“高等數學”課程中函數極限教學的一些思考

摘 要：函數極限是高等數學中的重要概念，但大學新生常常在學習過程中遇到理解上的困難和應用上的障礙。本文對函數極限教學中存在的一些問題加以分析，從教學現狀展開分析和論述，主要闡述了教學過程所面臨的挑戰以及極限教學中的困境。在此基礎上，我們提出了教學方法調整措施，主要包括創新教學手段、增強師生互動與實踐以及強化問題與實際應用導向。只有這樣，學生才能在掌握函數極限知識的同時，培養出解決問題的能力和勇于探索的精神。

關鍵詞：“高等數學”教學；函數極限；教學挑戰；教學方式創新

1 概述

“高等數學”作為理工科專業必備基礎課程之一，其教學質量直接關系到學生后續專業課程的學習。函數極限作為高等數學中的一個重要概念，是學生進一步掌握微積分的基礎，對本科生后續學習“高等數學”的其他內容以及其他專業課程具有十分重要的意義。為達到優良的教學效果，在教材選擇上，不少高等院校選用同濟大學版的《高等數學》作為教學用書。該教材作為國家級獲獎教材，其內容能夠充分滿足理工科院校學生的學習需求。但是，對于剛進入大學的新生來說，函數極限概念還很抽象、定理繁多、推導過程繁雜，學生理解起來感到困難，教學效果不夠理想。

如何高效地進行教學，使學生更好地理解和掌握函數極限內容是“高等數學”教學的關鍵所在。然而在教學過程中，仍然存在著一些挑戰和障礙。例如，教學手段的單一化和學習需求多樣化之間的矛盾等，已較深地影響了課程教學的效果。另外，在函數極限的教學中，學生短時間內難以接受嚴格的數學定義，從而不能正確領會極限的實質。在極限的計算上，學生由于基礎知識掌握不牢，也存在著不小的障礙，導致學生學習興趣缺失。要解決這一問題，課程教師應結合學生學習的真實狀態開展有效的教學。

隨著社會的發展與進步，傳統教學模式并不能充分滿足學生學習函數極限的需求，這要求一線教學的教師們根據不同教學情景開展多元化的教學方法探索。在信息化和數字化不斷發展的今天，不同學生的學習需求和方式日趨多元化與個性化，可能還需要引入智能化教學工具增強學生的學習體驗感和獲得感。總之，在“高等數學”的教學中，我們要不斷地更新教學理念和方法，才能適應新時代對人才培養提出的高要求。

2 教學現狀分析

2.1 “高等數學”教學面臨的挑戰

“高等數學”作為一門重要的基礎課，對于培養學生邏輯思維方面有著至關重要的作用。但在“高等數學”的教學中，卻面臨著主客觀多方面的挑戰，具體如下。

（1）學生數學基礎薄弱，學習興趣不高。據調查顯示，部分新生基礎知識掌握不牢固，產生了畏難情緒甚至排斥的心理。這部分學生學習習慣也不夠良好，對知識的記憶和掌握不夠精準。在進入大學后，他們面對“高等數學”抽象的概念和繁雜的公式會感到困惑和吃力，學習熱情進一步降低。如何激發他們的學習興趣，幫助他們夯實基礎和樹立信心，成了課程教師需要面對的挑戰性問題。

（2）“高等數學”內容理論性強、與實際應用聯系不夠緊密也是教學中長期存在的問題。極限內容中蘊含著不少的數學概念和思想，這些內容比較抽象，學生理解起來有一定難度。若教學過程中過于強調理論講解，忽視概念和定理的直觀解釋以及與實際問題的結合，學生容易失去對數學學習的興趣。當前不少高校的《高等數學》教材和教學大綱已經較好地體現了數學與其他學科以及實際應用的聯系，但在具體執行過程中，授課教師對數學理論知識的應用意識還不夠強，對學科前沿發展及相關應用了解也不夠深入，難以高質量地講授實際應用方面的內容。

（3）大班授課教學模式的局限性也給“高等數學”教學帶來了一定的挑戰。不少院校“高等數學”課程仍然采用大班授課模式。在這種情況下，授課教師很難顧及每位學生的學習情況，學生在課堂上的參與度也不高，師生互動頻率也會降低。在大班授課模式下，教師對學生的學習指導不夠，學生遇到困難也難以得到及時解答和反饋，久而久之，問題會越積越多，學習的熱情和積極性下降，給學生造成挫敗感。

綜上所述，“高等數學”的教學目前仍面臨著學生基礎不牢、學習內容抽象、大班授課人數過多等主客觀方面的挑戰，為應對這些困難，一線教師需要在教學實踐中做到與時俱進，積極探索新的教學方式和方法，提高教學質量和激發學生學習興趣，最終達到提升學生數學素養和創新能力的目標。

