大概念引領下高中數學“圓錐曲線的方程”單元教學建構研究

圓錐曲線方程是高中解析幾何最基本的內容之一，是數學教學的重要內容，學生通過對圓、橢圓、雙曲線和拋物線等圓錐曲線的探究學習，掌握有關圓錐曲線的幾何特征，運用圓錐曲線的方程研究實際問題。但是在傳統的教學實踐中，學生只側重于公式化的記憶和推導，而忽略了數與形相結合的現實世界。所以，如何將數學理論與現實相聯系，讓學生更感興趣地學習，并有效形成數學思維能力，是當下數學教學必須重視的一個難題。基于大概念的課堂教學是將數學和現實世界相結合的教學方式，本文通過對圓錐曲線章節《圓錐曲線方程》的教學設計、教學實踐等探討如何用數形結合教學理念來更好地實現從教書到育人的轉變，指導學生形成良好的認知，提高數學綜合應用能力。

一、圓錐曲線方程的教學設計與實踐

（一）教材分析與教學目標

“圓錐曲線的方程”是高中解析幾何的核心，在學習了圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的定義及其幾何性質，圓錐曲線方程標準形式的推導后，學生能掌握圓錐曲線的方程，知道圓錐曲線的方程在解決實際問題中的廣泛應用。如天體的軌道是橢圓、炮彈的運動是拋物線，都需要運用圓錐曲線的方程來解決問題，由此，從幾何直觀入手，通過坐標系的建立與推導，使學生在掌握數學概念的同時，可以培養學生建立空間想象力，進而提升他們數形結合的數學能力。這種教材編排充分體現了既要教授學生具體解題方法，又要啟發學生更高級的數學思維理念與思想，提高數學學習的實用性和應用性。

1.理解圓錐曲線的定義和幾何性質

學會圓錐曲線定義和幾何性質是整個圓錐曲線單元學習的基礎，其中圓錐曲線幾何背景和定義都在教材中清晰地呈現出來，特別是橢圓、雙曲線、拋物線的定義，每一種曲線都有其幾何含義，比如橢圓的定義是：平面內一點到兩個定點距離之和為常數，其幾何意義在于揭示橢圓的對稱性特征和空間幾何圖象，學習時教師可以通過實物操作，讓學生在坐標軸中畫出橢圓，感受兩焦點位置對橢圓的幾何圖形的影響特征；對于雙曲線的定義是：平面內一點到兩個焦點的距離之差為常數，學習時，可以通過讓學生先完成對橢圓、雙曲線幾何圖形的學習，發現兩者的幾何特征差距，從而體會數形結合的優勢，這種優勢對于進一步推導方程及實際應用都有重要意義；而對于圓錐曲線在實際問題中的幾何特征學習，當遇到實際問題時，幾何特征對解答過程是一個關鍵線索，可以使學生由解決問題的數學角度出發，也能由解決問題的物理、天文學角度思考問題[1]。

2.掌握圓錐曲線方程的推導過程和標準方程

求方程的過程是本單元教學難點之一，對于圓錐曲線的方程，要求學生不僅掌握各圓錐曲線的幾何特性，還要求學生具備利用幾何特性寫出表示圓錐曲線的方程的能力。比如，在橢圓標準方程的推導過程中，教材依據焦點定義，推導出橢圓的標準方程 ，即其中 a 和 b 分別為橢圓的長軸和短軸半長，學生在課上借助分析橢圓的幾何性質，可以得出焦點位置、長短軸對橢圓的影響。在此教學過程中，教師通過不斷問題啟導，讓學生層層建立數學模型，在數學模型推導過程中將幾何性質與代數方程相結合，讓學生在掌握幾何性質后利用代數方程形式得出橢圓的標準方程。對于雙曲線的方程推導，可以通過雙曲線與橢圓的相同與不同來掌握。例如，在推導雙曲線標準方程過程中，方程形式為： （204號 ，其幾何意義為平面任意一點到兩個焦點距離差為定值，結合方程代數形式教學過程與橢圓比較，強化方程的幾何意義與代數表達形式，形成綜合的整體知識結構。

