高中數學教學中學生直觀想象素養的培養

直觀想象素養作為高中數學核心素養的重要組成部分，對提高學生的綜合能力有著十分重要的作用。直觀想象素養指的是以數學思維模式解決問題，通過借助幾何直觀圖形與空間想象的方式感知事物形態的變化，并對數形關系進行解讀、理解和記憶，使數學問題的難度得到簡化。高中數學具有抽象性及邏輯性等特點，這就對學生直觀想象素養有更高的要求，從而為之后的數學學習打下扎實的基礎。教師也應掌握一定的教學技巧和教學手段，用以加強對學生直觀想象素養的培養。這就需要教師在教學過程中理論與實踐相結合，適當地開拓學生學習思維和邏輯，提升學生學習能力，觀察學生在課堂上的學習表現，然后有的放矢地培養學生的直觀想象素養。

一、以概念教學培養學生直觀想象素養

數學源于對現實世界的抽象，主要通過構建模型、形式推理、運算符號等對數學定理及概念進行直接認知，并以直觀的方式對事物的本質進行探究。因此，教師在授課過程中應注意突出概念的本質，并向學生講述幾何意義，使學生明確數學概念與幾何意義是相輔相成的，而且大部分數學概念背后都有相對應的幾何意義，但這需要采用合適的方式啟發學生思考，單純在教材中是很難找到答案的。因此，教師可以通過講解幾何的意義和繪制圖形，以形象化的方式幫助學生解決實際問題。此外，教師要為學生構建心理上的安全環境，使學生敢于想象。無論教師講授哪一類型的知識，都需要學生自主自愿參與其中并積極進行探索，使學生在學習和探索的過程中找到問題產生的原因，并產生了解問題產生原因和解決問題的動力，進而掌握知識。所以，教師要注意保護好學生的自信心、自尊心及積極性，使學生對各類數學活動充滿熱情和好奇心。在學生想象問題和解決問題時，無論問題是否簡單，學生的邏輯是否正確等，教師都應給予學生最真誠的鼓勵和表揚。須知學生能夠敢于想象就是一個好的開始，也是學生思考問題的一個表現。

在導數概念教學中，由于學生對導數的具體運用缺乏了解，因此教師在給學生講解過導數的幾何意義后，就可以指導學生通過導數對函數圖象上某一點的切線斜率進行求解，并對函數的單調性進行分析，以確保能夠深入理解和掌握變化率。在“向量\"教學中也是如此，向量的概念、數量積及線性運算都有與之相對應的幾何意義，這也是以圖形的方式直接呈現概念，從而更好地培養學生的直觀想象素養。

二、以生活內容培養學生直觀想象素養

數學知識與生活密切相關，教師教授學生數學知識時，應注意教學內容貼近學生生活實際，并從不同角度觀引導學生察周圍事物，在觀察事物的過程中幫助學生構建豐富的幾何模型，使學生能夠掌握幾何模型的特征及構成要素，具體可以這樣做。一是教師可以利用信息技術開展教學，比如利用幾何畫板、電子投屏、電子白板等以動態化的方式為學生講解靜態化的數學問題，確保學生能夠更清晰、更直觀地看到描述對象的位置及形態的變化過程，以培養學生的直觀想象素養。二是教師要多與學生進行情感交流。例如，教師在教學中要注意做到話語親切、面帶微笑，并且要做到充滿期待地看向學生，用自己的真情實感感動學生，從而拉近與學生之間的距離，消除學生與教師之間的隔閡，以及學生學習數學時的畏難心理，促使學生能夠主動學習，大膽想象。三是尊重學生所提出的問題，使其在安全且自由的心理環境下大膽提出各類問題。教師在教學活動中一定要預留出學生自主學習的時間，使學生在自主學習的過程中大膽思考和想象，真正地發揮學生的主體作用。對學生提出的問題，可以先讓其他學生試著幫忙分析和解決，如果學生難以解答出來，教師可以及時介入，指導學生尋找正確的解答方式，提高學生學習的主動性和積極性，使學生對所學內容有全面而深入地理解。教師在這個過程中需要注意的是，無論學生的想象有無實質意義，都應給予及時的鼓勵，并以和藹可親的態度幫助學生糾正所提問題的錯誤之處或者不足之處，保護好學生的想象力和學習積極性。

在教學空間幾何問題時，對一些較為復雜的空間圖形，教師可以將異面直線的概念教授給學生，以更好地培養學生的直觀想象素養，比如教師可以讓學生思考哪些直線是異面的，哪些是共面的。在教學球體、臺體、柱體、椎體等知識點時，教師可以給學生提供實物圖片，或向學生呈現直觀教具，讓學生通過觀察模型從不同角度對圖形的本質屬性進行認知，以促進學生空間想象素養的不斷提升。在教學橢圓的定義等動態概念時，教師可以在教學中以動畫演繹的方式，為學生演繹橢圓的畫法，也可以鼓勵學生動手操作，以動態化、具體化的方式學習靜態的、抽象的數學知識，從而確保學生后續能夠更加高效地學習橢圓的幾何性質，從而培養學生的空間觀念。

