數學建模在香港小學數學課程中的隱性體現

數學建模是培養學生批判性思維、創新能力和跨學科協作能力的重要途徑。通過將數學概念與實際問題情境相結合，數學建模能顯著提升學生解決復雜問題的能力[1，在數學世界與現實世界之間架起重要橋梁。國際學生能力評估項目（PISA）作為全球最具影響力的教育評估體系之一，其評估框架特別強調對學生數學素養的考查，尤其注重評估學生在真實情境中運用數學知識解決現實問題的能力，強調數學建模在培養學生21世紀技能中的核心作用[2-3]。盡管近年來部分國家和地區已將數學建模納入K-12課程[4]，但現有研究表明，相關教學實踐主要集中在高中階段，在小學等早期教育階段中的推廣較為有限[5]。

2017年，香港特別行政區政府教育局頒布的《數學教育學習領域課程指引（小一至中六）》以下簡稱《課程指引》）中提出，通過建模活動促進STEM教育的發展[6]。然而，關于建模活動具體實施的指引尚顯不足，缺乏系統化的教學路徑；多數教師對數學建模的認知仍停留在表面階段，在建模過程指導、跨學科整合及學生思維培養等方面的核心教學能力亟待提升。為此，《香港特別行政區行政長官2023年施政報告》提出，于2023、2024學年啟動小學數學建模先導計劃，旨在提升學生的共通能力（GenericSkills）并推動STEM教育，規劃至2025、2026學年結束前，每所學校至少安排1名數學教師接受建模專業培訓。數學建模能力的培養具有顯著的階段連續性和發展漸進性的特征，應當貫穿小學至中學階段的課程體系，以確保學生在不同階段獲得系統且持續的培養。因此，在小學階段系統引人建模教學具有重要意義，早期建模經驗的積累不僅能夠有效提升學生的數學建模意識與應用能力，更能為其后續的跨學科整合、STEM素養發展以及復雜問題解決能力的培養奠定必要的認知基礎。

盡管《課程指引》未明確提出建模教學目標，但隱性包含了與建模相關的數學邏輯和結構。根據Abramovich和Brouwer提出的隱性數學課程理論，學校教育中的數學活動雖表面獨立，但在邏輯和結構上共享相同的數學概念[7]。基于此，本文通過對香港小學階段《課程指引》進行文本分析，探討課程中隱含的數學建模理念與實踐要求，旨在為教師設計與實施相關教學活動提供依據與參考。

一、模型與數學建模

模型可分為物理模型、認知表征和數學模型。物理模型（如計數塊）能幫助學生將數學概念具體化。認知表征（如圖表）通過視覺化方式呈現數學信息。數學模型則利用符號和結構解釋或預測現實情境[8]。數學建模是一種以模型為核心的動態過程，通過數學工具解決現實問題。在小學階段，數學建模通常包括理解問題情境、構建模型、操作模型、改進模型、驗證并概括模型和報告結論等步驟（如圖1），并通過多向循環來區分與解決問題或數學概念應用的不同。

二、小學數學建模在香港課程文件中的體現及分析

盡管《課程指引》未將數學建模單列為課程的核心內容，但在課程宗旨、內容、組織及評價等方面均融入了建模理念，特別是在STEM教育和電子學習中數學建模發揮了重要作用。通過關鍵詞檢索，發現《課程指引》中\"模型”一詞共出現73次，涉及教學實踐、探究學習、跨學科活動和技術輔助教學等多個領域。例如，學生通過制作和操作模型來完成體積測量、幾何軌跡繪制等探究任務。在學習內容部分，“模型”概念被提及9次，包括幾何模型與數據模型兩大類別，是支持學生進行數據分析、結果表達及數學邏輯呈現的重要工具。教學實踐中，模型通常以符號、圖像和圖表等形式將數學與其他學科聯系起來，教師可以利用實物模型或動態幾何軟件培養學生的空間觀念與形象化認知。此外，“數學建模”一詞被直接提及4次，其中3次集中出現在“加強STEM教育\"部分，這一分布特征充分凸顯了數學建模作為跨學科整合的關鍵作用，在解決科學與技術領域復雜問題中的戰略性地位。本研究將從課程宗旨、課程內容、課程組織和課程評估四個維度，對《課程指引》中所蘊含的數學建模理念進行系統分析。

（一）課程宗旨中的建模理念

《課程指引》旨在培養學生的批判性思維、解決問題能力、邏輯表達能力、操作數字與符號的能力，以及對數學學習的積極態度。上述培養目標主要通過運用數學語言、數字和符號，發展邏輯推理與問題分析能力，解決數學或現實情境中的問題等途徑來實現。盡管課程宗旨未直接呈現“數學建模”這一術語，但其自標體系已隱含了建模能力培養的關鍵要素：通過多種形式表達數學思想、深化概念理解、增強邏輯分析能力。這為學生從問題識別到數學化抽象及模型構建的全過程學習奠定了基礎。這一隱含的建模理念為小學階段建模能力的培養提供了理論依據與實踐方向。