2.2 函數極限學習理解的困境

函數極限是“高等數學”中的一個重要概念，也是學生學習過程中的一大難點。許多學生在理解函數極限時遇到了困境，主要表現在以下幾個方面。

（1）函數極限的定義和符號表示對學生來說較為抽象，難以在初學時完全掌握。極限的εδ語言描述了自變量無限接近某一值時，函數值的趨近性質。這種形式化的定義本身較為抽象，對于初學者來說不夠直觀，不易建立函數極限的幾何意義和動態過程。學生常常難以理解ε＞0和δ＞0之間的邏輯關系，進而無法準確掌握和運用該語言去分析和解答問題。

（2）函數極限的計算和證明過程涉及多種數學技巧和方法，如夾逼準則、兩個特殊重要極限等，初學者難以在短時間內融會貫通，做到靈活運用，因此常在解題時感到無所適從。盡管課本上給出了一些例題和習題，但面對形式多樣的極限求解問題時，學生由于缺乏必要的解題思路訓練，故難以舉一反三，觸類旁通。此外，部分學生只注重機械地計算和代入公式，卻忽視了對極限理論內在邏輯的理解和掌握。

（3）部分學生學習動力不足，對函數極限的理解僅停留在淺層的形式層面，尚未深入其本質內涵，只記住極限的數學公式的表達和運算法則，而忽視了極限是自變量變化過程中因變量變化的行為趨勢這一本質認識，故而無法真正將極限知識遷移到相關數學知識的學習中去。前文已經提到函數極限是學習后續內容的重要基礎，如導數、微分、積分、級數收斂性判斷等內容，都需要運用極限的思想和方法。極限內容的學習對培養學生的邏輯推理和抽象思考能力也至關重要，倘若學生對極限概念理解不深、掌握不全，會影響到后續知識的學習。

通過分析可知，造成學生函數極限學習困境的原因是多方面的。簡而言之，一方面，高等數學內容本身的抽象性和復雜性對學生的理解能力提出了較高的要求，學生在中學階段所學的函數、不等式、數列等知識難以為極限概念的引入奠定充分的基礎。另一方面，傳統的教學方式偏重定義、定理和公式的灌輸，較少從幾何直觀和思想方法的角度去闡釋極限理論的實質，課堂教學缺乏與學生認知特點相適應的啟發和引導。

函數極限作為“高等數學”的重要內容，其教學效果的提升任重而道遠。如何結合學生的認知規律，采取恰當的教學策略，引導學生建立極限概念的直觀表象，掌握極限運算的基本方法，培養學生的數學思維和應用意識，值得每一位高等數學教師深入思考和探索。

3 教學方法調整措施

3.1 創新教學手段

針對函數極限概念抽象、學生學習理解困難的障礙，授課教師需要積極創新教學手段與策略，激發學生的學習興趣，竭力培養學生的數學思維能力，具體策略如下。

（1）利用信息技術和數學軟件，直觀形象地展示函數極限的概念與性質。例如，用GeoGebra等數學軟件動態演示函數逼近極限值的過程，幫助學生形象而直觀地理解極限的幾何意義。

（2）引入數學史實例，講述極限概念的發展歷程，增強教學的人文性和趣味性。如介紹牛頓、萊布尼茨等著名數學家在極限思想形成過程中的貢獻，引導學生體會數學理論發展的曲折性。

（3）注重引導學生探索極限的本質。在課堂教學中，教師可通過設置開放性問題，鼓勵學生嘗試不同的解題思路，培養學生的發散性思維和批判性思維。

（4）選取恰當的生活實例，如速度極限、面積極限等，幫助學生建立極限概念與現實問題的聯系，增強學習動機。

（5）采用啟發式教學，設置引導性問題，引導和啟發學生自主探究極限性質和運算法則，加深對極限概念的理解。

在教學過程中，教師應盡可能地關注到學生個體差異，采取分層教學策略，如以學習小組等方式促進學生學習。對于基礎薄弱的學生，可通過補充練習和課下答疑等方式加強指導；對于學習能力強的學生，可布置拓展性任務，鼓勵其進行思考和深入探究，激發學生的學習興趣與動機。教師還可以根據學情采取多樣的手段、方法進行教學，如小組討論、習題課、讀書報告等方式，提高函數極限教學的針對性和實效性。

3.2 增強師生互動與實踐

在高等數學函數極限教學方法的改革中，持續深化師生互動與實踐是提升教學質量的重要途徑。通過該環節，教師能夠充分了解學生對概念的理解和掌握情況，從而制訂有效的教學計劃，采取相應的教學措施。下面，我們提出一些合理的方法，供大家參考。

