“數量關系”建模 作業設計微思

在新一輪數學課程改革中，培養模型意識成為小學階段核心素養的主要表現之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標\"）明確提出：“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數的概念與方法予以解釋。\"同時，2022年版課標將“數量關系\"列為小學階段數與代數領域的兩個主題之一，強調其在數學教學中的重要性。“數量關系\"主要是指用符號（包括數）或含有符號的式子來表達數量之間的關系或規律。應讓學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力。本文以人教版新教材一年級下冊“數量間的加減關系\"單元為例，從教材分析到作業設計，旨在引導學生通過對數量關系的理解來培養模型意識。

一、從零散到集中，關系理解助推模型建構

人教版新教材一年級下冊新增了“數量間的加減關系\"單元，教材首先呈現了一些簡單的實際問題，隨后通過梳理加、減法問題的類型及共同點，最后設置了三類例題，即“求一個數比另一個數多（少）幾\"的問題、“求比一個數多（少）幾的數是多少\"的問題、“連續兩問\"的問題。其中，后兩類屬于原人教版教材二年級的內容（如圖1）。此單元將原本分散在不同單元的問題類型集中于一個單元，體現了以“數量關系\"為核心的、凸顯問題解決一致性的理念，從而落實核心素養。

（一）結構化安排，凸顯數量關系一致性

在“數量間的加減關系\"單元中，數量關系作為獨立主題呈現，凸顯教學內容的結構化整合。教材將原先的算用結合調整為計算與應用分開推進，更明確地指向問題解決，有助于教師從整體上理解和把握以數量關系和問題解決為重點的教學內容，凸顯數量關系的一致性。

（二）整體性認知，符合學生認知規律

教學內容的結構化有助于學生從整體上理解“數量關系”，促進知識與方法的遷移，更符合學生的認知規律。在教學“求一個數比另一個數多（少）幾”與“求比一個數多（少）幾的數是多少\"時，引導學生采用圖式表征策略進行分析理解，體現了方法的一致性，并與“加法模型\"相聯系，感悟其數學本質相同。通過這種方式，培養學生的符號意識、模型意識和應用意識，進而提高學生解決問題的能力。

（三）進階式表征，推進數量關系理解

新教材設計了“從一面小旗對應著一面小旗，到畫一個長條形代表一定數量的小旗，再到直接畫不同長度的長條形分別代表不同數量的小旗\"的直觀圖式（如圖2），逐步實現了從具象圖到長條圖的水平進階，從而體現從具體操作到符號抽象的認知躍遷。通過直觀圖式，學生可以更清晰地觀察數量間的對應關系，為后續線段圖的學習打下堅實基礎。

（四）一致性理解，初步感知“加法模型”

本單元將一年級上冊單一量的合并與分解，延伸到與兩個量相關的問題解決（加、減法解決問題及“連續兩問\"的問題）。因此，學生需在理解運算意義和數量關系的基礎上，進一步建立數量關系模型，并用文字或圖式進行表征，發現用數量間的加、減法解決問題時，其本質都是分量與總量之間的關系，初步感知加法模型“分量 + 分量=總量”及其變式“總量-分量 = 分量”的意義。

二、從單一到多元，教材配套習題亟須革新

在“數量間的加減關系”單元中，呈現的配套習題比較單一，不能很好地幫助學生理解數量關系。

（一）習題形式單一，檢測維度不全面

經過對教材編排的習題的梳理，發現現有的習題形式較為單一，都是直接用語言文字描述條件，且只需列式解答的問題類型。此類習題主要考查學生將算式與問題相匹配的能力，但忽略了問題解決過程中的其他重要因素，如信息提取的準確性、圖式表征的適切性以及解釋說明的邏輯性。這些因素的缺失凸顯了習題編排的局限性。

（二）開放題問題設置孤立，缺乏解題輔助

綜觀整個單元的配套習題，教材僅在第76頁設置了一道開放題：“你能講一個‘比多少'的數學故事嗎？用你喜歡的方法把你的故事表示出來。”然而，該題自的任務要求不夠明確具體，對于一年級學生而言，缺乏必要的解題輔助和支撐。因此，有必要補充以“認知進階\"為核心線索的作業，旨在深化學生對數量關系的理解，并培養學生的模型意識。

三、從表征到關聯，作業實踐助力模型建構

作業實踐以“認知進階\"為主線，形成閉環設計邏輯：分層作業搭建從具體到抽象的階梯，圖式工具提供思維轉化的支架，模型關聯任務促進知識結構建構，評價反饋機制反向錨定目標達成，體現了“工具支持認知一任務驅動建模一評價驗證發展”的素養培育路徑（如圖3）。