3.能夠運用圓錐曲線方程解決實際問題

圓錐曲線方程的內容不只停留在導出和運用方程解決相關的問題上，事實上，天文學中的行星運動軌道，工程中的冷卻塔、拋物線形橋欄，物理中的光學反射等都涉及圓錐曲線方程的應用。所以，教材從地球運動軌跡的實例引入，在實際問題中自然地引導出圓錐曲線的方程，使學生真正明白方程是解決現實問題的重要工具之一。在課堂教學中，教師也可以設計一些跨學科活動，讓學生由已知條件聯想到相關物理學問題圓錐曲線方程的建構，由方程去解決實際問題。比如，學生可以利用橢圓方程求天體運動的軌道，利用雙曲線方程求反射光線等。當然，還可以模擬實際生活的問題如某一建筑物的輪廓造型、炮彈射程等，讓學生經歷數學建模的過程，使學生從數學知識中體驗解決問題，領略應用數學的美，從而喚起學生學習數學的熱情，提高他們的綜合素質[2]。

（二）大概念引領下的單元教學構建

1．大概念的提取與應用

如何獲取數學的大概念是教學中引導學生理解數學的基本思路。解析幾何的大概念是用代數方法研究幾何圖形，解析幾何的大概念可以幫助教師搭建數學和現實的橋梁。如地球的運行軌道一般是橢圓的，而電廠的冷卻塔則常設計成雙曲線，把這樣的實際應用帶到教學中，可以使學生從直觀上體會到圓錐曲線方程，如通過描述地球繞太陽的軌道，可以使得學生體會到橢圓方程 與實際天體運行軌跡的相關性，有助于幫助學生建立圓錐曲線方程的數學推導，更能促進學生探索數學在生活實際中的應用，提高他們對于數學的應用能力。通過實際問題的引入使學生更容易理解抽象的數學概念，體會圓錐曲線方程背后的數學思想的深刻意義[3]。

2.教學實例：橢圓方程的推導

在授課過程中，通過具體教學問題推導出橢圓的標準方程，能夠幫助學生掌握數學知識。以橢圓為例，設定橢圓的焦點分別為 F₁（-c，0） 和 F₂（c，0） ，利用橢圓的定義可得橢圓的方程，任意點 P（x，y） 滿足 PF₁+PF₂=2a ，設長軸為 2a ，焦距為 Ψ_c ，則可根據關系 a²=b²+c² 可得標準方程：

學生在以上推導過程中，不僅知道了橢圓的定義，而且對方程有了明確的幾何意義，尤其是用解析幾何的眼光會看到圓錐曲線方程是數形結合的產物，能夠將抽象的理論聯系實際運用。如行星在天文學中有橢圓的軌道方程，學生通過掌握橢圓方程的現實意義，增強對數學模型的識別應用意識[4]。

3.教師與學生的互動

代數方程知識內容中，圓錐曲線方程教學體現教師的主導地位，成為學生“思維加工”的組織者，利用教師的發問指導學生思考，理解相關數學概念，如橢圓標準方程中和的系數互為相反數，是怎樣的幾何含義？教師在教學中為發揮學生的主體作用，要為學生創設豐富的課堂互動環節，并結合學生上課期間提出的問題，通過討論與反饋引導學生思考的準確性。

4.教學中數形結合的應用

數形結合是解析幾何的關鍵思想，可以使得學生從代數方程式與幾何圖形的角度進行相互聯系，實現對數學知識的充分感知。對于圓錐曲線方程課程的講解，教師利用橢圓、雙曲線等幾何圖形，使學生可以從直觀的角度入手，全面解析公式的幾何圖形。比如，教師可以在平面直角坐標系中繪制橢圓，再利用到焦點距離之和的方式來推導出橢圓的標準方程，也展示了幾何圖形與代數方程的對應關系。通過數形結合的使用，學生可以實現對橢圓代數方程的全面認知，且學生可以更好地把握數學知識的美麗與應用價值。尤其是在解決實際問題時，學生通過數形結合的視角，可以對數學知識進行直觀性判斷，使學生在實際應用中充分把握數學工具與方式，培養學生運用數學技巧處理實際問題的能力，訓練學生空間思維與邏輯推理能力[5]。

（三）單元實施與效果分析

從目前實際教學情況看，運用單元主題教學法，讓學生在大概念引領下開展單元主題教學，學生不僅僅只是理解圓錐曲線相關的公式和概念，而是由具體數形結合，體會數學本質。通過實驗班和普通班進行對比教學發現，實驗班學生學習圓錐曲線課程的學習興趣顯著提高，考試成績顯著提升，尤其是數形結合能力、類比推理能力和邏輯推理等能力顯著提高。比如，在橢圓方程和雙曲線方程的教學中，實驗班學生能夠利用它們的幾何屬性快速找到二者的共性及差異，并根據二者的共性及差異，提出二者相應的不同點，即當離心率大于1時，方程代表雙曲線；當離心率小于1時，方程代表橢圓；方程含有平方和時，表示圓；當離心率為1時，方程為拋物線；同時能夠總結二者的差異，快速學習，彌補其知識漏洞，充分利用數形結合、類比和邏輯思維，讓學生在教師的幫助下歸納得到一個更加系統和條理的知識結構。這就有效鍛煉了學生的數學學習習慣和數學思想方法，尤其是對這些問題可以靈活解決的能力，這對于培養學生的數學思維能力，進一步提高學生應用知識解決問題的能力有著重要意義[]。