三、以定理教學培養學生直觀想象素養

作為反映與揭示數學概念本質屬性，以及各屬性之間關系的重要形式，數學定理的價值在于培養學生的數學思維素養。數學定理是數學概念的延續，具有承上啟下的作用，是解決數學問題的基礎，同時也會對數學課堂教學質量和教學效率產生直接影響。而在學生數學直觀想象素養的培養過程中，教師更應注重引導學生掌握數學定理的推導過程。但要明確的是，教師引導學生學習定理時，應杜絕學生程式化、模式化的學習，或者對定理的條件及結論進行死記硬背，而應指導學生通過學習定理的推導過程，來了解和學習其中所蘊含的數學學習技巧及數學思想，以此幫助學生高效理解和記憶數學定理。

在教學正弦定理時，教師可以先啟發學生對邊角關系進行定性，理解和掌握小邊對小角、大邊對大角的結論，然后進一步啟發學生的發散性思考。例如，教師可以啟發學生通過幾何方法證明定理，先將三角形的外接圓畫出來，并結合直徑所對的圓周角都是直角的概念在對應的直角三角形中放入三角形的每個角，得出 a / s i n A = b / s i n B = c / s i n C = 2R，其中外接圓的半徑為R。實踐證明，不斷發現問題和解決問題的過程才是推導數學定理的目的，而在推導數學定理的過程中學生的主觀感知能力發揮著重要的作用，能幫助學生高效理解數學定理的含義，同時提高學生的直觀想象素養，讓學生可以高質量、高效率地學習數學知識。

四、以應用教學培養學生直觀想象素養

在高中階段的數學教學中，教師不僅要讓學生能學著獨自解決一些數學問題，還要深度挖掘數學學科的育人價值，引導學生學著以數學思維思考世界，運用數學眼光看待問題，利用數學語言表達思想。為從多元角度幫助學生提高直觀想象素養打下扎實的基礎，教師應注意通過“以數定形”“以形助教”的方式對學生進行啟發。“以數定形”是用符號、數字的方式量化表示直觀圖形，確保圖形能夠更加精確，而“以形助教”是以生動、形象、直觀的方式講解抽象性較強的數學問題，讓學生能夠透過現象了解數學的本質。以數形結合的方式引導學生學習數學知識，能有效地培養學生的直觀想象素養。在解決復雜數學問題的過程中，教師可以通過數形結合的方式對學生進行引導，以圖形輔助的方式引導學生理解抽象化的數學問題。另外，教師還可以設定一個獎項來鼓勵學生的想象，使學生能大膽地提出不同問題。例如，教師可以設定“小能手”評估，每個星期組織一次，選出提出問題次數多且問題質量高的3名學生進行獎勵，獎品可以經常變化，可以是紙質獎狀，也可以是鉛筆、文具盒及鋼筆等物品。在這種獎勵機制的激勵下，學生學習積極性更高了，更加敢大膽地進行想象了，真正實現了對學生數學想象素養的有效培養。

向量這一知識點涵蓋了幾何與代數的雙重屬性，為證明直線垂直，需要計算兩條直線的方向向量數量的積等于零。此外，向量也能解決兩個平面的二面角問題，以及解決空間中夾角與兩條直線平行的問題。而在教學函數時，教師一定要引導學生認識到函數圖象的重要性，以畫函數圖象的方式對某函數的最小值、最大值、奇偶性、對稱性及單調性進行觀察。需要明確的是，幾何圖形是畫下來的公式，算術記號是寫下來的圖形，因此，無論代數問題幾何化，還是幾何問題代數化，都是一種數學語言的互譯，并由此對數與形的關系進行關聯，從而確保學生可以更加高效地進行直觀想象。

五、以函數教學培養學生直觀想象素養

高中階段的學生已經具有較強的自主思維能力了，因而教師可以鼓勵學生對所學內容進行自主探究，也可以為學生創設合適的學習情境，讓學生結合相關問題進行探究，以此解決數學問題。此外，人們熟知的啟發式教學能很好地規避一味地灌輸知識問題的產生，能夠有效地提高學生的學習參與度。因此，教師可以通過為學生創設學習情境，讓學生思考相對應的數學問題，進而培養學生的直觀想象素養。

在教學函數這一部分內容時，教師要使學生明白函數知識是貫穿于整個高中數學學習的，函數知識能夠呈現客觀世界中變量的關系及規律，通過函數知識的學習，可以具備更好的直觀想象素養。在引導學生掌握了函數概念之后，教師可以為學生導入冪函數的概念，然后通過分類討論及數形結合的方式使學生掌握數學問題從具體到抽象、數學思想從特殊到一般的特性，幫助學生構建冪函數完整的知識結構，使學生能從系統化的角度復習之前學習過的函數知識，同時還可以引導學生研究函數的一般方法，為學生后續學習三角函數打下堅實的基礎。為此，教師可以鼓勵學生對冪函數進行深入探究，以進一步了解冪函數圖象的性質及基本特征，進而學會靈活運用數形結合這一方法。此外，教師還可以導入一些與學生生活相關的案例，為學生營造濃郁的思考氛圍，激發學生的自主學習意識和探究欲，在案例的探討中培養學生的直觀想象素養。

