免了上述兩種方法的不足。

考慮到去模糊化、兩兩比較的排序方法在實際應用中存在不足，本文重點研究第3類方法，其具體過程如圖 1所示。

由圖1可知，參考集的選取至關重要。如Lee-Kwang和Lee^［11］中F1，F2，F3是3個待排序的模糊數，V1，V2是兩個事先給定的不同的參考集。當選取V1作為參考時，得到的排序結果為F1F2F3;而當選取V2作為參考時，得到的排序結果為F3F2F1。僅因選取的參考集不同造成最終的排序結果完全相反，這與實際相悖。

鑒于參考集的重要性及現有方法的缺陷，本文從構建參考集入手，減少因選取參考集而造成的不確定性。其次，通過區間相似度得到模糊數間的相似度，以此為基礎結合質心建立評價函數。最后，結合參考集與評價函數得到新的排序方法。

1 預備知識

定義1^［12］ 論域X上的模糊集，記作={（x， f（x））：x∈X｝。其中，隸屬函數f（x）：X→［0，1］表示x在中的隸屬度。當滿足正規、凸時，稱為論域X上的一個模糊數。

定義2^［12］ 模糊集的α-水平集定義為

α={x∈X： f（x）≥α}，α∈（0，1］，

模糊集的支集定義為

supp（）={x∈X： f（x）＞0}。

定義3^［6］ 一般地，當為廣義梯形模糊數時，記作=（a，b，c，d;ω），其隸屬函數f（x）為

f（x）=[JB（｛][SX（]ω（x-a）[]b-a[SX）]，" a≤xlt;b；

ω，" b≤x≤c；

[SX（]ω（x-d）[]c-d[SX）]，" clt;x≤d；

0，" 其他。[JB）]" [JY]（1）

其中：a，b，c，d∈R，滿足a lt; b≤c lt; d；ω∈（0，1］；a和d分別為廣義梯形模糊數的下界和上界。此外，

fL （x）=[SX（]ω（x-a）[]b-a[SX）]，a≤xlt;b，

fR （x）=[SX（]ω（x-d）[]c-d[SX）]，clt;x≤d，

分別稱為左隸屬函數和右隸屬函數。而f^L 連續且在［a，b）上遞增，f^R 連續且在（c，d］上遞減。故f^L 在區間［a，b）上可逆，f^R 在區間（c，d］上可逆。它們的逆函數分別記作g^L （y）和g^R （y），則其α-水平集α為

α=［b，c］， α=ω；

gL（α）， gR（α）］，α∈（0，ω）。[JY]（2）

其中：

gL （y）=a+[SX（]b-a[]ω[SX）]y，0≤y≤ω，

gR （y）=d+[SX（]c-d[]ω[SX）]y，0≤y≤ω。

當ω=1時，則稱為正規梯形模糊數。其α-水平集α為

α=［b，c］，α=1；

［a+（b-a）α，d-（d-c）α］，α∈（0，1）。

當b=c時，廣義梯形模糊數將退化為廣義三角模糊數，用=（a，b，d;ω）表示，且ω∈（0，1］。

定義4^［6］ 設=（a，b，c，d;ω）為廣義梯形模糊數，其質心x定義為

x= [SX（]∫daxf（x）dx[]∫daf（x）dx[SX）]=

[SX（]1[]3[SX）]［a+b+c+d-[SX（]dc-ab[]（d+c）-（a+b）[SX）]］[JY]（3）

易知alt;xlt;d。

由模糊集的表現定理可知，模糊數可由其α-水平集表示。因此，可通過α-水平集的區間運算得到相應模糊數的運算規則。

定義5^［9］ 設A，B，C是廣義梯形模糊數，λ∈R且α∈（0，1］。其加法、減法和數乘運算如下。

1） 加法。若C=A+B，則

Cα=（A+B）α=

［gLA （α）+gLB （α），gRA （α）+gRB （α）］。

2） 減法。若C=A-B，則

Cα=（A-B）α=

［gLA （α）-gLB （α），gRA （α）-gRB （α）］。

3） 數乘。令C=λA，則

Cα=（λA）α=[JB（｛]［λgL （α），λgR （α）］，λgt;0；

［λgR （α），λgL （α）］，λlt;0。[JB）]