《課程指引》主要從四個方面強化了數學建模的實踐路徑。第一，推廣STEM教育。通過跨學科活動整合數學與科學、技術和工程，培養學生構建模型解決實際問題的能力，促進學生綜合思維與創新能力的發展。第二，推進電子學習的實踐。通過整合建模軟件和在線學習工具，實現數學概念的可視化和動態化，并通過即時反饋改進建模方案。第三，跨學科學習。通過強化數學表達和邏輯推理，支持學生建模思維的發展和學科間的知識整合。第四，共通能力培養。通過發展學生的協作能力、創造力、批判性思維和解決問題能力等，為其完成復雜建模任務打下基礎。這些方面有效擴展了建模的學習情境，并為多學科背景下的實踐活動提供了系統性支持。

（二）課程內容中的建模理念

小學數學課程涵蓋數、代數、度量、圖形與空間以及數據處理五個學習范疇，通過漸進式學習設計，逐步培養學生的數學推理能力與建模思維。第一學習階段（小學一年級至三年級）以具體操作和實踐任務為主，通過熟悉的生活情境，引導學生從現實問題中提取數據并構建初步數學關系。例如，通過“貨幣\"和“時間\"相關任務引導學生借助基礎運算與數據整理，初步感知數學在日常生活中的應用，為后續建模能力的培養奠定基礎。第二學習階段（小學四年級至六年級）則引入更復雜的任務，著重培養學生的模型構建與應用能力。例如，通過“橡皮筋動力車\"任務引導學生結合物理和數學模型，經歷設計、測量和數據分析等過程，學會從實際現象中提取關鍵變量，構建速率計算的數學關系，并優化模型，以探究能量轉移和動力特性。這種任務既體現了基于STEM教育的建模實踐，也通過螺旋式學習深化了對跨學科問題的理解。又如，“立體圖形的截面”任務，利用幾何模型幫助學生探索立體圖形的平面屬性，學生通過動態工具的可視化操作，直觀理解立體圖形的結構與空間關系。此外，統計單元中的分類、統計圖表制作和趨勢分析等學習任務，為學生提供了描述性與預測性建模的實踐機會。上述任務通過符號、圖表和數據等多元數學表征形式，系統培養學生的邏輯推理與問題解決能力，并增強其在現實情境中靈活應用數學的能力。

（三）課程組織中的建模理念

《課程指引》強調教師應采用多元化教學模式，通過靈活運用直接講授、探究式學習和共同建構式學習等策略，促進學生對數學知識的理解和意義建構，同時培養其通用能力、正面價值觀和積極學習態度。數學建模教學應以學生為中心，通過整合信息技術，為學生提供多樣化的實踐路徑。探究式學習應通過小組討論、實驗操作和開放性任務，引導學生逐步體驗從數據抽象到模型優化的動態循環。共同建構式學習應依托班級學習共同體的合作模式，增強學生在建模任務中的協作和表達能力，這些能力在完成跨學科學習或數據分析等復雜任務時同樣需要。

全方位的學習拓展了數學建模的實踐場域，使學生能夠在真實情境中體驗數學的應用價值。教育研究者應與一線教師協同設計和開發與學校文化及社區背景深度融合的數學建模任務，從而構建課堂學習與真實世界之間的意義聯結。在真實的社會文化情境中，數學建模教育應著重展現社會現象的復雜性，并通過設計差異化的建模任務，引導學生有效區分基于經驗證據的科學問題與植根于價值體系的社會議題。當學生感知到問題背景的意義、數學與現實世界的聯系，其學習動機和參與度就會顯著提高。例如，統計調查、數學游戲和跨學科競賽等實踐活動，不僅能夠培養學生的社會責任感，更能顯著提高其綜合問題解決能力。此外，信息技術能夠通過動態幾何軟件、數據分析工具和電子平臺等形式直觀呈現數學概念，并優化模型設計，配合教學視頻和預習材料等資源，進一步支持學生自主探究與學習空間的拓展，從而顯著提升建模教學的效果。

（四）課程評估中的建模理念

《課程指引》對數學教學提出了五種評估模式，具體包括課堂討論、課堂作業與家庭作業、專題研習探究式作業與實作評量以及測驗與考試。這些數學評估活動為數學建模的教學與評估提供了多維支持。課堂討論作為重要的教學策略，通過引導學生展示建模過程中的思考與推理，為教師提供了評估學生數學化能力、表達能力及團隊合作意識的有效途徑。《課程指引》特別強調通過動態反饋和形成性評估工具（如觀察清單、文檔記錄和電子平臺），實現對學生思維軌跡的實時捕捉和精確分析。課堂作業與家庭作業通過設計與實際生活相關的小型建模任務（如記錄家庭用水量并繪制趨勢圖），幫助教師評估學生在數據處理、模型建構和問題解決方面的能力，并促進學生將數學知識應用于解決現實問題。專題研習通過評估學生的策略運用、方法適切性、研究深度、內容準確性、表達與溝通能力及學習態度，系統考查學生在具體問題情境中的數學應用水平。探究式作業與實作評量強調動手操作和合作解決數學問題（如“測量不規則物體的體積”），并結合電子評估工具為教師提供即時反饋，進一步優化建模過程。盡管小學階段的測驗與考試較少涉及復雜建模任務，但通過簡化的應用型題目（如“計算花園面積\"或“優化活動場地設計\"）仍能有效評估學生在數據處理與建模能力上的表現。

