模型意識(shí)培養(yǎng)的實(shí)踐與探索

從小學(xué)到高中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有一致性和階段性。[1]\"模型意識(shí)\"作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》所提出的小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。它屬于模型思想形成的初級(jí)階段。本文旨在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，圍繞模型意識(shí)的內(nèi)涵，將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為表現(xiàn)性學(xué)習(xí)目標(biāo)，并據(jù)此進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型意識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，并掌握相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、確立表現(xiàn)性學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)是指教師和學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所期望達(dá)到的具體、明確、可評(píng)估的狀態(tài)或結(jié)果。學(xué)習(xí)目標(biāo)有助于規(guī)劃和組織學(xué)習(xí)過(guò)程，提升學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和效率。其中，表現(xiàn)性目標(biāo)通常指在具體教育情境中學(xué)生的具體表現(xiàn)，追求學(xué)生反應(yīng)的多樣性，凸顯學(xué)生的個(gè)體差異。表現(xiàn)性目標(biāo)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中所表現(xiàn)出的反應(yīng)程度，而非預(yù)設(shè)的固定結(jié)果，且結(jié)果是自然形成的。

在小學(xué)階段，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何以及綜合與實(shí)踐等領(lǐng)域中，許多學(xué)習(xí)內(nèi)容與模型意識(shí)緊密相關(guān)。表現(xiàn)性目標(biāo)通過(guò)明確具體的任務(wù)和要求，為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)提供了明確的路徑和方向。

依據(jù)模型意識(shí)的“感悟數(shù)學(xué)模型的一般性”“使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實(shí)情境和問(wèn)題\"“經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題\"三個(gè)維度[2]，以北師大第五版教材四年級(jí)上冊(cè)\"運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題\"單元為例，制定表現(xiàn)性學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合具體情境，讓學(xué)生經(jīng)歷建立加法模型“總量=分量+分量”及乘法模型“總價(jià)=單價(jià)× 數(shù)量”\"路程=速度 × 時(shí)間”的過(guò)程，理解數(shù)量之間的關(guān)系，了解應(yīng)用模型能解決與之相關(guān)的同一類(lèi)問(wèn)題，并應(yīng)用模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

具體學(xué)習(xí)目標(biāo)包括以下幾個(gè)方面。

（一）知識(shí)目標(biāo)

本單元要實(shí)現(xiàn)的知識(shí)目標(biāo)是理解不同情境中的數(shù)量關(guān)系，掌握加法模型“總量=分量+分量\"以及乘法模型“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度 × 時(shí)間”。

（二）學(xué)習(xí)路徑目標(biāo)

本單元的學(xué)習(xí)路徑是結(jié)合具體情境，在解決問(wèn)題中經(jīng)歷建立模型的過(guò)程。學(xué)習(xí)要圍繞解決實(shí)際

問(wèn)題展開(kāi)，將具體現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為加法、乘法模型，再應(yīng)用模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

（三）素養(yǎng)目標(biāo)

本單元要培養(yǎng)的素養(yǎng)目標(biāo)是讓學(xué)生了解應(yīng)用模型能解決與之相關(guān)的同一類(lèi)問(wèn)題，并應(yīng)用模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)模型的一般性。

二、進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)基于整體思維，從提升學(xué)生核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重組優(yōu)化，形成相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，突出知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，并進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)。3在“運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題”單元中，重點(diǎn)培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一是模型意識(shí)。模型意識(shí)的構(gòu)建需經(jīng)歷識(shí)別現(xiàn)實(shí)情境、進(jìn)行數(shù)學(xué)化后建構(gòu)關(guān)系、經(jīng)過(guò)一般化后用以解決同類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程。本單元包括“總量與分量”“單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)\"“速度、時(shí)間與路程\"以及“相遇問(wèn)題\"4個(gè)基本學(xué)習(xí)內(nèi)容，計(jì)劃分4個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)預(yù)案時(shí)，要體現(xiàn)以下幾個(gè)方面的內(nèi)容。

