基于高考新情境選擇壓軸題的題型剖析與求解策略

本文圍繞高考數(shù)學新情境選擇壓軸題展開，詳細剖析以新概念、新運算、新性質(zhì)、新背景、新公式為背景的題型.通過典型例題解析，總結解題思路與方法，并給出備考建議，旨在助力學生攻克此類難題，提升備考效率.

1引言

近年來，選擇壓軸題巧妙地融入新概念、新運算、新性質(zhì)、新背景、新公式等元素，全面考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，深入探究此類題型，對學生精準把握高考命題規(guī)律，有效提升解題能力意義非凡.

2新情境選擇壓軸題的類型剖析

2.1新概念導向的壓軸題

例1若數(shù)列 滿足對于任意正整數(shù) ，都有 ，且 ，則稱數(shù)列 為4 T 數(shù)列”已知 為“ T 數(shù)列”，則下列說法正確的是.

A.

B.

C.數(shù)列 是等差數(shù)列

D.數(shù)列{an}的前n項和S=

O 對于選項A，根據(jù)“ T 數(shù)列”的定義，令 m = 解析 n = 1 ，則 又 ，所以 ，故A錯誤.

對于選項B，在 中，令 m = 1，可得

即 ，則 （204號 ，故 又 ， 所以 ，故B錯誤.

對于選項C，由 ，可知相鄰兩項

的差不是常數(shù)，所以數(shù)列 不是等差數(shù)列，故C錯誤.

對于選項D，由 ，可得

又 ，所以 則數(shù)列 的前 n 項和為

故D正確.

綜上，選D.

此類問題通過定義全新的數(shù)列，考查學生對概念的理解和運用能力.解題的關鍵在于準確把握定義中的條件，通過合理賦值、推導，將陌生問題轉化為熟悉問題.這要求學生具備較強的數(shù)學抽象和邏輯推理能力，能夠從抽象定義中提煉出關鍵信息，運用特殊數(shù)列知識進行求解.例如，在學習“ T 數(shù)列”時，可以類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的學習方法.等差數(shù)列是通過后一項與前一項的差值恒定來定義，等比數(shù)列是通過后一項與前一項的比值恒定來定義，而4 T 數(shù)列”則是通過 與 以及 m n 的關系來定義.通過對比不同數(shù)列定義方式的異同，可以更深刻地理解“ T 數(shù)列”的本質(zhì)特征，從而更好地解決相關問題.

2.2 新運算導向的壓軸題

例2定義運算 ? ”：對于任意兩個數(shù)列 和 （204號 以及正整數(shù) m （2號 已知數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 滿足 ，若數(shù)列 的前 n 項和為 ，且 ，則 n 的最小值

為（ ）

A. 4 B.5 C.6 D. 7

O 解析

由題意可知 ，則

對 ① 兩邊同時乘3可得

由 ②- ① 可得

故

設 ，則

設B\"=1+2+3+…+n，則B=\" 設 ，則

因為 ，所以 化簡得 ，即 4003.

令 ，則 f ( x ) 在 [ 0 ， + ∞ ] 上單調(diào)遞增.計算可知 f ( 4 ) < 0 ， f ( 5 ) < 0 f ( 6 )<0 ， f ( 7 )>0 ，故選D.

本題將新定義運算、數(shù)列的通項公式以及不等式等多個知識點緊密結合，全面考查學生

對所學知識的綜合運用能力.在計算的過程中，每一步都需要學生具備較強的邏輯推理和數(shù)學運算能力，對學生的知識掌握程度和思維靈活性要求較高.

2.3新性質(zhì)為導向的壓軸題

例3(2023 年新課標I卷11，多選題)已知函數(shù) f ( x ) 的定義域為 則（ ）.

A. f ( 0 ) = 0

B. f ( 1 ) = 0

C. f ( x ) 是偶函數(shù)

D. x = 0 為 f ( x ) 的極小值點

方法1 (賦值法)對于選項A，令 x = y = 0 則 f ( 0 ) = 0 ，故A正確.

對于選項B，令 x = y = 1 ，則 f ( 1 ) = 0 ，故B正確.

對于選項C，令 x = y = - 1 ，則 f ( 1 ) = f ( - 1 ) + f ( - 1 ) = 2 f ( - 1 ) ，再結合選項B的分析可知f ( - 1 ) = 0 令 y = - 1 ，則

即 f ( - x ) = f ( x ) .因為函數(shù) f ( x ) 的定義域為 ，所以 f ( x ) 為偶函數(shù)，故C正確.