2 基于參考集與評價函數的排序方法

2.1 參考集

對于兩個廣義梯形模糊數A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2），它們的α-水平集分別為A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］和A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，α∈（0，1］。則A1α和A2α之間的距離為

［dLα，dRα］=

λ（A1α-A2α）+（1-λ）（A2α-A1α）[JY]（4）

其中：

λ=[JB（｛]1， [SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]≥[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]；

0， [SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]lt;[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]。[JB）]

定義6^［13］" 設A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個廣義梯形模糊數，其模糊距離為

d（A1，A2）=（0，σ，u，ν;ω）[JY]（5）

其中：

σ=dLα=ω，u=dRα=ω，

ν=∫ω0 dRα dα，ω=min（ω1，ω2）。

命題1 設A1，A2，A3為3個廣義模糊數，則以下結論成立。

1） d（A1，A2）為正的模糊數;

2） d（A1，A2）=d（A2，A1）;

3） d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）。

證明 基于模糊距離的構造過程，則結論1）和結論2）顯然成立，下證結論3）成立。

設模糊數A1，A2，A3的α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

A3α=［gLA3 （α），gRA3 （α）］，

其中：α∈（0，ω］，ω=min｛ω1，ω2，ω3｝。

要證d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）成立，只需證明

supp（d（A1，A3））

supp（d（A1，A2）d（A2，A3））。

根據模糊數A1，A2，A3的相對位置，討論以下3種情況。為方便起見，省略角標α。

i） 情況1。

[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）] ≤[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]，

A1α和A3α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA3-gRA1，gRA3-gLA1］，

A1α和A2α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA2-gRA1，gRA2-gLA1］，

A2α和A3α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA3-gRA2，gRA3-gLA2］，

則有

（gLA2-gRA1）+（gLA3-gRA2）lt;gLA3-gRA1，

（gRA2-gLA1）+（gRA3-gLA2）gt;gRA3-gLA1，

即

supp（d（A1，A3））

supp（d（A1，A2）d（A2，A3））。

故d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）。

與情況1證明類似，下述兩種情況也成立。

ii） 情況2。

[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]。

iii） 情況3。

[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]≤[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]。

綜上所述，d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）成立。

注1 文獻［13］中關于結論3）的描述為

d（A1，A3）≤d（A1，A2）d（A2，A3），

但其證明過程借助實值函數將模糊數轉化為實數進行比較，損失了大量信息，詳細證明見文獻［13］。因此，本文從模糊數的角度進行證明。

命題2 設A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個廣義模糊數，-A1=（-d1，-c1，-b1，-a1;ω1），-A2=（-d2，-c2，-b2，-a2;ω2）分別為它們的鏡像則d（A1，A2）=d（-A1，-A2）。

證明 設A1和A2的α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

其區間距離為［dLα，dRα］。

-A1和-A2的α-水平集分別為

-A1α=［-gRA1 （α），-gLA1 （α）］，

-A2α=［-gRA2 （α），-gLA2 （α）］，

其區間距離為［Lα，Rα］。則有

（-A）1α=-（A1α），（-A）2α=-（A2α），

進而

dLα=Lα，dRα=Rα。

故d（A1，A2）=d（-A1，-A2）。

定義7 設Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組模糊數，其相對最大與相對最小模糊數分別為Amax=（amax，bmax，cmax，dmax;ωmax），Amin=（amin，bmin，cmin，dmin;ωmin），其區間距離為［dLα，dRα］，則這組模糊數的參考集為

Θ=（0，[SX（]σ[]v[SX）]，[SX（]u[]v[SX）]，1;ω=min｛ωmin，ωmax｝）。

其中：

σ=dLα=ω，u=min｛dRα=ω，∫ω0 dRα dα｝，

ν=max｛dRα=ω，∫ω0 dRα dα｝，

ω表示相對最大與相對最小模糊數之間高度值的最小值，且參考集Θ滿足

1） Ai，i=1，2，…，n，supp（Ai）supp（Θ）；

2） 其隸屬函數為fΘ（x），則∫^+∞-∞fΘ（x）dx存在且不為零。

證明 1）由定義2和定義7可知

supp（Θ）=［0，1］，supp（Ai）=［a，d］，

而0≤a，d≤1，故supp（Ai）supp（Θ）。

2）由定義7知Θ為［0，1］內的廣義模糊數，其隸屬函數的積分值表示該廣義模糊數在［0，1］×［0，ω］區域上的面積，故∫^+∞-∞fΘ（x）dx存在且不為零。

例1 設A=（0.1，0.2，0.2，0.4;1），B=（0.2，0.3，0.4，0.5;1），C=（0.1，0.4，0.4，0.6;1），這3個模糊數如圖2所示。

