“高等數(shù)學”課程中函數(shù)極限教學的一些思考

摘 要：函數(shù)極限是高等數(shù)學中的重要概念，但大學新生常常在學習過程中遇到理解上的困難和應用上的障礙。本文對函數(shù)極限教學中存在的一些問題加以分析，從教學現(xiàn)狀展開分析和論述，主要闡述了教學過程所面臨的挑戰(zhàn)以及極限教學中的困境。在此基礎上，我們提出了教學方法調整措施，主要包括創(chuàng)新教學手段、增強師生互動與實踐以及強化問題與實際應用導向。只有這樣，學生才能在掌握函數(shù)極限知識的同時，培養(yǎng)出解決問題的能力和勇于探索的精神。

關鍵詞：“高等數(shù)學”教學；函數(shù)極限；教學挑戰(zhàn)；教學方式創(chuàng)新

1 概述

“高等數(shù)學”作為理工科專業(yè)必備基礎課程之一，其教學質量直接關系到學生后續(xù)專業(yè)課程的學習。函數(shù)極限作為高等數(shù)學中的一個重要概念，是學生進一步掌握微積分的基礎，對本科生后續(xù)學習“高等數(shù)學”的其他內容以及其他專業(yè)課程具有十分重要的意義。為達到優(yōu)良的教學效果，在教材選擇上，不少高等院校選用同濟大學版的《高等數(shù)學》作為教學用書。該教材作為國家級獲獎教材，其內容能夠充分滿足理工科院校學生的學習需求。但是，對于剛進入大學的新生來說，函數(shù)極限概念還很抽象、定理繁多、推導過程繁雜，學生理解起來感到困難，教學效果不夠理想。

如何高效地進行教學，使學生更好地理解和掌握函數(shù)極限內容是“高等數(shù)學”教學的關鍵所在。然而在教學過程中，仍然存在著一些挑戰(zhàn)和障礙。例如，教學手段的單一化和學習需求多樣化之間的矛盾等，已較深地影響了課程教學的效果。另外，在函數(shù)極限的教學中，學生短時間內難以接受嚴格的數(shù)學定義，從而不能正確領會極限的實質。在極限的計算上，學生由于基礎知識掌握不牢，也存在著不小的障礙，導致學生學習興趣缺失。要解決這一問題，課程教師應結合學生學習的真實狀態(tài)開展有效的教學。

隨著社會的發(fā)展與進步，傳統(tǒng)教學模式并不能充分滿足學生學習函數(shù)極限的需求，這要求一線教學的教師們根據(jù)不同教學情景開展多元化的教學方法探索。在信息化和數(shù)字化不斷發(fā)展的今天，不同學生的學習需求和方式日趨多元化與個性化，可能還需要引入智能化教學工具增強學生的學習體驗感和獲得感。總之，在“高等數(shù)學”的教學中，我們要不斷地更新教學理念和方法，才能適應新時代對人才培養(yǎng)提出的高要求。

2 教學現(xiàn)狀分析

2.1 “高等數(shù)學”教學面臨的挑戰(zhàn)

“高等數(shù)學”作為一門重要的基礎課，對于培養(yǎng)學生邏輯思維方面有著至關重要的作用。但在“高等數(shù)學”的教學中，卻面臨著主客觀多方面的挑戰(zhàn)，具體如下。

（1）學生數(shù)學基礎薄弱，學習興趣不高。據(jù)調查顯示，部分新生基礎知識掌握不牢固，產生了畏難情緒甚至排斥的心理。這部分學生學習習慣也不夠良好，對知識的記憶和掌握不夠精準。在進入大學后，他們面對“高等數(shù)學”抽象的概念和繁雜的公式會感到困惑和吃力，學習熱情進一步降低。如何激發(fā)他們的學習興趣，幫助他們夯實基礎和樹立信心，成了課程教師需要面對的挑戰(zhàn)性問題。