對于選項D，不妨令 f ( x ) = 0 ( x ∈ R) ，顯然符合題設條件，此時 f ( x ) 無極小值點，故D錯誤.

綜上，選ABC.

方法2 （構造法）對于選項ABC的判斷，同方 法1.

對于選項 D，若 ，則 由此結構，聯(lián)想到對數(shù)的運算法則.不妨令 =lnlx|，構造函數(shù)f(x)={χ2ln|x|，χ0，

當 x = 0 時， f ( x ) = 0

當 時， 1).令 ，解得 ；令 ，解得 0 < ，所以 f ( x ) 在 )上單調(diào)遞減，在 ，+ ∞ . 上單調(diào)遞增.

又 f ( x ) 為偶函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性易得 f ( x ) 在 上單調(diào)遞增，在 ( - ∞ ， )上單調(diào)遞減(如圖1)，則 x = 0 是函數(shù) f ( x ) 的極大值點，故D錯誤.

本題以抽象函數(shù)為背景，將函數(shù)與導數(shù)有機結合，考查學生對特殊到一般、轉化與化歸等數(shù)學思想方法的掌握情況.面對較為復雜的函數(shù)表達式，通常需要結合具體選項通過賦值法求解，這是處理該類多選題的優(yōu)選方法.對于涉及函數(shù)奇偶性的判斷問題，可以結合函數(shù)奇偶性的定義以及題設條件構造函數(shù)求解.

例4 (多選題)已知函數(shù) f ( x ) 的定義域為( - ∞ ， 0 ) ? ( 0 ， + ∞ ) ，且滿足下面2個性質(zhì)：

( 1 ) f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ; (2)當 時， f ( x )>0 下列說法正確的是（ ）.

A. f ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上是增函數(shù) B. f ( x ) 是偶函數(shù) C.若 f ( a ) = f ( b ) ，則 a = b D.若 f ( a ) + f ( b ) = f ( c ) ，則 a b = c

對于選項A，設 ，且 （20 ，所以 當 時， f ( x ) > 0 ，所以

因為 （204號

，所以 ，即

，則 f ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ）上是增函數(shù)，故A正確.

對于選項 B，令 x = y = 1 ，由 f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ，得 f ( 1 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) ，則 f ( 1 ) = 0 . 令 x = - 1 ， y = - 1 ，則 f ( 1 ) = f ( - 1 ) + f ( - 1 ) 又 f ( 1 ) = 0，所以 f ( - 1 ) = 0 . 令 y = - 1 ，則 f ( - x ) = f ( x ) + f ( - 1 ) = f ( x ) ，所以 f ( x ) 是偶函數(shù)，故B正確.

對于選項C和D，由選項B可知 f ( 1 ) = 0 . 令 y = ，則 ，故 若 f ( a ) = f ( b ) ，則 f ( a ) - f ( b ) = 0 ，即

若 f ( a ) + f ( b ) = f ( c ) ，則 f ( a b ) = f ( c ) .結合選項A和B可知 f ( x ) 在 ( - ∞ ， 0 ) 上單調(diào)遞減，在 ( 0 ， + ∞ ) 上單調(diào)遞增，則 ，故C和D錯誤.

綜上，選AB.

新性質(zhì)問題綜合性較強，它要求學生在掌握函數(shù)基本性質(zhì)的基礎上，能夠根據(jù)新給出的性質(zhì)進行深入的拓展和推理.這類題目考查學生對知識的遷移應用能力以及邏輯思維的嚴密性和連貫性.對于與新性質(zhì)有關的題，學生需要從不同角度思考問題，運用多種數(shù)學方法進行求解.在學習函數(shù)的新性質(zhì)時，可以利用函數(shù)圖像來輔助理解.例如，對于本題中的函數(shù) f ( x ) ，雖然無法準確畫出其圖像，但可以根據(jù)已知性質(zhì)畫出 f ( x ) 的大致圖像.因為 f ( x ) 在（0，+ ∞ ）上是增函數(shù)且為偶函數(shù)，所以其圖像關于 軸對稱，在 y 軸右側單調(diào)遞增，這樣有助于更直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)和相關結論.

2.4新背景為導向的壓軸題

例5 (2023 年新高考Ⅱ卷12，多選題)在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送0時，收到1的概率為 α ( 0 < α < 1 ) ，收到。的概率為 1 - α ；發(fā)送1時，收到0的概率為 β ( 0 < β < 1 ) ，收到1的概率為 1 - β . 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)，下列說法正確的是（ ）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依 次收到1，0，1的概率為 B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1， 0，1的概率為 C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的 概率為 （20 D.當 0 < α < 0 . 5 時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸 方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0 的概率

對于選項A，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1，0，1.發(fā)送1收到1的概率是 1 - β ；發(fā)送0收到0的概率是 1 - α .由獨立事件概率的乘法公式可知依次收到1，0，1的概率為

故A正確.