其相對最大與相對最小模糊數分別為

Amin=（0.1，0.2，0.2，0.4;1），

Amax=（0.2，0.4，0.4，0.6;1）。

由式（4）得到

［dLα，dRα］=［0.1+0.1α，0.2］，

故參考集Θ=（0，1，1，1;1），如圖2所示。

2.2 評價函數

本節通過區間之間的相似度得到模糊數間的相似度并研究其相關性質。基于所提出的區間相似度構建模糊數間的評價函數。

對于兩個區間I1=［a1，b1］，I2=［a2，b2］，兩區間相交I1∩I2的位置關系有如下3種形式，如圖3所示。

兩個區間的相似度為

S（I1，I2）=[SX（]|I1∩I2||I1∪I2|[SX）][JY]（6）

其中：|· |表示區間長度。

根據區間相似度和模糊數的α-水平集，廣義模糊數間的相似度定義為定義8，并研究其相關性質。

定義8 設A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個廣義模糊數，它們的α-水平集分別為A1α和A2α，則A1和A2的相似度S（A1，A2）為

S（A1，A2）=[SX（]∫ω0 （A1α∩A2α）dα[]∫ω0 （A1α∪A2α）dα[SX）][JY]（7）

其中：ω∈［0，min｛ω1，ω2｝］。

性質1 設A1，A2和A3是3個廣義模糊數，則滿足以下性質。

1） 0≤S（A1，A2）≤1;

2） S（A1，A2）=S（A2，A1）;

3） S（A1，A2）=1A1=A2;

4） 若S（A1，A2）=1，S（A2，A3）=1，則S（A1，A3）=1。

證明 性質1）和性質2）顯然成立，下證性質3）和性質4）成立。

3） 必要性。當

S（A1，A2）=[SX（]∫ω0 （A1α∩A2α）dα[]∫ω0 （A1α∪A2α）dα[SX）]=1，

有A1α∩A2α=A1α∪A2α，即A1=A2。

反之，當A1=A2時，S（A1，A2）=1成立，即充分性也滿足。

4） 由性質3） 可知，當S（A1，A2）=1，S（A2，A3）=1時，有A1=A2，A2=A3。因此，A1=A3，則S（A1，A3）=1。

通常模糊數不能直接比較大小，因此，國內外學者采取不同的方法對模糊數進行比較。其中評價函數深受廣大學者關注，它將兩個模糊數轉化為實數，根據自然序列比較模糊數。本文基于區間相似度和廣義梯形模糊數的質心提出所需評價函數。

定義9 設Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組待排模糊數，Θ為其參考集，則評價函數為

E（Ai，Θ）=[SX（]S（Ai，Θ）+xAi[]2[SX）][JY]（8）

2.3 排序方法

本節提出一種基于參考集與評價函數的模糊數排序方法，并與現有方法進行比較展示其有效性。

設Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組待排模糊數，其排序過程如下。

1） 求這組模糊數的參考集Θ （若存在j，有sup（supp（Ai））lt;inf（supp（Aj）），i≠j，則計算參考集時去掉Aj;

2） 計算所有模糊數的S（Ai，Θ）;

3） 計算所有模糊數的E（Ai，Θ）;

4） 根據E（Ai，Θ）的大小對所有模糊數排序，其值越大相應的模糊數越大。

性質2 設F是模糊數的集合，A1，A2，A3∈F，以下性質成立。

1） 對于A∈F，則A≤A;

2） 若A1A2，A2A3，則A1A3;

3） 若sup（supp（A1））lt;inf（supp（A2）），則A1A2;

4） 對λgt;0，A1A2λA1λA2;

5） 對λlt;0，A1A2λA1λA2;