六、以幾何教學培養學生直觀想象素養

幾何與代數都是高中數學中需要學習的重要內容，因而教師應注意啟發學生思考代數運算與幾何直觀之間的融合方法，幫助學生降低數學學習難度，讓學生學會用數形結合的方法解決數學問題。此外，教師還可以為學生提供學習案例，要求學生認真審題，并結合自身既有認知轉化題干知識，然后以圖形化的方式解決問題，從幾何角度培養學生的直觀想象素養。

在教學平面幾何中的向量方法時，教師應使學生明白向量的數量積和線形運算具有較強的幾何特征，因而可以通過解決平面幾何中垂直、平行、求夾角及長度的方法解決問題。以這種數形結合的方法讓學生學習數學，并通過掌握向量方法來解決幾何問題，正因為教師對運用向量解決幾何問題的優勢有一定了解，才能確保從培養學生直觀想象素養及創新能力層面不斷學生的數學核心素養。教師還可以為學生提供數學案例，讓學生通過解決實際的數學問題，進一步提高自身的直觀想象素養。例如，在對菱形的兩條對角線互相垂直進行證明時，教師可以先問學生什么是菱形，學生回答四條邊都相等的四邊形為菱形，有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形。教師繼續問學生，能否用向量方法進行證明，然后引導學生探討菱形的兩條對角線互相垂直。通過這一問題的解決，使學生掌握了菱形的對角線互相垂直這一知識，而這種通過向量方法求證幾何問題，建立向量方法與平面幾何聯系的方式，更有助于學生直觀想象素養的培養。

七、以概率問題培養學生直觀想象素養

概率問題很早就出現在高中數學教學中了，隨著大數據時代的到來，又衍生出概率與統計的問題，而這也逐步成為高中階段學生所需要學習的主要數學內容。

在教學正態分布時，教師可以先將這部分內容的學習重點告知學生，要求學生對一種連續型的隨機變量知識進行學習，這部分內容是對之前所學知識的一種拓展與補充。通過研究總體密度曲線、頻率分布折線圖、頻率分布直方圖等內容，對正態密度函數的性質、圖象及概念形成深刻認識，確保學生能夠從體系化層面學習這部分內容。此外，教師還可以結合這部分內容引導學生使用數形結合及類比思維等。在統計中正態分布是一種常見的形式，在解決實際問題的環節遇到隨機現象，大都近似服從或服正態分布。學習這部分內容之前，學生已經掌握了離散型隨機變量的知識，且掌握了總體密度曲線及頻率分布直方圖等內容，因此教師可以在教學正態分布知識的過程中，指導學生結合已有認知進行探究。通過學習和應用正態曲線、頻率分布直方圖等，對從有限到無限的思想方法進行探究。例如，教師可以借助高爾頓板試驗，使學生對鐘形曲線建立直觀印象，以此將數學文化滲透給學生，使學生感受數學的對稱美。教師還可以給學生布置討論內容。例如，正態分布密度曲線的幾何意義及特點，并以36原則對正態分布的相關概率問題進行解決。教師還可以為學生創設合適的學習情境，讓一個小球在高爾頓板的上方通道口進入，通過撞擊相互錯開但平行的圓柱形小木塊掉入下方某個球槽內，讓學生猜測小球能夠落在哪個球槽里。這是一個概率問題，學生表示小球落入哪個球槽完全是隨機的。教師繼續導入統計學概念，用統計學知識分析在某個球槽落入小球的個數應看成什么，學生表示某個球槽落入小球的個數是一種落入頻次，教師可以給每個球槽進行編號，通過幾何畫板為學生演示高爾頓板試驗，一邊增加小球數量，一邊縮短組距，通過對頻率的觀察發現，在組距不斷縮短的情況下，頻率分布越來越像一個倒扣的鐘形，即兩邊低中間高的平滑曲線。通過對學生演示高爾頓板實驗，讓學生體會到數學思想從有限到無限的特點，進而理解了離散型隨機變量及連續型隨機變量。

綜上所述，直觀想象素養作為高中數學核心素養的重要組成部分，教師應結合教材內容對學生滲透數學思想，給予學生更多的自主學習空間，并多鼓勵學生應用學到的數學知識解決生活中的一些問題。引導學生從更為直觀的角度思考數學問題，在這一過程中培養學生的直觀想象素養，這能為學生未來高效地學習數學打下堅實的基礎。

作者單位寧夏回族自治區固原市隆德縣高級中學