二、教學中的挑戰與改進策略

雖然基于大概念引領下的單元教學實現了對提升學生數學素養的促進作用，在實際教學中也存在一些困難，如學生對公式的推導過程中理解不透徹，教學資源的匱乏使學生對橢圓方程、雙曲線方程的理解停留在對代數推導過程上的盲從，而對每一步背后的幾何意義并未讀懂、吃透。其次，缺少相應的教學資源會影響教學互動，缺少實際問題情境的展現與呈現也會阻礙學生數學能力全面發展及教學目標的進一步提高。因此，改進下文所列的一些措施顯得尤為重要。

（一）分層教學

教師應該對不同的學生設置具有階梯性的學習任務，每一個學生都能夠處在適合其理解水平的學習上。對理解能力較強的學生可出具有一定難度的問題，讓其推導圓錐曲線的方程，并聯系生活中的問題進行解決，比如學生可通過對天體軌道橢圓的方程進行推導，來了解太陽與行星間的聯系。對理解能力一般的學生教師可通過將題目簡化的方式，幫助學生完成從幾何到代數的推導。教師根據具體問題進行分層教學，能夠降低學生由于跟不上課程而導致的負面情緒，能夠讓每一個層次的學生都在所接觸的問題上得到知識內化[7]。

（二）增加互動與實踐

為了讓學生對圓錐曲線方程概念理解得更加深刻，課堂上要有更多的互動與實踐，以分組討論、課堂實踐等方式去學習，讓學生在和同伴之間相互啟迪的同時，在實踐中親自去體驗數學的含義。如在橢圓方程的學習中，可以讓學生以小組的方式進行圖形軟件繪制橢圓，體會焦點在橢圓不同位置時橢圓形狀隨長軸及短軸變化情況，并思考其標準方程形式，可見通過實踐學生對橢圓方程會體會出其中的幾何關系。其次，通過在課堂的實踐能夠提升學生動手能力以及思維的靈活性，在實際問題建模求解中體會數學解決現實問題的價值，有利于學生對數學學習產生興趣。

結束語

總之，基于大概念統領下的《圓錐曲線的方程》教學設計與實證，采用數形結合的策略，有效解決了學生如何認識圓錐曲線的方程推導和應用，以及如何在這一過程中發展其數學思維和問題解決能力。這對于培養學生基礎代數能力、幫助學生將數學應用于現實生活，助力學以致用起到了促進作用，當然，在該過程中，尚存一定的困難與不足，如學生對公式推導理解不到位、教學資源不足等，為此本文提出實施分層教學與課堂教學的更多互動及實踐的策略，以使不同認知水平的學生能得到相應的教學支持，從而有效促進每位學生的發展。后續教學中應進一步研究如何更好地落實數形結合且向實際問題應用，實現學生更大程度上綜合運用數學知識的能力發展。

參考文獻

[1]陳小璐.依托單元教學踐行高中數學學科“五育融合”：以“圓錐曲線與方程”單元為例凹數學通訊，2025（3）：9-14.

[2]羅作燦.新課程背景下高中數學單元整合教學實踐研究：以“圓錐曲線與方程”為例·數學教學通訊，2024（33）：15-17.

[3]王志剛，張文蘭，劉旭亮，等.大概念統領下高中數學單元教學建構：以“圓錐曲線的方程”教學為例[].中學數學教學參考，2024（31）：63-66.

[4]張茜.高中數學結構化教學設計中直觀想象力的培養：以“圓錐曲線的方程”單元為例Ⅲ·試題與研究，2024（31）：1-3.

[5]顏廷帥，谷煥春.對教材章節章頭語及章頭圖的教學思考：以高中數學人教A版“圓錐曲線的方程”為例[J].福建中學數學，2024（9）：7-9.

[6]王宏東，李王梅.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的妙用[]數理天地（高中版），2024（17）：22-23.

[7]楊晨.基于問題鏈的高中數學導學案的設計研究[D].新鄉：河南科技學院，2024.