6） 若A1A2則A1A3A2A3。

證明 性質1）和性質2）顯然成立，下面證明性質3）成立。

3）當sup（supp（A1））lt;inf（supp（A2）），有

gLA1 （0）≤gRA1 （0）≤gLA2 （0）≤gRA2 （0），

而

gLA1 （0）lt;xA1lt;gRA1 （0），

gLA2 （0）lt;xA2lt;gRA2 （0），

則xA1lt;xA2。設其參考集為Θ，有

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）lt;xA2-xA1，

則

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（A1，Θ）lt;E（A2，Θ）。

故A1A2成立。

4） 設模糊數A1，A2的參考集為Θ，其α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

當λgt;0時，有

λA1α=［λgLA1 （α），λgRA1 （α）］，

λA2α=［λgLA2 （α），λgRA2 （α）］，

且xλA1=λxA1，xλA2=λxA2。

當A1A2時，有E（A1，Θ）lt;E（A2，Θ），

即

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0。

此時模糊數λA1，λA2的參考集為λΘ，則有

S（λA2，λΘ）-S（λA1，λΘ）+xλA2-xλA1=

λ（S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1）gt;0，

即λA1λA2。反之亦然。故

λgt;0，A1A2λA1λA2。

同理可證性質5）成立。特別地，取λ=-1，當A1A2時，有-A1-A2。

6） 設模糊數A1，A2，A3的參考集為Θ，其α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

A3α=［gLA3 （α），gRA3 （α）］，

Θα=［gL（α），gR（α）］。

由模糊數的算術運算知

（A1A3）α=

［gLA1 （α）+gLA3 （α），gRA1 （α）+gRA3 （α）］，

（A2A3）α=

［gLA2 （α）+gLA3 （α），gRA2 （α）+gRA3 （α）］。

i） （A1+A3）α∩Θα=。

此時，A1α∩Θα=，而

（A2A3）α∩Θα=

［gL（α），gRA2 （α）+gRA3 （α）］，

（A2A3）α∩Θα=

［gLA2 （α）+gLA3 （α），gR（α）］，

S（（A2A3），Θ）=

[SX（]∫ω0 ［gRA2 （α）+gRA3 （α）-gL（α）］dα[]∫ω0 ［gR（α）-gLA2 （α）-gLA3 （α）］dα[SX）]gt;

[SX（]∫ω0 （gRA2 （α）-gL（α））dα[]∫ω0 （gR（α）-gLA2 （α））dα[SX）]=

S（A2，Θ），

有

S（（A2A3），Θ）+（xA2+xA3）-（xA1+xA3）gt;

S（A2，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（（A1+A3），Θ）lt;E（（A2+A3），Θ）。

故A1A3A2A3。

ii） （A2+A3）α∩Θα=。

情況ii）證明與情況i）類似。

iii） （A2+A3）α∩Θα≠，（A1+A3）α∩Θα≠。

由情況i）和情況ii）證明知

S（（A2A3），Θ）gt;S（A2，Θ），

S（（A1A3），Θ）gt;S（A1，Θ），

有

S（（A2A3），Θ）-S（（A1A3），Θ）+

（xA2+xA3）-（xA1+xA3）gt;S（A2，Θ）-

S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（（A1+A3），Θ）lt;E（（A2+A3），Θ）。

故A1A3A2A3。

綜上所述，若A1A2，則A1A3A2A3。

例2 設A=（0.2，0.3，0.3，0.6;1），B=（0.3，0.4，0.5，0.6;1），C=（0.2，0.6，0.6，0.8;1），這3個模糊數如圖4所示。

首先，由定義7求其參考集為

Θ=（0，0.66，0.66，1;1）。

其次，對任意α∈［0，1］有

Aα=［0.2+0.1α，0.6-0.3α］，

Bα=［0.3+0.1α，0.6-0.1α］，

Cα=［0.2+0.4α，0.8-0.2α］，

Θα=［0.66α，1-0.34α］。

根據式（4）有

xA=3.666 7，xB=0.45，xC=0.533 3。

根據式（8），有

E（A，Θ）=0.306 3，

E（B，Θ）=0.364 7，

E（C，Θ）=0.558 6，

即

E（A，Θ）lt;E（B，Θ）lt;E（C，Θ）。

故ABC。

例3 設模糊數A=（0.1，0.3，0.4，0.6;0.8），B=（0.2，0.3，0.3，0.5;1），C=（0.2，0.4，0.5，0.7;0.9），D=（0.7，0.8，0.8，0.9;0.9），如圖5所示。

