基于斯特林熱機的熱力學第二定律實驗探究

摘"要：本文基于氣壓傳感器和簡易的斯特林熱機搭建了一套熱機效率測量系統，實現了對斯特林熱機過程中Vt、pt關系曲線的測量；結合兩種曲線，得到了pV關系曲線并對其進行函數擬合；根據pV關系函數，結合原理公式，計算得到了斯特林熱機的效率和輸出功率。本文對30組數據進行分析，最終的熱機平均效率為8.06%，輸出功率為29.96W，誤差不超過2%，表明熱機運行穩定。實驗中對熱源增加隔熱箱，減少熱量向外界散失，增加了熱杠內氣體對熱量的吸收，提高了熱效率。本測量系統可用于斯特林熱機工作過程的演示和熱機效率及功率的測量。

關鍵詞：斯特林熱機；pV關系；熱機效率；熱力學第二定律

1"概述

熱力學第二定律是熱學中描述能量轉換方向性的基本定律，它揭示了熱能轉換過程中的不可逆性和熵增原理。在實際應用中，熱機作為將熱能轉換為機械功的設備，其效率和性能直接受到熱力學第二定律的制約。熱機種類很多，按照工作物質接受燃料釋放能量的方式不同，可分為內燃機和外燃機。斯特林熱機是一種閉式循環往復活塞式外燃發動機［12］。理想斯特林熱機的循環過程包括兩個等溫過程和兩個等體過程，其效率與卡諾循環的效率相接近。在科學研究和工程技術領域，斯特林熱機因其高效率和低排放的特點備受關注，它在廢熱回收、分布式能源系統以及熱電轉換等領域有著廣泛的應用前景［35］。

在“熱學”課程教學中，《熱力學第二定律》和《卡諾循環》是重要的章節，而熱機作為載體，歷來受到重視，很多學者對熱機相關的教學進行了研究，特別是斯特林熱機的效率等方面［69］。然而，大多數研究關注于效率的提高，較少涉及對熱機循環過程中的pV關系的研究。pV關系是學生理解熱力學循環過程的重要工具，目前對斯特林熱機pV圖像的測量尚缺少簡易的儀器。因此，開發一套便攜的斯特林熱機效率測量系統，測量pV圖像，并探索提高其能量轉換效率的方法，將有助于深化學生對熱力學第二定律的理解，同時為斯特林熱機的進一步研究和應用提供實驗基礎和教學參考。

2"實驗設計方案

整個實驗系統由硬件和軟件組成，硬件主要包括簡易斯特林熱機、氣壓傳感器、電腦和錄像設備，如圖1所示。軟件包括Dispro（壓力測量組件）和Tracker［8］。簡易斯特林熱機由兩個氣缸（試管）、一個飛輪、兩組傳動機構以及主體支架組成，以酒精燈作為熱源。當置換活塞靠近熱源時，熱機內大部分被加熱的氣體進入冷缸，并對外界做功，使冷缸中氣體冷卻壓縮，動力活塞帶動與飛輪連接的置換活塞運動，置換活塞遠離熱源，使氣體進入熱缸重新加熱并膨脹，氣體進入冷缸推動動力活塞做功。動力活塞帶動飛輪轉動，從而使置換活塞靠近熱源，將更多被加熱的氣體壓入冷缸，如此反復構成了斯特林熱機的工作循環。

圖1"實驗裝置圖

利用Dispro軟件實時記錄冷缸內氣壓隨時間的變化曲線pt，同步操作錄像設備對動力活塞的位置進行實時監控，得到氣體體積隨時間變化曲線Vt，將兩種曲線相結合，得到熱機工作時的pV圖像。

3"實驗原理

3.1"氣缸體積測量

假設動力活塞處于標尺上的0刻度位置時，熱機內氣體體積為V0，則動力活塞在位置y處時，氣體體積為：

V=V0+πr2y（1）

式中r為冷缸的半徑。通過測量y隨時間的變化關系，也就得到了體積V隨時間的變化關系。

3.2"熱機效率及輸出功率

熱機循環為正循環，該循環過程在pV圖上是沿順時針方向進行的，系統對外界做的功大于外界對系統做的功，二者代數和為整個循環過程系統對外做的凈功，在數值上等于曲線包圍的面積。為方便起見，將循環過程分成吸熱過程和放熱過程。假設整個循環過程中，系統從外界吸收的熱量和對外界放出的熱量分別為Q吸和Q放（絕對值），則系統對外做的凈功A凈=Q吸-Q放＞0。熱機的輸出功率為：

P=A凈t=Q吸-Q放t（2）

式中t為做功的時間。

熱機效率為：

η=A凈Q吸=Q吸-Q放Q吸=1-Q放Q吸（3）

根據熱力學第一定律和理想氣體狀態方程，可得吸熱過程系統從外界吸收的熱量為：

Q吸=i2（p2V2-p1V1）+∫V2V1p吸dV（4）

在上式中，i表示氣體自由度，p1和V1分別表示初態的壓強和體積，p2和V2分別表示末態的壓強和體積，p吸表示吸熱過程的壓強。

同理可得，放熱過程中系統對外界放出的熱量：

Q放=i2（p2V2-p1V1）-∫V1V2p放dV（5）

將Q吸、Q放計算出來代入公式（2）和公式（3），即可計算出熱機的輸出功率及熱機循環的效率。氣缸內的工作物質為空氣，而空氣的主要成分為氮氣和氧氣，因此公式（4）和公式（5）中的自由度i近似值取為5。