（2）“高等數(shù)學”內容理論性強、與實際應用聯(lián)系不夠緊密也是教學中長期存在的問題。極限內容中蘊含著不少的數(shù)學概念和思想，這些內容比較抽象，學生理解起來有一定難度。若教學過程中過于強調理論講解，忽視概念和定理的直觀解釋以及與實際問題的結合，學生容易失去對數(shù)學學習的興趣。當前不少高校的《高等數(shù)學》教材和教學大綱已經較好地體現(xiàn)了數(shù)學與其他學科以及實際應用的聯(lián)系，但在具體執(zhí)行過程中，授課教師對數(shù)學理論知識的應用意識還不夠強，對學科前沿發(fā)展及相關應用了解也不夠深入，難以高質量地講授實際應用方面的內容。

（3）大班授課教學模式的局限性也給“高等數(shù)學”教學帶來了一定的挑戰(zhàn)。不少院校“高等數(shù)學”課程仍然采用大班授課模式。在這種情況下，授課教師很難顧及每位學生的學習情況，學生在課堂上的參與度也不高，師生互動頻率也會降低。在大班授課模式下，教師對學生的學習指導不夠，學生遇到困難也難以得到及時解答和反饋，久而久之，問題會越積越多，學習的熱情和積極性下降，給學生造成挫敗感。

綜上所述，“高等數(shù)學”的教學目前仍面臨著學生基礎不牢、學習內容抽象、大班授課人數(shù)過多等主客觀方面的挑戰(zhàn)，為應對這些困難，一線教師需要在教學實踐中做到與時俱進，積極探索新的教學方式和方法，提高教學質量和激發(fā)學生學習興趣，最終達到提升學生數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力的目標。

2.2 函數(shù)極限學習理解的困境

函數(shù)極限是“高等數(shù)學”中的一個重要概念，也是學生學習過程中的一大難點。許多學生在理解函數(shù)極限時遇到了困境，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

（1）函數(shù)極限的定義和符號表示對學生來說較為抽象，難以在初學時完全掌握。極限的εδ語言描述了自變量無限接近某一值時，函數(shù)值的趨近性質。這種形式化的定義本身較為抽象，對于初學者來說不夠直觀，不易建立函數(shù)極限的幾何意義和動態(tài)過程。學生常常難以理解ε＞0和δ＞0之間的邏輯關系，進而無法準確掌握和運用該語言去分析和解答問題。

（2）函數(shù)極限的計算和證明過程涉及多種數(shù)學技巧和方法，如夾逼準則、兩個特殊重要極限等，初學者難以在短時間內融會貫通，做到靈活運用，因此常在解題時感到無所適從。盡管課本上給出了一些例題和習題，但面對形式多樣的極限求解問題時，學生由于缺乏必要的解題思路訓練，故難以舉一反三，觸類旁通。此外，部分學生只注重機械地計算和代入公式，卻忽視了對極限理論內在邏輯的理解和掌握。

（3）部分學生學習動力不足，對函數(shù)極限的理解僅停留在淺層的形式層面，尚未深入其本質內涵，只記住極限的數(shù)學公式的表達和運算法則，而忽視了極限是自變量變化過程中因變量變化的行為趨勢這一本質認識，故而無法真正將極限知識遷移到相關數(shù)學知識的學習中去。前文已經提到函數(shù)極限是學習后續(xù)內容的重要基礎，如導數(shù)、微分、積分、級數(shù)收斂性判斷等內容，都需要運用極限的思想和方法。極限內容的學習對培養(yǎng)學生的邏輯推理和抽象思考能力也至關重要，倘若學生對極限概念理解不深、掌握不全，會影響到后續(xù)知識的學習。

通過分析可知，造成學生函數(shù)極限學習困境的原因是多方面的。簡而言之，一方面，高等數(shù)學內容本身的抽象性和復雜性對學生的理解能力提出了較高的要求，學生在中學階段所學的函數(shù)、不等式、數(shù)列等知識難以為極限概念的引入奠定充分的基礎。另一方面，傳統(tǒng)的教學方式偏重定義、定理和公式的灌輸，較少從幾何直觀和思想方法的角度去闡釋極限理論的實質，課堂教學缺乏與學生認知特點相適應的啟發(fā)和引導。

函數(shù)極限作為“高等數(shù)學”的重要內容，其教學效果的提升任重而道遠。如何結合學生的認知規(guī)律，采取恰當?shù)慕虒W策略，引導學生建立極限概念的直觀表象，掌握極限運算的基本方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和應用意識，值得每一位高等數(shù)學教師深入思考和探索。