由于sup（supp（*））≤inf（supp（D）），

其中：*=｛A，B，C｝。故求參考集時排除D，且模糊數D最大。

由定義7求其參考集為

Θ=（0，0.18，0.7，1;0.8）。

對任意α∈［0，1］，有

Aα=［0.1+0.25α，0.6-0.25α］，

Bα=［0.2+0.1α，0.5-0.2α］，

Cα=［0.2+[SX（]2[]9[SX）]α，0.7-[SX（]2[]9[SX）]α］，

Θα=［0.225α，1-0.375α］。

模糊數A，B，C的質心分別為

xA=0.35，xB=0.333 3，xC=0.45。

由式（8）知

E（A，Θ）=0.372 4，E（B，Θ）=0.285 1，

E（C，Θ）=0.437 0，

即

E（B，Θ）lt;E（A，Θ）lt;

E（C，Θ）lt;E（D，Θ）。

故BACD。

3 比較分析

例4 設模糊數A=（0，0.2，0.7，0.7;0.8），B=（0.2，0.5，0.5，0.9;1），C=（0.1，0.6，0.6，0.8;0.9），D=（0.3，0.5，0.8，0.9;0.8），如圖6所示。

首先，求其參考集為

Θ=（0，0.06，0.98，1;0.8）。

其次，對任意α∈［0，0.8］，有

Aα=［0.25α，0.7］，

Bα=［0.2+0.3α，0.9-0.4α］，

Cα=［0.1+[SX（]5[]9[SX）]α，0.8-[SX（]2[]9[SX）]α］，

Dα=［0.3+0.25α，0.9-0.125α］，

Θα=［0.075α，1-0.025α］。

則

xA=0.463 6，xB=0.533 3，

xC=0.5，xD=0.622 2，

E（A，Θ）=0.419 3，E（B，Θ）=0.511 7，

E（C，Θ）=0.452 5，E（D，Θ）=0.519 5，

即

E（A，Θ）lt;E（C，Θ）lt;E（B，Θ）lt;E（D，Θ）。

故ACBD。

從表1可以看出，所提方法與文獻中的大多數方法所產生的排序結果相同，故該方法是有效的。文獻［15-16］中的方法得到的A最大，由圖6可知D最大，所得到的結果與實際相悖。在文獻［11］中，當選擇V1和選擇V2作為參考集時得到的排序結果完全相反，說明參考集的選取對排序結果影響較大。在文獻［17］中，當持悲觀態度時，即α=0時，得到CABD;當持中立和樂觀態度時，其結果為ACBD。因此，本文所提出的排序方法可以彌補一些排序方法的不足。

與本文所得排序結果相同的這些方法中，當模糊數的質心相等時，文獻［6］所提方法不能判斷大小;文獻［11］中的參考集V1是事先給定的，因此其排序結果帶有主觀性;文獻［15］在遇到模糊數的上邊長遠小于下邊長的情況時，會得到錯誤的排序結果;文獻［18］會得到模糊數與其鏡像相等的錯誤結果。本文所提方法能夠很好的克服上述缺陷。

4 應用

在實際生活中，沖突無時無刻不在發生，個體與個體、國家與國家、個體與國家之間存在著諸如利益、思想、文化之間的沖突。對沖突的研究引起了廣大學者的關注，Pawlak基于粗糙集對沖突進行了研究，根據代理之間的沖突度對代理進行分類并建立代理間的聯盟^［21］。Yao將三分的思想引入沖突分析中，擴展了Pawlak的工作，建立了三支沖突分析模型，根據代理之間的關系將其分為支持集、中立集、反對集，每個集合視為一個聯盟^［22］。隨著學者們的深入研究，建立了在不同背景下的沖突分析，如Li等考慮代理對事件的評價值是三角模糊數和梯形模糊數的情形，進而分別研究了在三角模糊信息系統和梯形模糊信息系統下的三支沖突分析^［23-24］;常月等考慮代理對事件的評價值是區間，討論了在區間值模糊背景下的沖突分析^［25］;楊文聽等考慮到在信息的獲取中可能會出現信息的丟失，從而分析了在不完備的模糊信息系統下如何建立聯盟^［26］。在沖突分析時，應用不同的方法建立的聯盟也有所差異，對聯盟的評判至關重要。應用模糊數排序方法，能夠評判不同方法所建立的聯盟。接下來，應用基于參考集的方法比較這兩種方法所建立的聯盟。