三、研究結論及建議

（一）建模能力的隱性體現與評估完善

盡管《課程指引》未將數學建模單獨列為課程核心內容，但其理念已通過顯性與隱性相結合的方式，融入課程的宗旨、內容、組織與評估之中。顯性部分主要體現在STEM教育與電子學習的教學實踐中，涵蓋模型應用、數據分析和跨學科任務設計等內容；隱性部分則通過培養學生的批判性思維、問題解決能力和跨學科應用能力，為數學建模提供了基礎框架。在具體學習活動中，學生逐步經歷了建模的關鍵步驟，即問題構建、模型簡化、數學化及結果解釋，并深化了對建模過程的理解與應用。這種隱性建模訓練可能與學生高階建模能力的形成存在潛在教育關聯。

然而，《課程指引》在數學建模的教學目標與評估機制方面尚存不足，既未明確建模能力的具體培養目標，也未清晰界定學生在建模全過程中應掌握的核心步驟與技能。這種缺失導致教師在教學中缺乏明確的指導，難以系統地引導學生完整體驗建模過程，從而制約了建模教學的效果。為完善數學建模的教學與評估，建議在《課程指引》修訂中顯性整合建模任務，并明確其培養目標。例如，澳大利亞課程標準為不同學段的數學建模教育任務提供了清晰的水平描述和成就標準，系統規劃學生在建模過程中需掌握的關鍵能力，如構建問題、簡化問題、數學化、運算及解釋結果等。同時，《課程指引》應系統呈現建模各環節在課程中的具體要求，并建立涵蓋建模全過程的評估框架，為教師提供具有操作性的指導。

（二）建模與課程內容的匹配與任務設計

當前建模課程設計主要聚焦于數學任務的設定，以教材作為主要執行工具，但未能充分體現數學建模的跨學科特點。盡管《課程指引》倡導通過專題研習和跨學科學習等方式推動數學建模的實施，并設計了如“橡皮車實驗\"等教學活動，但這些任務主要集中于數學模型的應用層面，在建模過程的系統引導方面仍存在明顯不足。此外，在STEM活動中，數學模型往往被簡化為輔助工具，其作為跨學科整合核心媒介的功能尚未得到充分發揮。

為實現數學建模任務與課程內容的有效匹配，未來新修訂的《課程指引》需強化對建模任務設計的支持：一方面，《課程指引》應豐富教學案例和資源，結合專題研習與探究式學習開發以數學建模為核心的跨學科活動任務；另一方面，《課程指引》需要系統地規劃各學段適宜的建模任務主題及其難度梯度，促進建模任務與課程目標的深度融合。然而，有效實施數學建模教學不能僅依賴課程文件，還需要提升教師的數學建模素養。Suh等人指出，教師需要具備數學建模的“眼晴和耳朵”，才能敏銳地識別課程目標與學生生活經驗之間的潛在聯系。教師設計的建模任務要注重與課程內容的匹配性、與學生生活的相關性、情感和同理心的融入、流程技能的培養以及社會責任意識的提升[10]。從某種意義上來說，這是用新課標提出的“以數學的眼光觀察現實世界\"來要求數學教師。教師若能從校園管理或社區環境中發掘建模的學習機會，設計貼近學生興趣的任務，不僅能幫助學生鞏固數學知識，還能通過真實情境提升學生的跨學科能力和社會責任感。

（三）建模教學與電子信息技術

《課程指引》所倡導的電子學習平臺和虛擬模型主要用于數學概念的可視化呈現和教學輔助，但未能有效支持學生完整經歷數學建模的全過程。現有技術工具的應用多局限于知識傳遞，難以深入建模的關鍵環節，這在一定程度上限制了建模活動的深度開展及其跨學科價值的發揮。未來的《課程指引》應重視電子信息技術在數學建模教學中的應用，通過整合互動的電子學習軟件、數據分析工具、虛擬仿真平臺和增強現實（AR）技術，支持學生全面參與建模過程[11]。

需要特別強調的是，AR技術為建模教學提供了新的可能性。研究表明，AR不僅能夠實現幾何概念的多維可視化，還可以通過動態提示系統為建模過程的多個階段提供支持（如問題構建、數學化和結果解釋）。例如，在德國MathCityMap項目中（https：//mathcitymap.eu/de/mcm-meets-augmented-reality -2/ ），學生使用配備AR功能的移動應用程序，通過測量、計算和數據分析完成任務，成功實現從現實情境到數學模型的轉化。AR技術通過連接真實與虛擬環境，幫助學生在現實情境中操作虛擬對象并構建數學模型，增強學生對抽象數學概念的理解，并引導其推進建模進程。這種基于可視化的交互功能彌補了現實情境與數學模型之間的認知差距，同時豐富了學生的建模實踐經驗，提升了學生的問題解決能力。當前智慧教育技術發展迅猛，如何在電子學習平臺上進行數學建模教學或是將來需要探討的方向。

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