探索兒何思維發(fā)展的新路徑

范希爾理論指出，學(xué)生的幾何思維是一個(gè)循序漸進(jìn)、由淺入深的過程，具體分為五個(gè)思維水平，分別是視覺水平、分析水平、非形式化的演繹水平、形式化的演繹水平和嚴(yán)密性水平。該理論既可用于診斷學(xué)生的幾何思維水平，也可以作為教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的依據(jù)。特級(jí)教師袁曉萍老師的“不可能的三角形\"教學(xué)，正是巧妙地應(yīng)用了這一理論，通過“破壞”這一反向操作，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角審視三角形的特征，深化對(duì)三角形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生通過觀察、操作、推理等多種方式，經(jīng)歷從直觀感知、操作實(shí)踐到演繹推理的過程，真正實(shí)現(xiàn)了教師教學(xué)水平與學(xué)生學(xué)習(xí)水平的有效對(duì)接，使形式化的演繹思維在學(xué)習(xí)過程中遂漸生發(fā)。

【教學(xué)片段1直觀感知：認(rèn)識(shí)三角形的基本要素

（一）建構(gòu)：厘清三角形的基本要素

師：一個(gè)三角形有三個(gè)角，請(qǐng)問它還有什么？生：三條邊。師：還有其他什么嗎？生：還有三個(gè)頂點(diǎn)。師：很好，角、邊和頂點(diǎn)是我們研究三角形時(shí)非常重要的要素。那么，今天我們就從這三個(gè)要素出發(fā)來(lái)研究三角形。

（二）解構(gòu)：反向研究三角形的基本要素

師：我們的任務(wù)不是制造三角形，而是“破壞”三角形。想一想，有沒有三條線段怎么圍都圍不成三角形？有沒有三個(gè)角怎么搭都搭不成三角形？有沒有三個(gè)點(diǎn)怎么連都連不成三角形？誰(shuí)可以用最強(qiáng)大腦來(lái)設(shè)計(jì)，來(lái)做\"破壞\"設(shè)計(jì)師？

（學(xué)生躍躍欲試）

【賞析】此階段的教學(xué)對(duì)應(yīng)范希爾理論的視覺水平階段，即學(xué)生能夠直觀識(shí)別圖形差異的階段。現(xiàn)行教材對(duì)“三角形”單元教學(xué)內(nèi)容的編排，都是將“從三角形的認(rèn)識(shí)到三角形的三邊關(guān)系、分類以及三角形的內(nèi)角和”等內(nèi)容層層推進(jìn)。然而，這樣的教學(xué)過程與學(xué)生已有的知識(shí)水平并不協(xié)調(diào)。實(shí)際上，在教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有了一定的認(rèn)識(shí)。因此，他們?cè)跀?shù)學(xué)課堂上往往表現(xiàn)出缺乏興趣的狀態(tài)，仿佛在配合教師進(jìn)行一場(chǎng)表演。袁曉萍老師充分尊重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)新性地打破了傳統(tǒng)教學(xué)，從三角形的三個(gè)基本要素——邊、角和頂點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生共同進(jìn)行探索性的“破壞”，挑戰(zhàn)不可能存在的三角形。在這一過程中，學(xué)生真正成為課堂的主體，化身為“破壞”設(shè)計(jì)師，探索欲望和學(xué)習(xí)積極性被充分激發(fā)，從而主動(dòng)且有效地對(duì)三角形進(jìn)行探索。

【教學(xué)片段2】操作實(shí)踐：探究三角形的構(gòu)成條件

（一）教師發(fā)布任務(wù)

1.破壞“邊”：怎樣的三條線段是圍不成三角形的？2.破壞“角”：怎樣的三個(gè)角是搭不成三角形的？3.破壞“點(diǎn)”：怎樣的三個(gè)點(diǎn)是連不成三角形的？

（二）分析學(xué)生作品

師：我們要求破壞三條邊，讓它們?cè)趺磭紘怀扇切巍＿@個(gè)圖形（兩邊之和等于第三邊，如圖1所示）可以搭成三角形嗎？

生：不可以。

生：如果這兩條線段無(wú)限延伸，是可以搭成一個(gè)三角形的。

師：這名同學(xué)提醒我們要腦補(bǔ)，想象兩條線段無(wú)限延伸是可以搭成三角形的。但按自前三條線段的長(zhǎng)短是無(wú)法搭成三角形的，那么這個(gè)三角形有沒有破壞成功？

