數形\"共生 助行“推理

小學生的數學思維具有直觀性和形象性的特點。在數與代數教學中借助幾何直觀，開展觀察、實驗、分析、推理、直觀想象等數學活動，有助于學生抽象邏輯思維的發展。本文以《數與形》教學為例，依據學情設計教學活動，探討如何引導學生在探索規律和解決問題的過程中，利用幾何直觀來發展推理意識。

一、課前審思：前測反饋明需求

為了更好地了解學情，筆者在教學前對六年級80名學生進行前測，前測的題目如下所示。

1.寫一寫、畫一畫：看到數“16”，你會想到什么？

第1題中，大多數學生能夠通過算式來表示，主要有乘法算式4×4、2×8或加法算式8+8、10+6\"等。有27人用圖形來表示“16”，其中26人用“ 4× 4\"的格子圖來表示，僅有1人用“ 4×2×2 “的長方體圖來表示。這表明學生主動用圖形表達數的意識尚顯不足，表達方式相對單一。第2題中，第（1）個算式的正確率達到了 91.25% ，但大多數學生采用通分的方法求解，僅有7人是借助圖形（如圖1），通過1-1/16 的方法來求解。第（2）個算式的正確率僅為 23.75% ，大部分學生無法通過通分計算出正確結果，也缺乏嘗試利用圖形分析問題的意識。

綜上所述，盡管學生對“數\"已有一定的知識儲備，但缺乏“形\"的多樣表征，且數、式、形三者之間的聯系不夠緊密，缺乏借助“形\"進行數學推理和解決問題的意識和能力。基于這些現實，在“數與形”的教學中，教師應當培養學生圖形表征的能力，加強聯系對比，使學生感悟到利用幾何直觀進行數學推理和解決問題的優勢。

二、課中實施：數形相輔重關聯

要借助幾何直觀來提升推理意識，學生必須具備一定的幾何直觀素養，即不同的表征方式。因此，教師在教學中要設計“一個形有不同式的表征”

“一個式有不同形的表征\"的探究活動，讓學生理解“以數解形\"和“以形助數\"的數形結合思想，從而促進學生推理意識的發展。

（一）一形多式，一式多形，豐富表征

式和形都是數的表征方式，形的表征使抽象的數學問題直觀化，式的表征則揭示了圖形的特征和規律。同一圖形通過不同的角度，可以呈現出多種表達式，同一個式也可以用不同圖形來表征。

在教學中，教師出示“ 4×4 ”的格子圖并提問：“在前測中，許多同學用‘4×4’的格子圖來表示16，你們還能在這個格子圖中找到除‘4×4’以外的其他算式嗎？”

教師引導學生從不同角度進行觀察，學生主要提出了3種思路（如圖2）。

第1種：按圈觀察，得出 12+4=16 。

第2種：斜向觀察，得出 1+2+3+4+3+2+1=16 0第3種：L形觀察，得出 1+3+5+7=16。

師：你們從一個正方形出發，找到了這么多不同的算式。那么，這些算式之間有聯系嗎？

引導學生發現“一個圖形可以用不同式進行表征”，并通過比較發現內在的聯系。

師：我們依據這樣的L形分割，得到了“ 1+3+5+7=16”這個算式，這個算式還能用其他圖形表示嗎？

生：算式 1+3+5+7=16 可以表示為近似梯形的圖形（如圖3）。

師：那這個形的模樣還可以表示為其他式的模樣嗎？

生： （1+7）×4÷2=16。

引導學生探究“從同一個式出發可以用不同圖形進行表征”，算式 1+3+5+7=16 不僅可以表示為正方形，還可以表示為近似梯形。本環節旨在通過引導學生對“形”和“式”進行深入研究，在已有的知識體系上進一步豐富“ 4×4 格子圖（正方形）”，深入挖掘幾何直觀素材，提升學生的幾何直觀素養，為學生利用幾何直觀來發展推理意識創造了條件。

（二）建立聯系，形式統一，促進推理

為了豐富學生的多種表征，教師設計了對比溝通的環節，讓學生體驗多種表征方式之間的內在聯系。通過圖形的直觀展示，可以清晰解釋式的由來；通過圖形的變化，揭示式與式之間的轉化；通過圖形的表征，說明式的規律，從而進一步發展學生的推理意識。