3 教學方法調整措施

3.1 創(chuàng)新教學手段

針對函數(shù)極限概念抽象、學生學習理解困難的障礙，授課教師需要積極創(chuàng)新教學手段與策略，激發(fā)學生的學習興趣，竭力培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，具體策略如下。

（1）利用信息技術和數(shù)學軟件，直觀形象地展示函數(shù)極限的概念與性質。例如，用GeoGebra等數(shù)學軟件動態(tài)演示函數(shù)逼近極限值的過程，幫助學生形象而直觀地理解極限的幾何意義。

（2）引入數(shù)學史實例，講述極限概念的發(fā)展歷程，增強教學的人文性和趣味性。如介紹牛頓、萊布尼茨等著名數(shù)學家在極限思想形成過程中的貢獻，引導學生體會數(shù)學理論發(fā)展的曲折性。

（3）注重引導學生探索極限的本質。在課堂教學中，教師可通過設置開放性問題，鼓勵學生嘗試不同的解題思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和批判性思維。

（4）選取恰當?shù)纳顚嵗缢俣葮O限、面積極限等，幫助學生建立極限概念與現(xiàn)實問題的聯(lián)系，增強學習動機。

（5）采用啟發(fā)式教學，設置引導性問題，引導和啟發(fā)學生自主探究極限性質和運算法則，加深對極限概念的理解。

在教學過程中，教師應盡可能地關注到學生個體差異，采取分層教學策略，如以學習小組等方式促進學生學習。對于基礎薄弱的學生，可通過補充練習和課下答疑等方式加強指導；對于學習能力強的學生，可布置拓展性任務，鼓勵其進行思考和深入探究，激發(fā)學生的學習興趣與動機。教師還可以根據(jù)學情采取多樣的手段、方法進行教學，如小組討論、習題課、讀書報告等方式，提高函數(shù)極限教學的針對性和實效性。

3.2 增強師生互動與實踐

在高等數(shù)學函數(shù)極限教學方法的改革中，持續(xù)深化師生互動與實踐是提升教學質量的重要途徑。通過該環(huán)節(jié)，教師能夠充分了解學生對概念的理解和掌握情況，從而制訂有效的教學計劃，采取相應的教學措施。下面，我們提出一些合理的方法，供大家參考。

（1）對學生的學習需求和現(xiàn)存教學挑戰(zhàn)進行認真分析，并在此基礎上結合授課班級特點設計一系列教學互動環(huán)節(jié)。該環(huán)節(jié)能在一定程度上活躍課堂氛圍，提高學生的主動參與度，這些環(huán)節(jié)包括課前學習小組問答、經典例題解答競賽以及重要問題實時反饋等。通過這些環(huán)節(jié)，學生學習的積極性得以提高，注意力和學習興趣能夠保持在較高的水平，從而為整個課堂教學的順利進行奠定必要的基礎。

（2）依據(jù)所設計的互動環(huán)節(jié)活動，分別進行教學材料的精心準備和實踐任務設計。這些實踐任務能夠幫助學生有效地鞏固知識點，同時也能為學生提供應用理論解決實際問題的平臺。在教學過程中，我們可不斷通過師生互動來檢測學生對極限概念的理解情況。當學生在理解上出現(xiàn)困難時，教師可及時進行重點和難點的解析，確保教學過程的連貫性。

（3）通過布置與實踐教學任務相關的課后作業(yè)，促使學生強化對知識的理解和應用能力。在應用中，讓學生逐步理解和掌握相關知識，從中得到正向積極的學習反饋，體會到學習的成就感和快樂。同時，教師也要注重收集學生的反饋信息等。通過分析學生的問題反饋，教師能夠持續(xù)調整教學策略，從而優(yōu)化教學內容。

總之，增強互動和實踐環(huán)節(jié)能夠使學生在一個動態(tài)、開放和互動的學習環(huán)境中主動探索極限知識，最終實現(xiàn)教學效果的顯著提升。為此，一線教師還將在實踐中進一步明確教學改革方法與途徑，并為未來的教學實踐提供可靠的支持。

