高等數學中重積分的應用

摘"要：積分學在高等數學中占有很大篇幅和很高的地位，是高等數學的核心內容之一，也是建立基礎理論和工程實踐的橋梁。所以，重積分學習過程中不僅要明確概念和計算，還要結合實際，用重積分解決數學、幾何學、物理學等學科的問題。以二重積分和三重積分為例，他們可以解決求曲頂柱體的體積、平面薄片的質量、積分區域的面積、空間立體的質量、積分圖形的體積等問題，并且，二重積分和三重積分之間還存在著一些聯系，我們可以對實際問題具體分析，選用更合適的解決方法解決問題。

關鍵詞：二重積分；三重積分；曲頂柱體；元素法；物體質量

高等數學作為本科教學的基礎學科，是學生從高中到大學學習和思維過渡的學科，是學習理科和工科的前提和基礎，在這一階段，正是學生培養自主探究、創新創造、理論聯系實際的能力的關鍵時期。高等數學為理工科的學習和研究提供了理論知識，特別是微分學和積分學部分，在幾何學、物理學、工程學等學科中都有重要的實際意義，所以，在高等數學的學習與教學過程中，在理解和掌握知識的基礎上，應更多地將理論知識與實際應用相結合，真正地發揮高等數學作為理工科專業基礎學科的學習目的。

積分學在微分學學習之后，在學習過程中既能鍛煉學生的理解探究和計算能力，也能培養學生類比推理、逆向思維的能力。積分學主要可以分為兩部分——定積分和重積分。定積分和重積分之間有許多的聯系，重積分是定積分的更高維度，應用情況也較重積分更多。

在定積分部分學習中，我們明確了分割、近似求和、取極限的積分思想，并準確給出了定積分的定義及其幾何意義，并通過元素法解決了利用定積分求平面圖形面積、旋轉體體積、平面曲線的弧長等幾何學問題。在重積分部分，我們通過類比遷移得到了二重積分和三重積分的定義及其幾何意義，本文重點討論利用二重積分和三重積分解決幾類實際問題。

一、二重積分的應用

對比二重積分和定積分的定義，我們不難發現其共同之處，即都使用了分割、近似求和、取極限的方法，都體現了微元法的思想。定積分將一維函數曲線積分為二維的圖形面積，而二重積分從定義角度比定積分多了一個自變量，則將函數曲線積分為三維立體的體積，即將一維線段積分為三維空間立體。

二重積分主要是在求幾何學上的曲頂柱體和物理學中求平面薄片的質量的問題上給出相應的解決方法，這兩類問題從簡單的二重積分計算問題到非常復雜的二重積分計算問題都有覆蓋，由于我們討論重點是用二重積分解決相應問題，不針對計算給出諸多方法，這里選取較為簡單的計算問題來闡述用二重積分分析和解決這兩類問題。

（一）曲頂柱體的體積

現有一曲頂柱體，以Z=f（x，y）為頂［其中f（x，y）≥0］，以xOy面上的閉區域D為底，我們使用類比定積分中求旋轉體體積時使用的微元法求得該立體的體積。

首先，找到積分區域。在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來對閉區域D進行劃分，得到n個小閉區域ΔxiΔyj（i=1，…，n；j=1，…，n）。

其次，找到體積微元。分別以小閉區域ΔxiΔyj的邊界曲線為準線，作母線平行于z軸的柱面，這樣把曲頂柱體劃分成了n個小的曲頂柱體。Z=f（x，y）是連續函數，當小閉區域劃分得足夠小，這個小曲頂柱體就無限接近于平頂柱體，也就是我們熟知的長方體，這樣我們就得到了曲頂柱體的體積微元，即近似的長方體的體積dV=f（x，y）dxdy。

最后，對體積微元進行積分，求得曲頂柱體的體積：

V=Df（x，y）dxdy

例1：求由曲面z=6-x2-y2，x+y=1，x=0，y=0和z=0圍成的曲頂柱體的體積。

分析：根據題意可知，得到的曲頂柱體為，以曲面z=6-x2-y2（如圖1）為頂，以平面區域D={（x，y）|x+y=1}={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}（如圖2）為底的曲頂柱體，根據微元法，我們可以找到取定柱體的體積微元為dV=（6-x2-y2）dxdy，對體積微元在積分區域D上進行積分，即求得曲頂柱體的體積。

