消防應用型人才培養模式下“高等數學”教學改革探究

摘"要：“高等數學”作為一門公共基礎課，在大學課程體系中具有重要作用，其教學改革研究也是高校課程改革的一項重要內容。本文旨在探究消防院校應用型人才培養模式下“高等數學”混合式教學改革，改善“重理論知識，輕實踐應用”的教學模式，構建“消防案例”驅動教學。隨后基于微積分基本定理，具體闡述教學改革理念，從林火蔓延問題導入，在教學中融入數學史，引導學生理解定理并解決實際問題，使其在學習過程中從消極轉變為積極，從記憶轉變為探究，從接受轉變為理解。

關鍵詞：高等數學；混合教學；HPM；微積分基本定理；林火蔓延

中圖分類號：G642

Abstract：Advanced"Mathematics，as"a"public"foundation"course，plays"an"important"role"in"the"university"curriculum"system，and"its"teaching"reform"research"is"also"annbsp;important"content"of"the"reform"of"college"courses.This"paper"aims"to"explore"the"mixed"teaching"reform"of"advanced"mathematics"in"the"applicationoriented"talent"cultivation"mode"of"firefighting"colleges，improve"the"\"emphasizing"theoretical"knowledge，neglecting"practical"application\""teaching"mode，and"construct"\"fire"case\""driven"teaching.Then，based"on"the"basic"theorems"of"calculus，the"paper"expounds"on"teaching"reform"concept，starting"from"the"problem"of"forest"fire"spread，and"integrating"mathematical"history"into"teaching，guiding"students"to"understand"theorems"and"solve"practical"problems，so"that"they"can"transform"from"passive"to"active，from"memorization"to"exploration，and"from"acceptance"to"understanding"in"the"learning"process.

Keywords：Advanced"Mathematics；Blended"teaching；HPM；Fundamental"theorem"of"calculus；Forest"fire"spread

1"概述

消防院校旨在為消防隊伍輸送政治站位高、思想覺悟強、基礎理論扎實、實踐本領過硬的優秀干部，全面提高消防實戰應用型人才培養。“高等數學”是消防院校理工專業必修的公共基礎課，其理論知識和數學思維是專業課的基礎，有助于提高學生的思維能力和創新能力。然而當前消防院校在“高等數學”的教學模式上仍處于在傳統教學框架內修修補補，主要問題可歸結為以下幾點：一是目前有限的課堂教學中，過于注重理論，應用教學意識薄弱，無法有效契合專業內容［1］。二是教學模式單一，課程思政融入刻板，評價機制不夠多元化。三是與專業相結合的應用數字化資源儲備不足，實際案例與數學模型等資源有待更新。因此，針對消防應用型人才培養模式下“高等數學”課程的教學改革探究是必不可少的。

2"消防院校“高等數學”教學改革探究

針對當前消防院校在“高等數學”課程中存在的主要問題，構建消防應用型人才培養下“高等數學”混合式教學模式，具體措施有如下幾點。

2.1"利用消防案例模型，開展三維立體教學模式

秉承“學生中心，目標導向，持續改進”的指導思想，明確教學內容的專業應用性，采用“消防案例模型”驅動教學，構建線上線下、課內課外、理論實踐的三維立體教學平臺，探索基于BOPPPS、OBE等教學模式的多元化混合式教學改革路徑，按照“設計—問題—臺階—問題—產生”的流程，開展使學生“跳一跳，夠得著”的教學活動，改善目前教學中“重理論知識，輕實踐應用”的教學方式，將授課重點放在理論知識的實際運用及專業相關性上，通過與消防相關的實際案例，激發學生主動探究的興趣，培養學生解決實際問題的能力，促進培養應用型人才。同時利用MATLAB、Geogebra等數學軟件的信息化和可視化功能對教學進行輔助。

