促進深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)

初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)是以問題解決為導(dǎo)向，圍繞特定主題，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識與思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度解決社會生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、實踐能力的一種主題式學(xué)習(xí)形式.

一次函數(shù)可以用來描述現(xiàn)實世界運動變化現(xiàn)象中變量間的線性關(guān)系．例如，速度與時間：如果一個物體以恒定速度移動，它所行進的距離 （y） 與時間 （x） 的關(guān)系可以用一次函數(shù)表示；價格與數(shù)量：在某些情況下，商品的總價 （y） 與購買的數(shù)量 （x） 成正比；收入與工作時間：如果工資是按小時計算的，那么總收入 （y） 與工作的小時數(shù) （x） 之間的關(guān)系是線性的；溫度變化：在一定條件下，物體的溫度 （y） 與時間 （x） 的關(guān)系可以是線性的，例如在加熱或冷卻過程中；人口變化：在某些情況下，人口（y） 與時間 （x） 的關(guān)系可以近似為線性，尤其是在短期內(nèi)；金融投資：在某些投資情況下，如固定利率的存款，投資的收益 （y） 與時間 （x） 之間的關(guān)系是線性的；物理中的力與位移：在某些物理實驗中，作用在物體上的力 （y） 與物體的位移 （x） 之間的關(guān)系可能是線性的；化學(xué)反應(yīng)：在某些化學(xué)反應(yīng)的初期，反應(yīng)速率 （y） 與反應(yīng)物的濃度 （x） 之間的關(guān)系可能是線性的，等等.實際上，一次函數(shù)適用于任何兩個變量間存在直接比例關(guān)系的情形.

汽車行駛途中涉及的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，經(jīng)學(xué)生討論，選出學(xué)生都有熟知的三個問題進行討論：第一，已知公交車在每兩個站臺間行駛需要花費5分鐘時間，請問從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費多少時間？第二，汽車以60km/h 的速度勻速行駛，行駛路程skm ，行駛時間 ，那么路程與時間的關(guān)系是怎樣的？第三，探究油箱中的油量 y （單位：L）與行駛路程 x （單位： km 的關(guān)系.每一個學(xué)習(xí)小組選擇1至2個問題進行深入探討，利用平面直角坐標系直觀地畫出表示兩個變量關(guān)系的圖象，并說明理由．組間交流之后，學(xué)生在不考慮自變量取值范圍的前提下，用平滑的線將這些點連接起來．兩端無限延長得到的圖象都是一條直線，通過觀察圖象特征，學(xué)生揭示了一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).在上述學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的過程.

教材分析

一次函數(shù)是人教版八年級下冊第十九章的內(nèi)容，書中原文為“一次函數(shù) y=kx+b（k，b 為常數(shù)， k≠0 的圖象也是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b^′ .在章節(jié)復(fù)習(xí)知識結(jié)構(gòu)圖（如圖1）中，“圖象：一條直線”幾個大字，赫然醒目.在很多課堂教學(xué)案例中也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，在一次函數(shù)的新授課或在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，每當教師教學(xué)到一次函數(shù)的圖象時，都會直截了當?shù)貙⑺偨Y(jié)歸納為“一次函數(shù)的圖象是一條直線\"或者“圖象為一條直線的函數(shù)是一次函數(shù)”.學(xué)生在口答一次函數(shù)的圖象時也是脫口而出“一條直線”.一次函數(shù)的圖象一定是一條直線嗎？“一次函數(shù)”與“一條直線\"是一一對應(yīng)的關(guān)系嗎？

人教版“一次函數(shù)\"整章包括三節(jié)內(nèi)容：第一節(jié)是基礎(chǔ)內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)概念和函數(shù)圖象的畫法，歸納函數(shù)的三種表示方式；第二節(jié)是重點內(nèi)容，先學(xué)習(xí)簡單的正比例函數(shù)及其圖象和性質(zhì)，再學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其圖象和性質(zhì);第三節(jié)是一次函數(shù)的拓展應(yīng)用，用一次函數(shù)的知識解決實際問題.其中，第二節(jié)內(nèi)容從真實情境問題出發(fā)，先引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式給出一次函數(shù)的定義，再畫一次函數(shù)圖象，通過觀察圖象歸納出一次函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)舉例

函數(shù)的學(xué)習(xí)源于實際問題，因此得到的解析式也應(yīng)有實際情境作為支撐．在課堂上，當要求學(xué)生繪制這些函數(shù)的圖象時，他們可能會畫出由幾個點組成的線段、射線當然，也可能有學(xué)生畫出直線.在學(xué)生進行小組討論時，如何解釋這些現(xiàn)象呢？是否存在解析式為一次函數(shù)，但其函數(shù)圖象并非直線的情況呢？確實存在這樣的情況，以汽車行駛的實際情境為例，繪制出的圖象可能是點、線段、射線或直線.