（一）分層作業設計

可基于問題解決的三個階段（信息提取一模型建構一遷移應用），設計梯度化作業，幫助學生逐步實現從具體操作到抽象模型的轉化。

1.基礎練習：實物表征助力信息提取

通過對具體實物的操作，提取關鍵數學信息，實現對數量關系的初步感知。教師可設計教學情境，要求學生用擺一擺、畫一畫等方式提取關鍵數學信息，繪制簡易圖式。

例如：（1）

要求：用兩種顏色圓片擺放出兩人的糖的數量，標出“少3顆\"的部分。并填空：“小明有顆糖，妹妹比他少顆，妹妹有顆糖。”

要求：找出表示兩種動物身高的數并圈出，同時用紅筆標出相差部分，算式：□○□=□ （米）。

以上習題的設計，通過實物操作、找一找、圈一圈等活動，幫助學生提取關鍵的數學信息，同時通過分析數量關系，使抽象的數學問題變得直觀易懂。

2.進階練習：圖式表征促進模型構建

在教學過程中，教師可利用符號、直觀圖等表征工具，構建數量關系模型。教師可以展示相關算式，引導學生用能解決問題的圖式進行表征，從而理解算式、圖式與問題之間的聯系。

例如：選一選，連一連，想一想。

下面問題中，能用“8+5=13”這個算式解決的是，把相關的問題與圖式連一連。

（1）樹上原有8只鳥，又飛來了5只，現在有幾只？

（2）樹上原有8只鳥，飛走了5只，現在有幾只？

（3）媽媽參加了8次志愿活動，小紅比媽媽多參加5次，小紅參加了幾次？

（4）媽媽參加了8次志愿活動，小紅比媽媽少參加5次，小紅參加了幾次？

想一想：你發現了什么？

3.拓展練習：抽象模型促進遷移應用

在拓展練習的設計中，教師創設生活化的復雜情境，引導學生自主繪制圖式進行表征，并解釋算式背后的邏輯關系，以促進模型的應用。

例如：小朋友們，我們來開展一個家庭成員年齡大探秘活動。先問問爸爸、媽媽今年幾歲并記錄下來，然后用圓圈圖或長條圖表示“爸爸比媽媽大（小）幾歲\"“你比媽媽小幾歲”算一算爸爸和媽媽相差幾歲，你和媽媽相差幾歲。最后想一想為什么可以用減法進行計算。具體形式可以用表1呈現。

上述作業設計以認知進階為主線進行推進。學生從實物操作到抽象建模的轉變需要可視化思維工具的支持。因此，開發適應不同認知階段的圖式工具包成為必要，以幫助學生搭建從具體到抽象的思維支架。

（二）圖式工具開發

教師可設計可操作的圖式工具包，幫助學生從實物操作逐步過渡到符號表征。

1.開發“三階圖式轉化卡”

三階圖式包括實物圖式、符號圖式和長條圖式（如表2）。

例如：小猴摘了9個桃子，小兔比小猴少摘3個。引導學生操作：首先用桃子貼紙擺出9個，再擺小兔的桃子（比小猴少3個），接著用符號卡替換桃子貼紙，最后用長條圖進行遮蓋并標注數量。

2.設計“圖式對比分析作業”

針對同一問題用不同圖式表征，進行對比分析，理解模型本質的一致性。

例如，“兩數相差多少”問題同時呈現實物圖、符號圖、長條圖三種表征方式，并要求學生思考：“這三種圖式在哪些方面相同？在哪些方面不同？哪種圖式最容易看出兩個量誰比誰多（少）幾個？”

（三）模型關聯作業

學生在完成分層作業并初步建立模型后，需進一步深化對不同問題類型本質關聯的理解。通過“模型變式鏈\"題組與“逆向建模”作業的設計，引導學生發現“求相差\"“求總量\"等問題的共性結構，從而實現知識結構的橫向關聯與縱向深化。

1.“模型變式鏈\"題組設計

橫向關聯：將\"求總數\"“求部分\"“求相差\"三類問題設計成遞進式題組。縱向深化：融入乘法的初步形式。具體題目示例和建模目標如表3所示。

2.“逆向建模”作業設計

提供長條圖，鼓勵學生創編數學故事，以此培養其逆向建模能力。

通過結構化題組和逆向作業的設計，引導學生發現不同問題類型的共性，促進知識的遷移應用。

（四）評價反饋機制

在\"教一學一評”一致性理念的指導下，教師需設計多元評價方式，注重建模過程的評價。

1.設計“模型建構四維評價表”

“數量關系\"建模應從信息提取、圖式表征、算式模型和解釋說明四個維度進行評價，具體標準如表4所示。

2.建立“我的模型成長袋”

收集學生在不同階段的作業樣本（如實物操作照片、圖式卡等），對比展示從具體到抽象的建模能力發展過程。

構建“認知發展一工具支持一知識關聯一評價保障\"的邏輯鏈，將模型意識培養具化為可操作的作業策略。既與課程內容結構化的理念相呼應，又凸顯了核心素養導向下的作業創新，從而構成了“教材分析一模型建構一作業實施\"的完整閉環。