2.2"利用HPM思想開展思政教育

HPM思想于1972年在第二屆國際數學教育大會上提出，采用數學史與數學教育的融合教學［2］。消防院校在培養應用型人才的過程中利用HPM思想開展思政教育，可改善目前教學中數學思想、思政內容融入缺失、刻板，學生倦怠學習的問題，構建基于數學文化的教學內容，讓學生感受數學豐富的文化內涵，體會深刻的人生哲理，德智相輔相成，協調發展。

2.3"設置多樣化教學評價

在課前、課中、課后三個環節中，設置多種評價方式，包括過程性評價、自我評價、學生互評等，如圖1所示。同時為學生提供便捷的實時反饋渠道，如設置教學反饋表，及時調整教學策略，更好地滿足學生的發展需求。

圖1

3"消防院校“高等數學”教學改革應用

“高等數學”課程中的一個核心內容是微積分基本定理，它從萌芽到成熟歷經千年，蘊含豐富且重要的數學思想。微分學將復雜問題分割成無窮多個簡單部分，積分學則將這些部分重新組合以解決更復雜的問題［3］，連接微分與積分的正是微積分基本定理。因此，緊抓微積分基本定理這條主線，有利于學生對各種積分內容的學習。本文以微積分基本定理為例，按照“以學生為中心，以教師為主導，以能力為目標”的教學理念，通過課前、課中、課后開展消防應用型人才培養的混合式教學。

3.1"課前

首先，在雨課堂上設置練習：比較∫10x2dx，∫10x3dx的大小，并嘗試計算∫10x3dx。讓學生回顧定積分的性質，鞏固利用定義計算積分，為本節學習提供提前思考的環境。其次，通過MOOC等視頻講解，讓學生鞏固舊知（不定積分的計算、定積分定義與性質），了解新知（通過查閱文獻、觀看視頻了解積分學發展歷程），既做到溫故知新，又提前對本節知識建立較為完整的內容框架，在整體中初步認識本節內容，提高學生的學習興趣，幫助學生在課堂上更快進入狀態。

3.2"課中

課中采用“BOPPPS+HPM”教學模式。BOPPPS教學模式在20世紀70年代初被首次提出，包括導入、學習目標、前測、參與式學習、后測、總結六個階段，其以學生為中心、以問題為導向的探究式學習能夠有效提高學生的參與度，實現教學目標［4］。本文基于微積分基本定理的內容，在BOPPPS教學模式下融入HPM思想，即從該節內容在歷史上最初的形態入手，在各階段中融入數學史，將其蘊含的數學思想和思政內容滲透至理論知識，推進高數混合式教學。

3.2.1"導入

利用消防火災案例進行導入。林火蔓延的常見情形之一是地形平坦、風速較大且風向不變，此時火場會呈現橢圓形，其中火頭前進方向與風向一致，是火擴展蔓延最快的部位；火尾前進方向和風向相反，是火場中蔓延較慢、火勢較弱的部位；火翼前進方向與風向有近于垂直的夾角，火勢強弱和蔓延速度介于火頭和火尾之間［5］。在此基礎上引出問題：有一火場火頭蔓延速度為3.5km/h，火尾蔓延速度為0.5km/h，火翼蔓延速度為1km/h，求1小時后該火場面積S為多少？

學生討論后發現，利用定積分定義難以求解此問題，需要尋求新的方法，從而引出本節內容。該導入針對消防院校專業性，從實際問題入手，將高數理論知識應用于專業領域中，激發學生的探索熱情，為后續教學提供積極的課堂氛圍。

3.2.2"學習目標

建立四維目標體系。知識維度：理解積分上限函數的概念及求導，掌握利用微積分基本定理計算定積分。能力維度：培養應用微積分基本定理解決實際問題的能力。素質維度：培養化整為零、以直代曲的思想，建立微觀與宏觀的聯系橋梁。思政維度：體會無窮思維、積分思維在高數學習中的重要作用，培養學生堅持真理、不懈探索、追求創新的品質。