例1已知公交車在每兩個站臺間行駛需要花費5分鐘時間，請列舉從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費多少時間.

在實例中，每兩個站臺之間所花費的時間5分鐘是常量，公交車到站臺的時間會隨著站臺的位置（第幾個）的變化而變化，并且到達一個站臺的時間與這個站臺的位置（第幾個）是單值對應(yīng)的關(guān)系，它是函數(shù)的實例．但是，在繪制圖象時，我們發(fā)現(xiàn)站臺的位置只能抽象成一個個獨立的點．雖然這些點看似在一條直線上，但這些點之間是不相連的，顯然其圖象只能是由幾個點組成的（如圖2所示）

例2汽車以 60km/h 的速度均速行駛，分析行駛路程 s （單位： km ）與行駛時間t（單位：h）的關(guān)系.

這些點就可以用一條射線來表示（參見圖3）.

在實例中，由于汽車是勻速行駛，速度 60kmλ 是常量，行駛路程 s （單位： km 會隨著行駛時間 Ψ_t （單位：h）的變化而變化，即 s=60t ，行駛路程與行駛時間之間是單值對應(yīng)關(guān)系，所以它是函數(shù)的實例.在繪制圖象時，由于行駛時間是連續(xù)變化的，我們可以在有意義的范圍內(nèi)選取盡可能多的對應(yīng)值，在坐標系中描繪出點的位置．只要這些點滿足實際意義，即時間大于或等于0且沒有上限（在不考慮汽車耗油量的情況下），那么

例3汽車油箱中有 50mL 油.如果不再加油，那么油箱中的油量 y （單位： mL 隨著行駛路程x（單位： km ））的增加而減少，耗油量為 10mL/km.

在實例中，油箱原有的50L油和耗油量 10mL/km 均是常量，油箱中的油量y（單位： mL 隨著行駛路程 x （單位： km ）的增加而減少，即 y=50- 10x ，油箱中的油量與行駛路程之間是單值對應(yīng)關(guān)系，它是函數(shù)的實例．但由于汽車油量是有限的，因此行駛路程也是有限的，也就是說 x 要滿足 0?x?5 ．在有限的行駛范圍內(nèi)，連續(xù)的點組成了一條線段，所以畫出來的圖象就是一條線段（如圖4所示）.

例4不考慮以上實際背景，畫出3個實例的函數(shù)圖象.

此時因為不再考慮自變量的意義，所以自變量可以取任意實數(shù)，在范圍的前提下，一次函數(shù)的圖象一定是一條直線．從三個式子的共同特征歸納得到一次函數(shù)的定義、一般形式、圖象與性質(zhì)，學(xué)生不僅能夠理解一次函數(shù)的概念和性質(zhì)，還能夠體會到數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，從而提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

坐標系中描出幾個點之后，用平滑的線將這些點連接起來，向兩端無限延長，畫出來的函數(shù)圖象為一條直線（如圖5所示）

對于實例1，可以解釋從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費的時間就是這條直線上 x 取整數(shù)時對應(yīng)的y值，說明相應(yīng)的時間y（單位： min 與第 Φ_x 個站臺的關(guān)系式是 y=5x ，實例2中的行駛路程s （單位： km ）與行駛時間t（單位：h）的關(guān)系式是 s=60t ，在這個實際問題中，t的取值范圍是 t≥0 ，因此圖象是在第一象限內(nèi)的一條射線（包括原點）.實例3中的油量 y （單位： mL ）隨行駛路程 （單位： km ）的增加而減少，即 y=50-10x ，因為油箱加滿有上限，行駛時油量逐漸減少，行駛路程逐漸增加，直到油全部消耗完，因此圖象是直線在第一象限內(nèi)的一條線段（包括正半軸上的端點）.以上實例充分說明了在不考慮自變量取值