對于選項B，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，0，1，即第一次發(fā)送1收到1（概率為 1 - β ，第二次發(fā)送1收到0（概率為 β ），第三次發(fā)送1收到1（概率為 1 - β ) ，則由獨立事件概率的乘法公式可得

故B正確.

對于選項C，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，譯碼為1表示收到的信號中出現(xiàn)1的次數(shù)多，有以下兩種情況，

情況1：收到兩個1一個0，其概率為

情況2：收到三個1，其概率為 .因此，采用

三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為

故C錯誤.

對于選項D，采用單次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為0的概率為 ；采用三次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為O表示收到的信號中出現(xiàn)0的次數(shù)多，有以下兩種情況，

情況1：收到兩個0一個1，其概率為

情況2：收到三個0，其概率為 .因此，采用三次傳輸方案譯碼為0的概率為

當 0 < α < 0 . 5 時，有

即采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次 傳輸方案譯碼為0的概率，故D正確.

綜上，選ABD.

本題將數(shù)學知識與實際應用緊密結合，解題過程中需要學生根據(jù)信號傳輸和譯碼規(guī)則準確找到與概率知識相關的元素，考查學生運用概率知識解決實際問題的能力.求解這類問題要求學生具備較強的閱讀理解能力，能夠從復雜的題設條件中提取關鍵信息，建立數(shù)學模型.生活中還有很多類似的場景可以用這類知識來分析.比如，密碼學中的信息加密傳輸，為保證信息安全，會對數(shù)據(jù)進行多次加密和校驗；在質(zhì)量檢測領域，對產(chǎn)品進行多次抽樣檢測來判斷產(chǎn)品是否合格.通過了解這些應用場景，學生能更好地體會數(shù)學的價值，也更能熟練地掌握相關知識.此類問題不僅能考查學生的閱讀理解能力，還能考查學生分析信息、處理信息以及優(yōu)化解題路徑的能力.

例6 (多選題)常用的數(shù)是十進制數(shù)，如

，表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼 ；而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，只需兩個數(shù)碼0和1，如四位二進制的數(shù) ，等于十進制的數(shù)13.把 位 n 進制中的最大數(shù)記為 M ( m ，n )，其中 （202 ， n?2 ， M ( m ， n ) 為十進制的數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）.

A. M ( 4 ， 2 ) = M ( 2 ， 4 ) （20

B.

C.

D. M ( n + 2 ， n + 1 )>M ( n + 1 ， n + 2 )

對于選項 ，所以 M ( 4 ， 2 ) = M ( 2 ， 4 ) ，故A正確.

對于選項 ，故B錯誤.

對于選項C，當 n?2 時，由二項式定理可得

當且僅當 n = 2 時，等號成立.當 n = 2 時， M ( 2 n ， 3 ) ；當 n > 2 時， 的展開項數(shù)多于M ( 2 n ? 3 ) 的展開項數(shù)且對應項更大，所以 M ( 2 n ， 3 ) ，故C正確.

對于選項 構造函數(shù) f ( x ) = ，則 （204號 f ( x ) 在( e， + ∞ ) 上單調(diào)遞減.當 n ? 2 時， e< n + 1 < n + 2 .f ( n + 1 ) > f ( n + 2 ) ，即 ，M ( n + 2 ， n + 1 )>M ( n + 1 ， n + 2 ) ，故D正確.

綜上，選ACD.

該題巧妙融合進制轉換與大小比較的知識，考查邏輯思維和運算能力.解題的關鍵在于靈活運用等比數(shù)列求和公式.整體難度中等偏上，選項A和B側重考查基礎運算，選項C和D綜合度較高，能有效區(qū)分學生的數(shù)學水平.

2.5 新公式為導向的壓軸題

例7 (多選題)信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量 X 所有可能的取值為 ，且 ，定義 X 的信息熵 ，則（ ）.

A.若 n = 1 ，則 H ( X ) = 0

B.若 n=2 ，則 H ( X ) 隨著 的增大而增大 C.若 $\\pmb { \\mathscr { p } } _ { i } = \\frac { 1 } { n } ( i = 1 ， 2 ， \\cdots ， n )$ ，則 H ( X ) 隨著 n 的 增大而增大 D.若 n = 2 m ，隨機變量 Y 所有可能的取值為1， 2 ， ? s ， m ，且 ， 則 H ( X )?H ( Y )

對于選項A，若 n = 1 ，則 ，故A正確.