3.2.3"前測

通過課前環節的內容設置，根據數據反饋了解學情，以便有效安排后續教學。

3.2.4"參與式學習

將班級學生分成五組，每組成員的學習情況大致相同，都有好、較好、一般三個等級的學生。教師引導學生組內探討，而后每組派代表進行匯報，鍛煉學生的表達能力、協作能力。

不失一般性，選取連續函數y=y（x），計算由直線x=a，x=b，x軸以及曲線y=y（x）構成的曲邊梯形的面積，如圖2所示。

圖2

3.2.4.1"步步為營

利用問題驅動教學法，從學生熟悉的曲邊梯形入手，基于數學家牛頓發現微積分基本定理的探究過程，重現定理誕生的最初形態，逐層遞進，引出定理。

教師：圖2中灰色區域的面積與自變量x有什么關系？如何用定積分表示灰色區域的面積？

學生：隨著自變量x向右移動，灰色面積不斷增加，且每一個x的取值對應著唯一的灰色區域，因此可將該灰色面積看作x的函數，記為A（x），簡稱面積函數。利用所學知識可得：

A（x）=∫xay（t）dt"（a≤x≤b）（1）

教師：強調面積函數A（x）又稱為積分上限函數，且右端積分中，積分變量是t，得到的積分值是關于x的函數。思考積分上限函數A（x）的增加速率是多少？

學生：無窮小的時間內，x向右移動無窮小距離dx，曲線所對應的y值幾乎不變，因此，可以將在無窮小時間內面積的增量看作一個矩形的面積，其底邊長為dx，高為y，所以面積增量dA=ydx，即為dAdx=y，因此積分上限函數A（x）的導數是曲線y（x）［3］，即A（x）是y（x）的一個原函數。

教師：如何求曲邊梯形的面積？

學生：將（1）式中的x換成b，可得A（b）=∫bay（t）dt，利用A（a）=∫aay（t）dt=0，可得曲邊梯形面積為：

∫bay（t）dt=A（b）－A（a）（2）

此時，學生會發現一個定積分的求解，可轉化為求被積函數原函數——積分上限函數增量的過程。

教師：是否y（x）的任意一個原函數F（x）都滿足等式（2）？

學生：由不定積分內容可得F（x）－A（x）=C，其中C為任意常數，a≤x≤b，代入（2）式有：

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）

該環節引導學生逐步探索、總結，體會從動態視角解決靜態幾何問題。利用面積問題的幾何視角引出微積分基本定理，降低抽象性，直觀體會其中蘊含的無窮、累積等微積分思想。

3.2.4.2"開花結果

教師引導學生得到微積分基本定理的完整內容［6］：如果函數F（x）是連續函數f（x）在［a，b］上的一個原函數，則

∫baf（x）dx=F（b）－F（a）（3）

3.2.4.3"小試牛刀

計算定積分∫10x2dx，∫10x3dx。這與課前雨課堂練習相呼應，屬于基礎能力測試，讓學生用微積分基本定理計算，及時達到學以致用的效果。

3.2.4.4"合作共贏

小組探究一：解決導入中的林火蔓延問題。

學生：1小時后火場邊緣可近似用橢圓描述，其長軸長為4，短軸長為2，即得該橢圓方程為x24+y2=1，且關于x軸、y軸都對稱。則該橢圓圍成圖形的面積S=4A1，其中A1為該橢圓在第一象限部分與兩坐標軸所圍圖形的面積，因此S=4A1=4∫20ydx，其中y滿足該橢圓參數方程：

x=2cost，

y=sint"（0≤t≤π2）（4）

因此，可仿照不定積分中的換元法，注意定積分需要考慮積分限的取值，當x從0變到2時，t由π2變到0，結合dx=－2sintdt，可得：

S=4∫0π2sint（－2sint）dt=－8∫0π2sin2tdt

=8∫π2012（1－cos2t）dt=（4t－2sin2t）π20=2π

因此，1小時后該火場面積為2πkm2。

此探究能夠鞏固學生的積分計算能力，使其了解定積分與不定積分換元法的異同點，體會利用該定理解決消防實際問題的過程，培養其應用能力，為后續課程奠定基礎。

小組探究二：證明積分中值定理［6］。

若函數f（x）在閉區間［a，b］上連續，則在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使∫baf（x）dx=f（ξ）（b－a）。

