數與運算一致性視角下乘法分配律的知識解構及學習進階

“數與運算”歷來是小學數學的重要內容。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）強調了“數與運算的一致性”問題。所謂一致性，F.JamesRutherford的觀點，是指聯系，即事物的各個部分通過某種方式相互聯系，形成一個統一的整體。12022年版課標強調的\"數與運算的一致性”，是指“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性”。在度量的視角下，計數單位是數與運算的一致性的核心。

數的運算涉及兩個核心概念：算理及算法。運算律是理解算理和形成算法的基礎。學生從學習加法運算開始，就已經運用運算律了（只是未直接告知）；隨著運算復雜性的提升，運算律在運算過程中的顯性應用也越來越多。運算律作為數與運算主題的大觀念始終伴隨相關內容的學習。2在現行的小學教材中，運算律的認識通常安排在第二學段（3～4年級），但其應用實際上從第一學段（1＼～2年級）就開始了，這形成了“先應用后認識\"的矛盾現象。相較于其他運算律，乘法分配律因其形式較為復雜，內涵豐富，學生理解起來存在一定的難度。學生對乘法分配律認知困難的原因主要有三個：一是教師缺乏對乘法分配律的運算重要性的認識，許多教師認為學生學習乘法分配律的目的僅僅是為了簡便運算；二是學生缺乏對乘法分配律本質的理解，特別是缺乏從數與運算一致性視角下來理解乘法分配律的知識結構，這與教師教學中未能有意識地引導學生持續建構相關知識有關；三是教師缺乏培養學生乘法思維的意識，乘法思維被公認為是數

觀點主張·觀點直播

學的重要組成部分，它支撐了小學乃至以后的許多數學學習（比例推理、代數）。布魯納認為“代數的基本觀念是以交換律、分配律和結合律的原理為基礎的，領會基本的原理和觀念，看來是通向適當的‘訓練遷移'的大道”。3因此，如何改進乘法分配律的教學，尤其是在數與運算一致性視角下系統把握乘法分配律的本質內涵，以促進學生經歷乘法分配律的持續建構過程，顯得尤為重要。

一、數與運算一致性視角下乘法分配律的知識解構

乘法分配律體現了加法和乘法之間的運算關系。根據Carpenter的觀點，對分配性質的內隱理解可以通過將未知事實與已知事實聯系起來，為學生提供一個學習乘法事實的框架。4因此，在小學早期學習加法之時，滲透乘法分配律的思想至關重要。

（一）乘法分配律是連接加法思維與乘法思維的橋梁

在數的運算中，加法是最基礎的運算，也是最能自然體現數與運算一致性的一種運算。根據皮亞杰的觀點，加法是數的構造中固有的，它是通過數的重復相加來完成的，他將自然數看作是“加法的具體表現形式”，在數的建構與運算中，核心概念是計數單位，即計數單位個數的累積。例如， 5+3= 8，表示5個一與3個一合并起來是8個一。在這樣的加法運算中，已經隱含了乘法分配律的事實，即 5×1+3×1=（5+3）×1 。再如， 12×10 可以寫成（10+2）×10=10×10+2×10° 從度量的視角看， 5+3 與 12×10 都可以理解為計數，唯一不同的是計數單位， 5+3 的計數單位是一（個），而 12×10 的計數單位是十。

馮·格拉斯菲爾德提出了“單位化\"的概念：從經驗中抽象出“1\"（單位）的過程，就叫“單位化”。學生構建的第一個計數單位是“1”，有了這個計數單位后，學生可以一個一個計數，也能一組一組計數（如圖1）。從逐個計數到分組計數，是從加法走向乘法的關鍵，是運算思維上的飛躍，分組計數克服了逐個計數的煩瑣與低效。“單位化\"是學生認識復合單位的基礎，有了計數單位，主要看學生能否在思維中將不是“1\"的數字、集合等看作“1”，并進行計算和操作。5]

從運算一致性的視角來看，從加法思維向乘法思維的轉變，其實質是從加法的“個與個\"的單一單位模型轉變為“一對多\"的復合單位模型，并在此基礎上拓展成更豐富的乘法現實模型。從學生思維發展的層面來看，加法思維到乘法思維的發展過程可以劃分為四個水平層次（如表1）。6]