對于選項B，若 n = 2 ，則

設 ，則

1 單調(diào)遞增； 時： 單調(diào)遞減，所以 H ( X ) 不是隨著 的增大而增大，故B錯誤.

對于選項C，若 $\\pmb { \\mathscr { p } } _ { i } = \\frac { 1 } { n } ( i = 1 ， 2 ， \\cdots ， n )$ ，則

因為對數(shù)函數(shù) 在定義域上單調(diào)遞增，所以隨著 n 的增大， 增大，即 H ( X ) 隨著 n 的增大而增大，故C正確.

對于選項D，若 n= 2m ，則隨機變量 Y 所有可能的取值為 1 ， 2 ， ? s ， m ，且 1 ， 2 ， ? s ， m ) ，則

$\\begin{array} { c } { \\begin{array} { c } { { ( \\mathrm { { X } } ) = - \\displaystyle \\frac { \\lambda ^ { 2 } } { \\lambda - \\lambda ^ { 2 } } \\rho _ { 1 } \\log _ { 2 } \\rho _ { 3 } = \\displaystyle \\frac { \\lambda ^ { 2 } } { \\rho _ { 2 } } \\rho _ { 3 } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 3 } } = } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { \\mathrm { ~ \\rho _ { 1 } \\log _ { 2 } ~ \\frac { 1 } { \\rho _ { 1 } } + \\rho _ { 2 } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 } } + \\cdots + } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { \\mathrm { ~ \\rho _ { 3 m - 1 } \\log _ { 2 } ~ \\frac { 1 } { \\rho _ { 3 m - 1 } } + \\rho _ { 3 m } \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 m } } } ， } } } \\\\ { { { } } } \\\\ \\\\ { { { { \\begin{array} { c } { { H { ( \\mathrm { Y } ) - ( \\rho _ { 1 } + \\rho _ { \\mathrm { t x } } ) \\log _ { 2 } \\rho _ { 1 } + \\rho _ { 3 m } } } \\\\ { { { } } } \\\\ { { { ( \\rho _ { 3 } + \\rho _ { \\mathrm { t x } - \\lambda ^ { 2 } ) \\log _ { 2 } \\frac { 1 } { \\rho _ { 2 } + \\rho _ { 3 m - 1 } } + \\cdots + } } } \\\\ { { { } } } \\\\ { { { ( \\rho _ { s } + \\rho _ { \\mathrm { s m - 1 } } ) \\log _ { 3 } \\frac { 1 } { \\rho _ { s } + \\rho _ { s m - 1 } } - } } } \\end{array} } } } } \\end{array} } } } \\end{array}$

由于 ，則 ，故log2 ，所以 · ，則 H ( X ) > H ( Y ) ，故D錯誤.

綜上，選AC.

這類問題主要考查學生對新公式的理解能力，要求學生在理解公式含義的基礎上，能夠準確地進行計算，并通過對公式的變形和分析得出相關結論.它檢驗了學生對新知識的學習能力和運用數(shù)學符號進行推理的能力.以信息熵公式為例，它在數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)壓縮等領域有廣泛應用.在圖像壓縮中可以利用信息熵來衡量圖像數(shù)據(jù)的不確定性，通過計算不同像素值出現(xiàn)的概率，進而計算圖像的信息熵.信息熵越大，說明圖像數(shù)據(jù)的不確定性越高，也就意味著圖像中包含的信息越豐富，在壓縮時就越難無損壓縮.學生了解這些應用，就能更深入地理解公式背后的意義，也能提高運用公式解決實際問題的能力.

3復習備考建議

1)注重概念理解，夯實知識基礎

在復習備考中，學生應回歸數(shù)學概念的本質(zhì)，對于數(shù)學新概念的學習不能靠死記硬背，要深人理解其內(nèi)涵與外延.比如，在學習函數(shù)的概念時，學生不僅要理解函數(shù)的定義，還要通過分析不同函數(shù)的解析式、圖像以及它們在實際問題中的應用，加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解.在高三備考階段，遇到新概念問題，學生可嘗試列舉簡單例子或繪制圖表，將抽象概念具體化，同時將新概念與已學知識建立聯(lián)系，化未知為已知.

2)發(fā)展運算素養(yǎng)，提升運算能力

數(shù)學運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).學生應在熟練掌握常規(guī)四則運算以及乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)等運算，同時注重提升運算技能，如因式分解、消元法、換元法等，簡化運算，在練習中培養(yǎng)認真仔細的運算習慣，減少運算失誤.

（完）