上題留作課后小組思考題，鍛煉學生的分析能力、邏輯能力，體會積分中值定理與微分中值定理的聯系。

3.2.4.5"歷史拓展

拓展一：師生共同整理微積分基本定理的歷史進程，如表1所示。利用HPM思想進行思政教育，讓學生感受到數學是一門來源于生活、不斷演進的學科，體會知識的獲取不是一帆風順，凡事都需要持之以恒。

拓展二：表1中介紹萊布尼茨是利用類似高中所學的“裂項相消”的方法證明了微積分基本定理。學生課后以小組為單位，查找相關資料，了解萊布尼茨發現微積分基本定理的過程，體會同一問題的不同解決策略。

3.2.5"后測

從本節重點難點出發，針對學習目標，結合實際學情，以教材例題、課后習題為主要內容，采用線上線下方式進行測驗。課上利用雨課堂小測，及時掌握學生的課堂學習情況。課下一方面以小組的形式對本節內容進行梳理，另一方面以個人形式開展習題訓練，培養學生團隊協作、獨立思考的能力。

3.2.6"總結

（1）幫助學生回顧課堂教學內容，總結應當獲得的三層體會：①微積分基本定理表明一個連續函數在區間［a，b］上的定積分等于它的任意一個原函數在區間［a，b］上的增量［6］。②微積分本質思想是將復雜問題無窮分解，直至無限多個微小簡單且可以處理的部分，該數學思想對學習后續積分知識、處理實際問題起到重要作用。③學習數學家鍥而不舍的精神，明白知識的獲取不能一蹴而就，有波折是常事，要不斷累積與優化。

（2）圖3利用幾何形式直觀展現，引導學生系統性地建立導數、不定積分與定積分的三者關系，體會知識間的內在關聯，加深對微分與積分的理解：①正向問題：已知一條曲線，求其各處的斜率。②反向問題：已知一條曲線各處的斜率，求這條曲線。③面積問題：已知一條曲線，求曲線下方的面積［3］。

3.3"課后

知識鞏固：學生在24小時內整理學習內容并通過雨課堂上傳課堂小結。同時，教師建立題庫，設置不同難度的習題，滿足不同程度的學生學習需求。此外，教師還應向學生推送與其專業相關的文獻，堅持產出導向。

評價反饋：在各小組中指定一名流動組長，針對此次教學內容，開展自評與互評，評價指標為理論知識、計算能力、應用能力等，自評在雨課堂上完成，小組互評由組長對組內成員分別評價，填入表2。針對課堂和教師的教學反饋，由組長搜集組內意見，在雨課堂討論區中探討，以便改善教學效果。

結語

本文討論消防應用型人才培養模式下“高等數學”混合式教學改革，從應用角度出發，實行“消防案例模型”驅動教學，具有授課導入新、教學理念新、思政點融入新的特點。并通過微積分基本定理具體闡述教學理念，將高數理論知識應用于消防問題中，學生從被動接受知識到主動探尋知識，使教師從主動灌輸知識轉而成為問題的設計者和引導者，更好地達到應用型高校的教學目標。

參考文獻：

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基金項目：中國消防救援學院教育教學改革項目“消防救援人才培養模式下《高等數學》課程教學模式改革實踐探究”（項目編號：2024JXMS02）

作者簡介：王佳欣（1995—"），女，漢族，山西太原人，博士研究生，講師，研究方向為微分方程定性理論及極限環分支、高等數學教育。