1.教學(xué)設(shè)計緊扣學(xué)生學(xué)情

教學(xué)感想

如果教師在課程開始時就要求學(xué)生繪制一次函數(shù)圖象，那么對于那些尚未完全理解一次函數(shù)概念的學(xué)生來說，可能會一頭霧水，這不利于他們的學(xué)習(xí).實際上，圖形是直觀展示變量關(guān)系的最佳方式.通過研究函數(shù)圖象，不僅可以歸納出函數(shù)的性質(zhì)，還可以從“形\"的角度出發(fā)，結(jié)合“數(shù)\"的運算，通過觀察解析式的特征，歸納出一次函數(shù)的定義.

因此在教授一次函數(shù)時，應(yīng)從引導(dǎo)學(xué)生繪制函數(shù)圖象入手.這與人教版教材的編排順序是一致的.盡管教材將這兩部分內(nèi)容分布在不同的章節(jié)，導(dǎo)致許多人誤以為應(yīng)該按照教材的結(jié)構(gòu)來學(xué)習(xí)一次函數(shù)，即先從解析式分類中得出定義，然后繪制圖象，最后學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì).實際上，學(xué)生更容易理解的是圖象.無論教師在概念上如何細致地分解，都不如圖象的直觀展示更具說服力，也更容易被學(xué)生接受和理解．教材在第二節(jié)一次函數(shù)的編排中要求學(xué)生再次繪制一次函數(shù)圖象，實際上是為了讓學(xué)生綜合運用已學(xué)知識“兩點確定一條直線”.

2.問題設(shè)計平衡難度與相關(guān)性

問題設(shè)計是課堂的靈魂，既要有挑戰(zhàn)性，又要能引發(fā)學(xué)生的興趣教師應(yīng)聯(lián)系學(xué)生的興趣和生活經(jīng)驗設(shè)計從簡單到復(fù)雜的問題，逐步增加難度，鼓勵學(xué)生思考多種解決方案，并討論每種方案的優(yōu)缺點．讓學(xué)生通過實驗和探索來發(fā)現(xiàn)問題的答案，而不是直接告訴他們答案.學(xué)生在小組合作中解決問題，不僅是思維的碰撞，還能培養(yǎng)團隊合作精神.

在學(xué)生小組合作交流的過程中，教師應(yīng)適時提供反饋，幫助學(xué)生認識到自己的進步和需要改進之處，在課程的初期，重點應(yīng)放在積極引導(dǎo)上，避免過多使用反面例子.例如，圖象為直線的函數(shù)并不總是線性函數(shù).常值函數(shù) y=1 （其中 r 為任意實數(shù)）的圖象同樣是一條直線.盡管在函數(shù)新課程中不宜過早引入常量作為特殊變量的概念，但在教學(xué)過程中，教師仍需注意語言的精確性，切勿造成概念上的混淆.

3.教學(xué)過程落實深度學(xué)習(xí)

淺層學(xué)習(xí)只能看到事物表面表現(xiàn)出來的東西.《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》明確要求培養(yǎng)學(xué)生“樂于提問，敢于質(zhì)疑，學(xué)會在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，具有探究能力和創(chuàng)新精神”[1]．函數(shù)是從實際情境中抽象出最本質(zhì)的運動變化規(guī)律，這在起始課教學(xué)中就應(yīng)該直白地告訴學(xué)生，讓他們知道函數(shù)的學(xué)習(xí)就是在探究尋找運動變化的規(guī)律．由于學(xué)生在小學(xué)階段就有找規(guī)律的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，故他們不會對函數(shù)感到陌生，只會對它充滿興趣和好奇心，從而深入學(xué)習(xí)，洞察函數(shù)的本質(zhì).

對于上述一次函數(shù)與直線的關(guān)系，是筆者在幾年的教學(xué)實踐中逐漸領(lǐng)悟出來的.每次閱讀教材、進行教學(xué)，筆者都會有新的發(fā)現(xiàn)和理解，這正是自我深度學(xué)習(xí)的體現(xiàn)．只有不斷地深入研讀教材和實踐教學(xué)，教師才能真正理解教材編寫的深層含義，從而更有效地實施教學(xué)，為學(xué)生答疑解惑.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育課程方案（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.