生：破壞成功了。

師：這個(gè)圖形（如圖2），一個(gè)角是直角，另一個(gè)角也是直角，延伸后可以搭成三角形嗎？

生：不可以。

師：經(jīng)過觀察，怎樣的三個(gè)角是無(wú)法搭成三角形的？

生：如果有兩個(gè)角都是直角就無(wú)法搭成三角形。

師：那么，請(qǐng)你們?cè)傧胂笠幌拢粋€(gè)直角、一個(gè)鈍角或兩個(gè)都是鈍角組成的圖形，結(jié)果會(huì)有所不同嗎？

生（齊）：不會(huì)。

師：那些點(diǎn)排成一條直線（屏幕出示），為什么就不能連成一個(gè)三角形呢？

生：這些點(diǎn)其實(shí)已排成了一條直線。

【賞析】此階段的教學(xué)對(duì)應(yīng)范希爾理論的分析水平、非形式化的演繹水平階段，是認(rèn)識(shí)三角形的核心環(huán)節(jié)。學(xué)生通過動(dòng)手操作，驗(yàn)證了直觀感知階段形成的假設(shè)，并進(jìn)一步探究了三角形的構(gòu)成條件。例如：在破壞“邊”的任務(wù)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩條邊與第三條邊重合時(shí)，無(wú)法構(gòu)成三角形；在破壞“角”的任務(wù)中，學(xué)生意識(shí)到兩個(gè)角之和大于或等于

180度時(shí)，就無(wú)法構(gòu)成三角形；在破壞“點(diǎn)”的任務(wù)中，學(xué)生觀察到當(dāng)三個(gè)點(diǎn)位于同一條直線上時(shí)，也無(wú)法構(gòu)成三角形。這些觀察和發(fā)現(xiàn)的結(jié)果都強(qiáng)調(diào)了操作確認(rèn)階段的重要性。袁老師在整節(jié)課中都采用了反向設(shè)計(jì)，通過“破壞式”的學(xué)習(xí)策略，引導(dǎo)學(xué)生思考邊、角、點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。將三角形的相關(guān)知識(shí)，包括邊、角、頂點(diǎn)，以及三邊關(guān)系和內(nèi)角和等內(nèi)容，巧妙地融入到“破壞”活動(dòng)中，使學(xué)生在“破壞”的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步明確能構(gòu)成三角形的正向因素，并揭示了三角形的本質(zhì)屬性。

【教學(xué)片段3】演繹推理：發(fā)現(xiàn)“不可能”的三角形

（一）延展單元場(chǎng)域

師：同學(xué)們，今天學(xué)習(xí)的“不可能的三角形”內(nèi)容，并不是教材“三角形”單元中編排的教學(xué)內(nèi)容。那么，今天這個(gè)“破壞”三角形活動(dòng)有意義嗎？

生：有意義。

師：請(qǐng)大家大膽猜測(cè)一下，這一內(nèi)容將與我們后續(xù)學(xué)習(xí)的哪一節(jié)課有關(guān)系？

生：三角形的認(rèn)識(shí)。

生：三角形的三邊關(guān)系。

生：三角形的內(nèi)角和。

生：好像跟三角形的很多內(nèi)容都有關(guān)系。

（二）延展學(xué)法場(chǎng)域

師：根據(jù)這節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)“三角形\"單元。想一想，你們會(huì)用到什么學(xué)習(xí)材料，并用什么學(xué)習(xí)方法來(lái)學(xué)習(xí)？

生：今天用過的學(xué)習(xí)材料還可以再用。

生：我知道，還會(huì)用到量角器、直尺等學(xué)習(xí)工具。

（三）延展學(xué)習(xí)場(chǎng)域

師：在“三角形”單元的學(xué)習(xí)中，我們就可以用今天學(xué)過的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)材料，把“不可能\"變成“可能”。

【賞析】此階段的教學(xué)對(duì)應(yīng)范希爾理論的非形式化的演繹水平階段。學(xué)生在前面的直觀感知和操作實(shí)踐中，已經(jīng)積累了豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，能夠進(jìn)行更深層次的抽象思考。在教學(xué)中，袁老師引導(dǎo)學(xué)生借助概念和性質(zhì)（區(qū)別于依賴直觀圖形）進(jìn)行推理和論證，或進(jìn)行抽象和精準(zhǔn)的操作活動(dòng)（思想實(shí)驗(yàn)），體現(xiàn)了“縱向數(shù)學(xué)化”的過程。學(xué)生通過梳理和抽象，將已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為新的常識(shí)及知識(shí)結(jié)構(gòu)，為數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。在這一過程中，學(xué)生不僅在學(xué)習(xí)廣度上串聯(lián)起了整個(gè)單元的知識(shí)脈絡(luò)，還在學(xué)習(xí)深度上不斷拓展，讓“不可能”的三角形變成“可能”。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷了從抽象到具體，再?gòu)木唧w到抽象的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步提升了學(xué)生的空間觀念和抽象能力。

袁曉萍老師教學(xué)的“不可能的三角形”這一內(nèi)容，表面上看似是在“破壞\"三角形，實(shí)則是在“生長(zhǎng)\"三角形知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。通過“破壞\"活動(dòng)，學(xué)生不僅鞏固了已有的三角形知識(shí)，還發(fā)現(xiàn)了新的規(guī)律，構(gòu)建出更為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在幾何知識(shí)教學(xué)中，教師可以借鑒這種方法，嘗試從“破壞\"（反向）角度出發(fā)，結(jié)合范希爾理論，設(shè)計(jì)出層次分明、目標(biāo)明確且具有挑戰(zhàn)性和趣味性的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在“破壞”與“生長(zhǎng)\"的過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的跨越式提升。

（浙江省杭州市錢塘外語(yǔ)學(xué)校）