4"實驗過程

（1）取出斯特林熱機放置在圖1所示的隔熱箱中，將熱機氣缸的氣壓測試接口與壓強傳感器軟管連接，連接處使用耐高溫的軟膠進行密封。

（2）將壓強傳感器與筆記本電腦連接，打開Dispro軟件，進入工作界面，設置正確的數據采集接口。在Dispro軟件的界面中，設置坐標軸參量和單位，將橫軸和縱軸分別設置為時間（s）和壓強（kPa）。

（3）點燃酒精燈，對熱缸中的氣體加熱。約1分鐘后，用手推動熱機飛輪，以輔助活塞進行循環運動，監控熱機直到其持續穩定運行。

（4）同時啟動壓強實時測量系統和錄像設備，記錄壓強和體積數據。測量約30s后，同時停止壓強測量和錄像設備，熄滅酒精燈。

（5）從錄像設備中提取活塞運動的視頻，使用Tracker軟件分析動力活塞位置隨時間的變化，利用公式（1）轉換為氣缸內空氣體積隨時間變化的數據，擬合得到Vt關系。

（6）從Dispro軟件中導出壓強測量數據，擬合得到pt關系，與體積數據結合得到pV關系數據。選取10～15個周期的數據，擬合得到pV函數關系，并計算熱機效率和輸出功率。

（7）重復做30組實驗，并計算熱機效率和輸出功率及誤差。

5"實驗結果與分析

5.1"壓強隨時間的變化關系

氣缸中氣體壓強隨時間變化的關系如圖2所示，該曲線表明壓強具有明顯的周期性。對壓強時間數據進行擬合，如圖3所示，得到擬合函數為：

p=96.82197+9.27264sin［π（t-0.02067）/0.03608］（6）

該函數為正弦函數，周期約為0.072s。

圖2"壓強與時間的關系

圖3"壓強隨時間變化的擬合曲線

5.2"體積隨時間變化關系

根據公式（1）中活塞位置y隨時間的變化關系，得到氣缸的體積隨時間變化關系。對體積時間數據進行擬合，如圖4所示，得到的擬合函數為：

V=1.65896+1.42622sin［π（t-0.07438）/0.03608］（7）

周期約為0.072s，與（6）式相同，表明體積與壓強的變化同頻，與理論上相符，也說明了兩個擬合函數是正確的。

圖4"體積隨時間變化的擬合曲線

5.3"壓強與體積的關系

根據pt和Vt關系得到的pV關系曲線如圖5所示，該曲線為閉合曲線。為了計算循環效率和功率，需要對pV關系曲線進行擬合，可以通過MATLAB軟件實現對該曲線的整體擬合，從而得到擬合函數。由于pV曲線閉合，該擬合函數的形式會極為復雜，不利于后續的積分運算，也可以通過公式（6）和公式（7）設法消去時間t，得到pV方程。該方程為斜橢圓方程，若采用該方程，后續的積分運算也將面臨較大困難。

圖5"MATLAB擬合函數pV圖像

為方便起見，將圖5中的pV關系曲線分成上下兩部分分別進行擬合。上部分與吸熱曲線相對應，吸熱部分擬合函數為：

p吸=-0.83557eV0.52926+128.44722（8）

下部分與放熱曲線相對應，放熱部分的擬合函數為：

p放=5307.71211e-V0.32543+77.01228（9）

兩部分的擬合函數都是指數函數，這樣后續的函數積分計算較為簡單，也便于學生理解。

圖6"熱機效率結果

5.4"熱機效率和輸出功率的計算

將擬合函數公式（8）和公式（9）分別代入公式（4）和公式（5）中，計算30組循環過程的吸熱和放熱，利用公式（3）計算各組循環的效率，如圖6所示。熱機效率處于7.79%～827%之間，平均效率為8.06%，相對誤差為1.44%。同時，根據公式（2）計算了30組的輸出功率，功率在29.52～3065W之間，平均功率為29.96W，相對誤差為0.98%。熱機效率和輸出功率的誤差較小，說明實驗過程中熱機工作穩定。另外，熱機效率與林雪松等人［8］的熱機相當，說明在熱機周圍包裹隔熱材料確實促進了熱缸內氣體對熱量的吸收，減少熱量向外界散失，有助于提高熱機效率。

結語

本文基于氣壓傳感器和簡易的斯特林熱機搭建了一套熱機效率測量系統，實現了對斯特林熱機過程中Vt、pt

關系曲線的測量。結合兩種曲線，得到了pV關系曲線并對其進行函數擬合。根據pV關系函數，結合原理公式，計算得到了斯特林熱機的效率和輸出功率。對30組數據進行分析，最終的熱機平均效率為8.06%，輸出功率為29.96W，誤差不超過2%，表明熱機運行穩定。實驗中對熱源增加隔熱箱，減少熱量向外界散失，增加了熱杠內氣體對熱量的吸收，提高了熱效率。本測量系統制作簡單、操作方便，可用于斯特林熱機工作過程的演示和熱機效率及功率的測量。

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作者簡介：葉潤（1991—"），男，漢族，湖北黃岡人，博士研究生，講師，主要從事正電子湮沒譜學研究及物理實驗教學研究。