3.3 強化問題與應用導向

為使學生更好地學習、理解和掌握高等數(shù)學中的極限知識，強化問題與應用導向是另一種有效的教學策略。如何利用好這一方法、手段，我們提出如下建議。

（1）充分認識函數(shù)極限教學的重要性，并合理設置教學目標。極限思想是學習微積分的基礎，函數(shù)極限與高等數(shù)學中許多重要概念密切相關，例如數(shù)列極限、連續(xù)與間斷、導數(shù)與微分等諸多內容。因此，教師在制定教學大綱時，應根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標與要求，充分考慮到學生實際情況，設置合理的教學目標，突出重點、難點，以避免內容過于繁雜。

（2）重視“以問題為中心”的啟發(fā)式教學，提高學生分析問題和解決問題的能力。教師應該精心設計教學案例，圍繞案例提出問題，引導學生自主思考、分析，通過解決問題來掌握知識要點。

（3）加強數(shù)形結合，提高學生的直觀感悟能力。函數(shù)極限涉及大量抽象概念，學生難以理解，教師可利用幾何直觀和數(shù)值計算相結合的方法，通過函數(shù)圖像和數(shù)值表格直觀展示極限概念與性質，加深學生理解。例如，在講解兩個重要極限時，教師可借助數(shù)學軟件繪制出函數(shù)在零點附近的圖像，并列出自變量x逐漸趨近于0時函數(shù)值的數(shù)值表，從而使學生能夠直觀地了解極限的存在，且它們的值為多少的過程。

（4）加強數(shù)學文化融入，激發(fā)學生的學習興趣。函數(shù)極限蘊含著豐富的數(shù)學文化內涵，教師可以考慮適當?shù)厝谌霐?shù)學家故事、悖論典故等數(shù)學文化元素，激發(fā)學生的好奇心和求知欲。例如，在講解到夾逼準則極限時，可以向學生講述高斯少年時代用分割思想巧算1+2+3+…+100的故事，引出數(shù)列極限的夾逼準則；在講解函數(shù)間斷點極限時，可提及19世紀初魏爾斯特拉斯構造的處處連續(xù)卻又處處不可導的怪異函數(shù)，從而引發(fā)學生對連續(xù)與可導的深入思考。

總而言之，在函數(shù)極限教學中，教師應把握思想方法、注重直觀感悟、強調應用意識以及融入數(shù)學文化，盡可能從多個角度、利用多種技術手段和方法引導學生學習，培養(yǎng)學生的信心和自學能力，從而提高教學效果。同時，教師還應該投入更多的時間和精力研究教學方法，不斷更新教學理念以及優(yōu)化教學設計，為學生學好后續(xù)的課程內容打下堅實的基礎。

結語

函數(shù)極限理解能力的培養(yǎng)對學生后續(xù)學習“高等數(shù)學”乃至未來從事相關專業(yè)工作都具有重要意義，高校教師應該高度重視。本文對教學過程中的問題和挑戰(zhàn)進行梳理和分析，提出了一些在函數(shù)極限教學中有效的教學策略和方法。同時，教師還應該積極引導學生深入探索和思考極限思想的本質，了解其在實際問題中的具體應用。只有這樣，學生才能在掌握函數(shù)極限知識的同時，培養(yǎng)出解決問題的能力和勇于創(chuàng)新的精神，并為后續(xù)學習更深的知識奠定扎實的數(shù)學基礎。

參考文獻：

［1］韓永杰.高等數(shù)學教學中的一些挑戰(zhàn)與對策［J］.科技風，2024（21）：1719.

［2］黎日松，盧天秀，全衛(wèi)貞，等.高等數(shù)學課程中“極限”的教學探究［J］.高教學刊，2024，10（29）：124127.

［3］李會芳.高等數(shù)學教學中極限算法探究［J］.數(shù)學學習與研究，2021（22）：128129.

［4］石磊.高等數(shù)學課程教學改革探究［J］.貴州師范學院學報，2024，40（07）：5055.

［5］任仙芝.基于高等數(shù)學課程的多元化教學模式的探索［J］.學周刊，2024（09）：79.

［6］趙麗娜，李秋姝.人工智能背景下高等數(shù)學課程課堂創(chuàng)新的實踐探索［J］.高等理科教育，2024（05）：4047.

作者簡介：羅子健（1990— ），男，漢族，四川成都人，博士研究生，講師，研究方向：微分方程；楊鴻宇（1995— ），女，漢族，四川雅安人，博士研究生，講師，研究方向：優(yōu)化分析。