例5 本文借助Li等文章中的中東沖突問題^［24］。代理u1，u2，u3，u4，u5，u6分別代表以色列、埃及、巴勒斯坦、約旦、敘利亞、沙特阿拉伯6個國家。事件a1代表西岸和加沙的巴勒斯坦自治國；事件a2代表約旦河沿岸的以色列軍事前哨；事件a3代表以色列保留東耶路撒冷；事件a4代表以色列在戈蘭高地的軍事前哨；事件a5代表阿拉伯國家向選擇留在其境內的巴勒斯坦人授予公民身份。代理對事件的態度值以梯形模糊數的形式給出，如表2所示。

Li等將代理對事件的態度進行聚合，求代理對事件的總態度值（ui），并進行去模糊化處理，分別為D1（ui）和D2（ui）^［23-24］，如表3所示。

基于決策理論粗糙集得閾值α=0.64，β=0.45。根據表3中的去模糊化值，建立聯盟為

D1（ui）[JB（｛]POS（U）=｛u3，u5｝；

BN（U）=｛u6｝；

NEG（U）=｛u1，u2，u4｝。[JB）]

D2（ui）[JB（｛]POS（U）=｛u5，u6｝；

BN（U）=｛u1，u3｝；

NEG（U）=｛u2，u4｝。[JB）]

基于表 3中的去模糊化值，利用本文所提的方法求模糊數的評價值。

由于

sup（supp（ui））≤inf（supp（u5）），

sup（supp（ui））≤inf（supp（u6））。

其中：i=1，2，3，4，即u5，u6均優于u1，u2，u3，u4，此時分兩步進行比較。

1）比較u5，u6。

其參考集為

Θ=（0，0.02，0.09，0.125;1），

則

E（u5，Θ）=0.469 8，E（u6，Θ）=0.478 9。

故u5u6。

2）比較u1，u2，u3，u4。

其參考集為

Θ=（0，0.47，0.8，1;1），

則

E（u1，Θ）=0.340 2，E（u2，Θ）=0.256 2，

E（u3，Θ）=0.372 9，E（u4，Θ）=0.214 7。

故u4u2u1u3。

根據表4中代理的評價值，可知排序結果為

u4u2u1u3u5u6。

根據優先級規則，聯盟的優先級序列為POS（U）BN（U）NEG（U）。文獻［23］所建立的聯盟不符合此規則，文獻［24］所建立的聯盟符合此規則，因為代理u6對所有事件的總態度值為（0.87，0.91，0.95，0.98），即代理u6應屬于支持集POS（U），而文獻［23］將u6放在中立集。故文獻［24］所建立的聯盟優于文獻［23］所建立的聯盟。

一些現有排序方法所得結果如表5所示。由表5可知，本文方法與一些現有排序方法得到的優先級序列相同，故所提方法是有效的。文獻［15］所得結果不滿足聯盟的優先級序列，因為此方法在處理模糊數Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），ci-bilt;di-ai時會導致錯誤的結果。如u5和u2正確的結果為u2u5，是因為該方法的缺陷所導致的錯誤結果。

5 結語

在現有排序方法中，由于參考集是事先給定的而導致很大的主觀性，如何選擇合適的參考集以避免增加不確定性是至關重要的問題。本文基于模糊距離構建參考集，利用區間相似度和廣義梯形模糊數的質心構建評價函數對模糊數排序，并給出了新的廣義模糊數排序方法的框架。通過實例將此方法與現有排序方法進行比較，驗證了該方法的有效性與合理性，彌補了一些排序方法的不足。此外，將該方法應用于三支沖突分析中，為更好的評價聯盟提供支撐。在未來的工作中，將研究直覺模糊數、猶豫模糊數等模糊環境下的排序方法及其應用。

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（編 輯 張 歡）

基金項目：國家自然科學基金（61976244）

第一作者：周小鋒，男，從事沖突分析、模糊數排序研究，1850294569＠qq.com。

通信作者：李小南，男，教授，博士生導師，從事模糊集、粗糙集及三支決策理論研究，lxn2007@163.com。