解：由題意可知，積分區域D={（x，y）|x+y=1}={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}。

則曲頂柱體的體積為：

V=Df（x，y）dxdy=∫10dx∫1-x0（6-x2-y2）dy=176

（二）平面薄片的質量

現有一平面薄片，將其放入平面直角坐標xOy中，所在位置為區域D，在點（x，y）處的面密度為μ（x，y），且μ（x，y）≥0并在D上連續，求這一平面薄片的質量。

我們仍使用微元法進行計算：

首先，確定積分區域，用平行于坐標軸的網格把區域D劃分成n個小閉區域ΔxiΔyj（i=1，…，n；j=1，…，n）。

其次，取質量微元，由于薄片在點（x，y）處的面密度為μ（x，y），則由質量=面密度×面積，可得質量微元為dm=μ（x，y）dxdy。

最后，對質量微元進行積分，求得平面薄片的質量為m=Dμ（x，y）dxdy。

例2：設平面薄片所占的閉區域D是由拋物線y=x2及直線y=x所圍成的，它在點（x，y）處的面密度為μ（x，y）=x2y，求該薄片質量。

分析：根據題意可知，這個平面薄片的質量微元為dm=x2ydxdy。對質量微元在積分區域D={（x，y）|x≥y，y≥x2}上進行二重積分，即可得到薄片的質量。

解：由題意可知，積分區域D={（x，y）|x≥y，y≥x2}={（x，y）|0≤x≤1，x2≤y≤x}，則平面薄片的質量為：

m=Dμ（x，y）dxdy=∫10dx∫xx2x2ydy=135

（三）積分區域的面積

由前文用二重積分計算曲頂柱體的過程，我們可以發現，當微元中小平頂柱體的高為1時，小平頂柱體的體積即為積分區域ΔxiΔj的面積，由此可見，當曲頂柱體劃分出的任意小曲頂柱體的高都近似為1，即Z=f（x，y）=1時，曲頂柱體的體積即為積分區域D的面積，即SD=Ddxdy。

例3：已知以平面z=6為頂，以區域D為底的立體體積為487，求區域D的面積。

解：V=Df（x，y）dxdy=6Ddxdy=487，

則SD=Ddxdy=87。

實際上，我們可以發現這就是一個標準的已知柱體體積求底面積的過程，這也從另一個角度證明了微元法思想的正確性和立體幾何知識的一致性。

同樣地，我們也可以根據已知的積分區域，求得二重積分的值。

例4：設區域D是由x+y=1，x=0及y=0圍成的，求D2dσ。

分析：已知積分區域求二重積分，我們可以通過常規方法把二重積分化成累次積分進行計算，也可以根據本題的特殊性，先求出積分區域的面積，再根據二重積分的性質，即被積函數為1時，二重積分的值等于積分區域面積，最終求得題目中的二重積分的值。

解法1：由題意可知，D={（x，y）|x+y=1}={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}，則D2dσ=∫10dx∫1-x02dy=1。

解法2：由題意可知，D={（x，y）|x+y=1}，則SD=12，則D2dσ=2Ddσ=2SD=1。

二、三重積分的應用

三重積分從定義角度來看只是比二重積分多了一個因變量，也就是多了一個空間維度，從幾何角度，理論上三重積分通過對函數進行積分，得到一個四維空間圖形，由于我們不討論四維空間，所以對三重積分的應用我們主要討論物理學上的空間立體的質量問題。

（一）空間立體的質量

現有一立體物體，將其放入空間直角坐標系中，所在位置為空間閉區域Ω，在點（x，y，z）處的體密度為μ（x，y，z），且μ（x，y，z）≥0并在Ω上連續，求這一立體的質量。