（1）對學生的學習需求和現存教學挑戰進行認真分析，并在此基礎上結合授課班級特點設計一系列教學互動環節。該環節能在一定程度上活躍課堂氛圍，提高學生的主動參與度，這些環節包括課前學習小組問答、經典例題解答競賽以及重要問題實時反饋等。通過這些環節，學生學習的積極性得以提高，注意力和學習興趣能夠保持在較高的水平，從而為整個課堂教學的順利進行奠定必要的基礎。

（2）依據所設計的互動環節活動，分別進行教學材料的精心準備和實踐任務設計。這些實踐任務能夠幫助學生有效地鞏固知識點，同時也能為學生提供應用理論解決實際問題的平臺。在教學過程中，我們可不斷通過師生互動來檢測學生對極限概念的理解情況。當學生在理解上出現困難時，教師可及時進行重點和難點的解析，確保教學過程的連貫性。

（3）通過布置與實踐教學任務相關的課后作業，促使學生強化對知識的理解和應用能力。在應用中，讓學生逐步理解和掌握相關知識，從中得到正向積極的學習反饋，體會到學習的成就感和快樂。同時，教師也要注重收集學生的反饋信息等。通過分析學生的問題反饋，教師能夠持續調整教學策略，從而優化教學內容。

總之，增強互動和實踐環節能夠使學生在一個動態、開放和互動的學習環境中主動探索極限知識，最終實現教學效果的顯著提升。為此，一線教師還將在實踐中進一步明確教學改革方法與途徑，并為未來的教學實踐提供可靠的支持。

3.3 強化問題與應用導向

為使學生更好地學習、理解和掌握高等數學中的極限知識，強化問題與應用導向是另一種有效的教學策略。如何利用好這一方法、手段，我們提出如下建議。

（1）充分認識函數極限教學的重要性，并合理設置教學目標。極限思想是學習微積分的基礎，函數極限與高等數學中許多重要概念密切相關，例如數列極限、連續與間斷、導數與微分等諸多內容。因此，教師在制定教學大綱時，應根據專業培養目標與要求，充分考慮到學生實際情況，設置合理的教學目標，突出重點、難點，以避免內容過于繁雜。

（2）重視“以問題為中心”的啟發式教學，提高學生分析問題和解決問題的能力。教師應該精心設計教學案例，圍繞案例提出問題，引導學生自主思考、分析，通過解決問題來掌握知識要點。

（3）加強數形結合，提高學生的直觀感悟能力。函數極限涉及大量抽象概念，學生難以理解，教師可利用幾何直觀和數值計算相結合的方法，通過函數圖像和數值表格直觀展示極限概念與性質，加深學生理解。例如，在講解兩個重要極限時，教師可借助數學軟件繪制出函數在零點附近的圖像，并列出自變量x逐漸趨近于0時函數值的數值表，從而使學生能夠直觀地了解極限的存在，且它們的值為多少的過程。

（4）加強數學文化融入，激發學生的學習興趣。函數極限蘊含著豐富的數學文化內涵，教師可以考慮適當地融入數學家故事、悖論典故等數學文化元素，激發學生的好奇心和求知欲。例如，在講解到夾逼準則極限時，可以向學生講述高斯少年時代用分割思想巧算1+2+3+…+100的故事，引出數列極限的夾逼準則；在講解函數間斷點極限時，可提及19世紀初魏爾斯特拉斯構造的處處連續卻又處處不可導的怪異函數，從而引發學生對連續與可導的深入思考。

總而言之，在函數極限教學中，教師應把握思想方法、注重直觀感悟、強調應用意識以及融入數學文化，盡可能從多個角度、利用多種技術手段和方法引導學生學習，培養學生的信心和自學能力，從而提高教學效果。同時，教師還應該投入更多的時間和精力研究教學方法，不斷更新教學理念以及優化教學設計，為學生學好后續的課程內容打下堅實的基礎。

結語

函數極限理解能力的培養對學生后續學習“高等數學”乃至未來從事相關專業工作都具有重要意義，高校教師應該高度重視。本文對教學過程中的問題和挑戰進行梳理和分析，提出了一些在函數極限教學中有效的教學策略和方法。同時，教師還應該積極引導學生深入探索和思考極限思想的本質，了解其在實際問題中的具體應用。只有這樣，學生才能在掌握函數極限知識的同時，培養出解決問題的能力和勇于創新的精神，并為后續學習更深的知識奠定扎實的數學基礎。

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作者簡介：羅子健（1990— ），男，漢族，四川成都人，博士研究生，講師，研究方向：微分方程；楊鴻宇（1995— ），女，漢族，四川雅安人，博士研究生，講師，研究方向：優化分析。