例析二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的作用

在2022年數(shù)學(xué)中考中，有許多地區(qū)在設(shè)計考查二次函數(shù)的命題時選擇了頂點(diǎn)式解析式，如哈爾濱、溫州、陜西、嘉興、無錫等市.其形式不一，有選擇題、填空題、解答題，甚至壓軸題.這充分說明，二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式在初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的重要地位愈加顯現(xiàn).基于此，本文中結(jié)合2022年的中考真題，分析二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的作用.

1相關(guān)知識

要分析二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的作用，應(yīng)先介紹二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的相關(guān)知識.

首先，二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的轉(zhuǎn)化方法及具體過程.通過配方法就可將二次函數(shù)的一般式 b x+c（a≠0） 轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，具體如下：

（4）二次函數(shù)的最值.若開口向上，有最小值，最小值是 或 k ；若開口向下，有最大值，最大值是 或k.

（5）二次函數(shù)的增減性.如果 alt;0 ，當(dāng) 時， y 值隨 x 的增大而增大，當(dāng) 時， y 值隨 x 的增大而減小；如果 agt;0 ，當(dāng) 時， y 值隨 x 的增大而減小，當(dāng) 時， y 值隨 的增大而增大[3]

2作用例析

二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的作用非常多，如根據(jù)頂點(diǎn)式看出二次函數(shù)的性質(zhì)、快速畫出函數(shù)圖象、用于解決平移問題和求函數(shù)解析式等.下面，結(jié)合2022年中考真題進(jìn)行分析.

其次，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式有兩種不同的表達(dá)形式.上述 是一種表達(dá)形式， y= a 是第二種表達(dá)形式.

最后，頂點(diǎn)式可顯示二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式后，可直接看出二次函數(shù)的如下性質(zhì)：

（1）開口方向.如果 agt;0 ，那么開口向上；如果 alt; 0，那么開口向下[2].

（2）對稱軸.二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x= 或直線 x=h

（3）頂點(diǎn)坐標(biāo).二次函數(shù)圖象的的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2.1看出二次函數(shù)的性質(zhì)

例1（2022·哈爾濱）拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）.

A.（9，一3） C.（9，3）

解析：根據(jù) y=2 （x+9）²-3"，可得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （-9，-3） .

根據(jù) y=a ，不僅可以看出頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （h，k） ，還可以看出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、最值等[.

但是，需注意二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是一h ，而是 h .對于 而言，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是 ，而是

2.2快速畫出函數(shù)圖象

例2（2022·溫州）已知點(diǎn) A（a，2），B（b，2） ，C（c，7） 在拋物線 上，點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）.

A.若 clt;0 ，則 a0 ，則 a0 ，則 a

解析：雖然本題可將 A（a，2），B（b，2），C（c，7） 分別代入 中求出 的值，但由于此時 可能存在正負(fù)情況，因此會給 的大小比較帶來困難.但如果根據(jù)頂點(diǎn)式畫出函數(shù)圖象，則可快速解決問題.

如圖1-1，是 的函數(shù)圖象.若 clt; 0，那么可在圖中標(biāo)出點(diǎn) c ，根據(jù)點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左側(cè)，在圖中標(biāo)出 A，B 兩點(diǎn)，如圖1-2.此時，有 c0 ，那么可在圖中標(biāo)出點(diǎn) c ，根據(jù)點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左側(cè)，在圖中標(biāo)出 A，B 兩點(diǎn)，如圖1-3.此時，有 alt; ，符合D選項(xiàng).

根據(jù)頂點(diǎn)式可以看出圖象的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求出圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)一般式可看出圖象與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo).據(jù)此，可快速畫出函數(shù)圖象的簡圖，以便于分析問題、解決問題.

不過，在利用頂點(diǎn)式繪制二次函數(shù)圖象的草圖時，應(yīng)注意以下幾個方面：

首先，要清楚頂點(diǎn)式表達(dá)式，不能對各個部分存在記憶模糊問題，只有清楚記得頂點(diǎn)式表達(dá)式，才能準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象.例如， 中應(yīng)記清楚1 x-1 ”和“一2\"在畫函數(shù)圖象中發(fā)揮的作用，即判斷頂點(diǎn)坐標(biāo).

其次，要清楚二次函數(shù)圖象的特點(diǎn).二次函數(shù)圖象也被稱為拋物線，是軸對稱曲線.所以，在繪制二次函數(shù)圖象的草圖時，不妨利用對稱軸畫出另一半函數(shù)圖象.此時，準(zhǔn)確描出一些關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)非常關(guān)鍵.

最后，要進(jìn)行檢查.繪制出二次函數(shù)圖象草圖后，一定要結(jié)合頂點(diǎn)式表達(dá)式進(jìn)行檢查.在檢查時，這些內(nèi)容要確保勿誤，如開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、是否為平滑曲線等.只有確保以上內(nèi)容完全正確，繪制出來的二次函數(shù)圖象才能進(jìn)一步用于分析問題和解決問題.

2.3解決二次函數(shù)圖象平移問題

例3（2022·無錫）把二次函數(shù) 的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點(diǎn)，那么 m應(yīng)滿足條件：________

解析：先將 轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式 y= ，然后按“向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度”的方式平移，得到解析式 y= ，最后利用“如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個公共點(diǎn)”得到 m-3gt;0.

故填： mgt;3

由于在平移二次函數(shù)圖象之前需先將二次函數(shù)解析式由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，所以平移后的二次函數(shù)解析式就是頂點(diǎn)式.根據(jù)這一點(diǎn)，就可以利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解決二次函數(shù)圖象的平移問題.

2.4求函數(shù)解析式

例4（2022·嘉興）已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn) A（1，0） .求拋物線 的函數(shù)表達(dá)式.

解析：將 A（1，0） 代入 中，可得0=a ，解得 a=1

故拋物線 的函數(shù)表達(dá)式是

利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式，在二次函數(shù)問題中也比較多見，難度較低，只需將相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)代人即可，這就是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

二次函數(shù)解析式有多種表達(dá)形式，如一般式、交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式等，且每種表達(dá)形式的作用不同，難易程度也不同.所以，解題時應(yīng)結(jié)合題意選擇適合的表達(dá)形式用待定系數(shù)法求出解析式[5].

例4給出的是頂點(diǎn)式，且已知一個點(diǎn)的坐標(biāo)，所以只需將之代人即可.

綜上所述，二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式發(fā)揮的作用比較多.在這些作用中，有些比較基礎(chǔ)，有些比較靈活.這就需要教師在授課時由淺人深、循循善誘.這樣一來，學(xué)生才能逐漸掌握相關(guān)的知識點(diǎn)，才能在掌握解決方法的基礎(chǔ)上達(dá)到靈活處理的效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]謝若霞.二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式的巧用J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）（上半月），2008（6）：24.

[2]王甲惠，郭葉紅.采用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（5）：39.

[3]陳海霞.運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求其解析式例析[J].考試（中考版），2010（11）：27.

[4]石媛.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧[J].試題與研究（教學(xué)論壇），2020（2）：115.

[5]劉振超.確定二次函數(shù)解析式問題例析[J].中學(xué)生數(shù)理化（初中版.中考版），2015（Z1）：19-20.