我們仍使用微元法進行計算：

首先，確定積分區域，用平行于坐標軸的網格把區域Ω劃分成n個小閉區域ΔxiΔyjΔzk（i=1，…，n；j=1，…，n；k=1，…，n）。

其次，取質量微元，由于該物體在點（x，y，z）處的體密度為μ（x，y，z），則由質量=體密度×體積，可得質量微元為dm=μ（x，y，z）dxdydz。

最后，對質量微元進行積分，求得該物體的質量為m=Ωμ（x，y，z）dxdydz。

例5：有一物體在點（x，y，z）處的體密度為μ（x，y，z）=x+y+z，在空間中所占閉區域為Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，計算該物體的質量。

分析：根據題意可知，這個物體的質量微元為dm=（x+y+z）dxdydz，對質量微元在積分區域Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}上進行三重積分，即可得到物體的質量。

解：由題意可知，積分區域Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，則該物體的質量為：

m=Ωμ（x，y，z）dxdydz

=∫10dx∫10dy∫10（x+y+z）dz

=32

（二）積分圖形的體積

由前文用三重積分計算空間立體質量的過程，我們可以發現，當微元中小立體的體密度為1時，小立體的質量即為積分區域ΔxiΔyjΔzk的體積，由此可見，當空間立體劃分出的任意小立體的體密度都近似為1，即μ（x，y，z）=1時，立體物體的質量即為積分圖形的體積，即VΩ=Ωdxdydz。這個過程與用二重積分計算積分區域面積是一脈相承的。

例6：已知空間立體圖形的體密度為μ（x，y，z）=6，質量為487，求該空間立體圖形的體積。

解：m=Ω6dxdydz=6Ωdxdydz=487，

則VΩ=Ωdxdydz=87。

三、二重積分和三重積分的聯系

二重積分和三重積分作為重積分中我們重點研究的兩類積分，它們之間有著密不可分的聯系，從定義上，我們可以發現它們只有因變量個數，即空間維度的差別；從分析方法上，它們都使用了微元法的思想，都經歷了分割、近似求和、取極限的過程；從應用角度，我們也不難發現，它們都可以用于同一種問題的解決——空間立體體積問題。

由前文可知，二重積分可用于計算曲頂柱體的體積，又由三重積分可以計算積分圖形的體積這一性質，可以把要求的立體看作積分區域，從而利用三重積分求出體積。

例7：計算由x=1，y=x，y=2x，z=0及z=5-x2-y2所圍成的立體體積。

解法1：利用二重積分求以z=5-x2-y2為頂，D={（x，y）|x=1，y=x，y=2x}為底的曲頂柱體的體積。

解：由題意可知，積分區域為：

D={（x，y）|x=1，y=x，y=2x}={（x，y）|0≤x≤1，x≤y≤2x}

則立體體積為：

V=Df（x，y）dxdy

=∫10dx∫2xx（5-x2-y2）dy

=53

解法2：利用三重積分求由z=5-x2-y2和x=1，y=x，y=2x，z=0圍成的積分圖形體積，從而求得這個立體的體積。

解：由題意可知，積分區域為：

Ω={（x，y，z）|x=1，y=x，y=2x，z=0，z=5-x2-y2}

={（x，y，z）|0≤x≤1，x≤y≤2x，0≤z≤5-x2-y2}

則該立體體積為：

V=Ωdxdydz

=∫10dx∫2xxdy∫5-x2-y20dz

=53

由例7的兩種解法，我們發現重積分計算間的交叉，可以通過理解角度及難易程度選取適當的方式解決求空間立體圖形的體積問題。同樣的問題也適用于定積分和二重積分之間，即可根據實際情況選擇用于解決求平面圖形面積問題的方法。

結語

重積分在解決幾何學和物理學問題上有著至關重要的地位，針對不同的實際問題，我們可以通過不同情況選取二重積分、三重積分，甚至更多重的積分進行解決，在這個過程中，我們也可以使用數學軟件將抽象數學問題轉化為生動具體的圖形問題，從而建立實際問題—數學問題—圖形問題的解題鏈條，促進學生形成解決問題的思路。

參考文獻：

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基金項目：齊齊哈爾大學教育教學改革研究項目（GJZRYB202405）

作者簡介：張宇（1998—"），女，漢族，黑龍江齊齊哈爾人，碩士研究生，助教，從事高等數學課程教學研究；張權（1978—"），男，漢族，黑龍江齊齊哈爾人，博士研究生，副教授，從事高等數學課程教學研究。