（一）整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)，遵循相同路徑構(gòu)建模型

單元教學(xué)設(shè)計(jì)以素養(yǎng)目標(biāo)“模型意識(shí)\"為導(dǎo)向，緊密?chē)@模型意識(shí)的三個(gè)維度進(jìn)行整體構(gòu)思。在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排上，各課時(shí)內(nèi)容并非孤立存在，而是一個(gè)相互支撐的有機(jī)整體。第1課時(shí)“總量與分量\"和第2課時(shí)“單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)\"作為基礎(chǔ)，通過(guò)識(shí)別問(wèn)題情境、表征數(shù)量關(guān)系、對(duì)比不同情形、抽象概括共性等一系列活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中提煉和歸納出數(shù)量關(guān)系模型。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)，更在潛移默化中發(fā)展了模型意識(shí)。第3課時(shí)“速度、時(shí)間與路程\"則引導(dǎo)學(xué)生采用自主學(xué)習(xí)的方式，按照前兩個(gè)課時(shí)所確立的學(xué)習(xí)路徑，自主探索新知識(shí)，進(jìn)一步鞏固和深化模型構(gòu)建的能力。到第4課時(shí)“相遇問(wèn)題”，教學(xué)重心轉(zhuǎn)向識(shí)別同類(lèi)問(wèn)題并應(yīng)用已建立的模型解決問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)模型意識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的遷移和應(yīng)用。因此，在整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)時(shí)，應(yīng)遵循相同的學(xué)習(xí)路徑，各課時(shí)內(nèi)容相互銜接、層層遞進(jìn)，確保數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的連貫性和系統(tǒng)性。

（二）整體設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)與問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程

在設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)時(shí)，首先，要注重提供貼近學(xué)生生活的現(xiàn)實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，引導(dǎo)他們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中識(shí)別數(shù)學(xué)元素，進(jìn)行數(shù)學(xué)化思考。其次，任務(wù)本身由關(guān)鍵問(wèn)題組成，如：“在這個(gè)情境中，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？”“如何將這些關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)？\"“這個(gè)關(guān)系是否適用于其他類(lèi)似的問(wèn)題？\"等。這些關(guān)鍵問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生逐步深入建模的過(guò)程，從識(shí)別情境中的數(shù)學(xué)元素開(kāi)始，到建構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)系，再到將關(guān)系一般化，繼而去解決同類(lèi)問(wèn)題。最后，由多個(gè)任務(wù)形成一個(gè)完整的建模過(guò)程。也就是說(shuō)，學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題體驗(yàn)建模的全過(guò)程，模型意識(shí)的發(fā)展是在完成一個(gè)一個(gè)任務(wù)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。

（三）靈活調(diào)整策略，持續(xù)完善單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

在教學(xué)過(guò)程中，要避免課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)所帶來(lái)的機(jī)械性，要根據(jù)前期教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題或新涌現(xiàn)的想法，靈活地對(duì)教學(xué)方案進(jìn)行調(diào)整和完善，從而更好地掌控教學(xué)節(jié)奏，確保學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成。例如，當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)建模的結(jié)果還不夠理想時(shí)，教師在第3課時(shí)就可以靈活地采用第1課時(shí)和第2課時(shí)的教學(xué)方法，暫時(shí)不要求學(xué)生自主學(xué)習(xí)，而是通過(guò)引導(dǎo)式的教學(xué)方式，幫助學(xué)生逐步掌握建模的基本步驟和思路，確保學(xué)生能夠穩(wěn)步提升。在單元教學(xué)結(jié)束后，教師團(tuán)隊(duì)還應(yīng)對(duì)整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行深人的反思和改進(jìn)，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，并提出針對(duì)性的改進(jìn)措施，使教學(xué)設(shè)計(jì)始終處于不斷完善和優(yōu)化之中，持續(xù)提升教學(xué)質(zhì)量。本單元具體教學(xué)預(yù)案設(shè)計(jì)如表1所示。

三、使用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)