師：你們能解釋算式 （1+7）×4÷2=16 是怎么來的嗎？請具體說明。

生：可以拼接一個相同的圖形（如圖4），每一行的小正方形個數都是 1+7個，共有4行，實際個數是當前的一半，因此需要除以2。

師：“1+3+5+7=16”這個等式可以用正方形和近似梯形這兩種圖形來表征，它們之間存在聯系嗎？

生：把L形一層層拉直，就可以形成近似梯形的圖形。

生：在近似梯形的圖形上切一刀并補到另一邊（如圖5），又可變為正方形。

師：通過觀察直觀的圖形，來說一說，等式之間

是否存在聯系？

生： 1+3+5+7=（1+7）×4÷2=4×4。

師：我們剛剛深入研究了算式“1+3+5+7” ，它本身有規律嗎？你還能按照這個規律繼續寫下去嗎？

生：后一個加數比前一個加數多2，如 1+3+5+ 7+9，1+3+5+7+9+11，1+3+5+7+9+11+13？s

師：你能計算出這些算式的結果嗎？

生：可以逐個相加計算。

生：可以先想象出它們表示的圖形的樣子，如4“1+3+5+7+9”可以想象成“5×5”的正方形圖，因此1+3+5+7+9=5×5 ，結果是25；也可以想象成近似梯形，利用 （1+9）×5÷2 來求解。

師：這幾種方法你更喜歡哪一種，為什么？

生：我更喜歡用圖形表征來求解的方法，把 1+ 3+5+7+9 轉化為“5×5”的正方形或近似梯形來求解更方便。

師：為什么是“ 5×5 ”的正方形？

生：有5層，5個數相加就是邊長為5的正方形。近似梯形也是5個數5層。

師：下一個加數比前一個加數多2，這個2體現在哪里？

生：從上一層移動到下一層時，兩端各增加了2個小正方形（如圖6）。

師：如果一直加下去， 1+3+5+7+9+…+n 的結果會是什么呢？

生：可以將它想象成正方形或近似梯形，幾個數相加就是邊長為幾的正方形。

師：那么怎么確定一共有幾個數呢？

生：當5個數相加時，最外層是9，也就是邊長 × 2減去重復數的1個是9個，因此可以用 （9+1）÷2 來計算邊長。同理，如果加到 n ，就用 （n+1）÷2 來計算（如圖7）。

引導學生通過算式“1+3+5+7+9”表征的圖形想象出算式"1+3+5+7+9+…+n表征的圖形，以此推導出更復雜的式的結果，發展學生的推理意識。在這一過程中，學生體驗到多種表征之間的內在聯系，初步認識到利用幾何直觀進行推理活動的優勢。

（三）基于表征，運用聯系，解決問題

在前面的學習中，學生已經建立了豐富的表征方式，并在交流中體驗了多種表征方式之間的聯系。在此基礎上，教師要引導學生在解決問題時選擇合適的表征方式，進一步讓學生體會到利用幾何直觀進行推理和解決問題的優勢。

在教學中，教師運用課件動態展示螺旋線的生成過程（如圖8），并提問：“圖8中包含6個正方形，利用它們的邊長畫出一些弧線，這些弧線可以構成一條美麗的螺旋線。根據這個圖形，你能用式子表示出第7個正方形中的弧長嗎？”

學生經過獨立思考后，教師組織反饋，通過交流得出弧長的計算方法和結果。

教師引導學生進一步思考：觀察圖8中的圖形和下列算式，填一填，并說明理由。

三、課后反思：數形關聯顯價值

在教學中，為什么要強調式與形之間的互譯與聯系，并利用幾何直觀來培養學生的推理意識？筆者通過教學實踐，深刻體會到其重要性，主要體現在以下幾個方面。

（一）體會式形的關聯性

幾何直觀能夠將抽象的數學概念和問題轉化為直觀的圖形或圖像，從而幫助學生快速地把握問題的本質。在幾何直觀素養的發展上，學生若缺乏豐富、多元的表征方式，其發展就會受到阻礙。因此，在教學中教師應致力于幫助學生積累算式與圖形互相表征、轉化的經驗，提供相關素材和思辨機會，以促進學生形成式與形互相關聯的意識和能力。

（二）體驗思考的簡潔性

幾何直觀有助于簡化復雜的推理過程，避免學生陷入煩瑣的計算中，從而體驗到思考的簡潔性，并感受到數學學科各領域間的融通思維所產生的力量。例如，在后測中，學生再次解答\"1/2+1/4+1/8+1/16……+1/1024\"時，正確率達到 88.75% 盡管在本課教學中未對本題進行講解，但大多數學生能夠利用圖形來解決問題，這表明學生在體會到圖形助力推理的簡潔性后，能夠將其作為一種自覺的選擇。

（三）形成思維的策略性

利用幾何直觀進行推理和解決問題，是一種有效的思維策略。這種策略能夠幫助學生在面對復雜的數學問題時，靈活運用不同的方式進行思考。多角度的思考不僅有助于提升學生的抽象邏輯思維和創新能力，還能加深數學理解的深度，從而進一步提升數學學習品質。

參考文獻：

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[3]華松，陳維花.巧用幾何直觀，明晰推理路徑：圖形推理題目一組[J].教育視界，2024（7）：76-78.

（1.浙江大學教育學院2.杭州師范大學經亨頤教育學院3.浙江省杭州市采荷第二小學）