表現(xiàn)性評(píng)價(jià)是一種對(duì)學(xué)生在具體情境或任務(wù)中的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)價(jià)的方式。通過(guò)關(guān)注學(xué)生在具體情境中的表現(xiàn)，表現(xiàn)性評(píng)價(jià)能夠推斷學(xué)生在知識(shí)理解、問(wèn)題解決、合作交流等方面的發(fā)展。針對(duì)本單元的內(nèi)容及模型意識(shí)的內(nèi)涵，為了評(píng)價(jià)學(xué)生模型意識(shí)的發(fā)展情況，可以制定以下評(píng)價(jià)指標(biāo)，并依據(jù)這些指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)（如表2）。

在解決“有一道墻，高9尺。墻頂生著一個(gè)瓜，瓜蔓每日向下長(zhǎng)7寸；墻下生著一個(gè)葫蘆，葫蘆蔓每日向上長(zhǎng)1尺。問(wèn)多少日后瓜蔓和葫蘆蔓會(huì)相遇？”這一問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的不同表現(xiàn)調(diào)整教學(xué)策略。限于篇幅，此處僅呈現(xiàn)信息理解和情境識(shí)別的教學(xué)片段。

關(guān)于信息的理解

表現(xiàn)一：學(xué)生知道速度是表示物體移動(dòng)快慢的度量，但未能識(shí)別植物生長(zhǎng)也可視為“速度”；學(xué)生知道地點(diǎn)A到地點(diǎn)B的長(zhǎng)度是路程，但未能識(shí)別高9尺為“植物藤蔓要長(zhǎng)的長(zhǎng)度，即路程”。

表現(xiàn)二：學(xué)生能夠識(shí)別出情境中的信息分別是“速度A”\"速度B”和“路程”。

對(duì)于表現(xiàn)一的學(xué)生，教師應(yīng)結(jié)合具體情境、圖像表征等手段，及時(shí)提供更多的生活實(shí)例，如行走、行駛、注水、植物生長(zhǎng)等，幫助學(xué)生理解速度不僅限于物體移動(dòng)，還可以是隨時(shí)間變化的量（如植物生長(zhǎng)）；同時(shí)，可以請(qǐng)表現(xiàn)二的學(xué)生分享自己的理解，通過(guò)學(xué)生間的互教互學(xué)，幫助表現(xiàn)一的學(xué)生理解情境中的信息。教師也可以采用相同的方法幫助學(xué)生理解\"高9尺為路程”。

關(guān)于識(shí)別情境

表現(xiàn)一：學(xué)生無(wú)法識(shí)別這個(gè)情境屬于“時(shí)間、速度與路程”問(wèn)題。

表現(xiàn)二：學(xué)生能夠識(shí)別這個(gè)情境屬于“時(shí)間、速度與路程”問(wèn)題。

對(duì)于表現(xiàn)一的學(xué)生，教師應(yīng)引導(dǎo)其進(jìn)行復(fù)習(xí)，以激發(fā)記憶，并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試將新學(xué)內(nèi)容與已有知識(shí)相聯(lián)系。對(duì)于已能準(zhǔn)確識(shí)別情境的表現(xiàn)二的學(xué)生，教師應(yīng)引導(dǎo)其深入分析情境中的數(shù)量關(guān)系，并提問(wèn)：“速度、時(shí)間與路程分別對(duì)應(yīng)哪些信息？它們之間有什么關(guān)系？\"同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)圖表征，用圖示方式直觀展示這些量之間的關(guān)系。此外，教師還可以組織小組討論，讓學(xué)生分享自己的圖表和分析，通過(guò)相互學(xué)習(xí)，從不同角度理解問(wèn)題。

通過(guò)細(xì)致觀察學(xué)生在不同表現(xiàn)上的差異，并采取針對(duì)性的教學(xué)策略，教師不僅能夠有效提升學(xué)生的模型意識(shí)，還能促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活情境中應(yīng)用的理解。表現(xiàn)性評(píng)價(jià)在這一過(guò)程中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，它幫助教師精準(zhǔn)判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法，確保每個(gè)學(xué)生都能在適合自己的節(jié)奏下深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高解決問(wèn)題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去探索和解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

綜上所述，模型意識(shí)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，其培養(yǎng)需要貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。通過(guò)制定表現(xiàn)性學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)方案以及使用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，能夠有效地幫助、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型意識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，從而發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)。

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（廣西壯族自治區(qū)桂林市卓然學(xué)校）