（二）乘法分配律是算術思維走向代數思維的介梯

算術思維主要體現為程序思維，其核心在于獲得一個結果，并確保所采用的方法的正確性。代數思維則體現為關系或結構，旨在尋找關系和確定結構。學生從算術思維向代數思維的轉變，需要經歷從具體數字到符號表征、特殊到一般、程序到結構的思維轉變。一般認為，小學生以算術思維為主導，但這并不意味著他們無法發展代數思維。《美國學校數學教育的原則和標準》中“代數標準\"明確指出，從學前至12年級的數學教育應確保所有的學生能夠：（1）理解模式、關系和函數；（2）用代數符號表征和分析數學情境和結構；（3）用數學模型表征和理解數量關系；（4）分析各種情境中的變化關系。由此可見，學習代數是一個“從學前教育就開始的課程鏈”。7]小學數學中適合代數思維的內容眾多，其中乘法分配律無疑是重要內容之一，它是小學生從算術思維過渡到代數思維的階梯，因為代數思維的核心思想如變量、等價、結構及關系等，在乘法分配律中已有所體現。

1.準變量思維

準變量思維是指識別、提取并運用所隱含的代數關系、結構或模式，對非符號化的語句或表達式進行準代數式的表達，從而實現“代數地思考”。8]準變量思維的訓練甚至可以提前至幼兒階段。例如，在分積木的游戲中，要求幼兒將一排6個積木分成兩堆，讓幼兒嘗試不同的分法，并說明其中的規律。在這樣的游戲活動中就蘊含了準變量思維：一是乘法分配律的早期滲透，6個一可以分成1個一加5個一等；二是含有關系性思維，兩堆積木可以看成一個結構，這個結構中一邊多一個，另一邊就少一個，體現了一般性關系。盡管幼兒可能不了解代數表達式如 a+b=c ，則 （a+n）+（b-n）=c ，但游戲過程中的思維方式正是典型的準變量思維。幼兒和小學生“準變量思維\"的訓練原理相同，區別僅在于單位的變化（如圖2）。

2.等價變換思維

等價變換思維是指數字、測量、數字表達式、代數表達式等都存在多種等值表示方式的思維，其核心在于變與不變的關系。以乘法分配律為例，圖2的準變量思維訓練中也包含了等價變換思維，主要是通過直觀（圖形）操作來感受幾個幾的分配，適宜在低年級使用。隨著年級的升高，對乘法分配律的理解和應用應逐步由直觀操作轉變為運算操作。

例如 23×5 ，基本操作為 （20+3）×5=20×5+3×5 ，當然也可以轉變為 （18+5）×5=18×5+5×5 等多種方式，在眾多變換中讓學生發現它們共同遵循一個潛在的數學關系，在這種關系中，無論包含的數字是什么，只要遵循規則，就可以進行等價變換。

3.關系性思維

從算術思維向代數思維轉變的一個重要標志是從等號的程序觀念到等號的關系觀念的轉變。小學數學中最核心的關系是相等關系。乘法分配律表達式正好體現了等號的關系性質。一年級學生在學習數的認識時，從數的組成中就可以用分配的性質滲透關系性思維。例如，6個一可以分成2個一和4個一，2個一和4個一合起來是6個一。在關系性思維的指導下，學生對乘法分配律的理解和應用要超越熟練掌握計算，并注意到數學深層次的關系。例如， 28×6 ，要讓學生看到 28×6 與 20×6+8×6 的相等關系，也要讓學生著到 20×6+8×6 與 10×6+ 18×6 等之間的內在聯系。

（三）從數與運算一致性視角理解乘法分配律的本質是單位數量的分配

從數與運算一致性視角來看，數的運算實質上是計數單位個數的運算。乘法分配律就是乘法對加法的分配，其本質是對于相同單位個數的分解與組合的轉換。其中，相同單位個數的分解的基本表達式為 （a+b）×c=a×c+b×c ，相同單位個數的組合的基本表達式為 a×c+b×c=（a+b）×c ，這些轉換策略的靈活運用構成了乘法運算、因式分解等數學知識的基礎內容。

1.相同單位個數的分配

加法思維和乘法思維之間存在聯系與區別。加法劃分可能導致大小不相等的部分，而乘法劃分必然涉及大小相等的部分。理解乘法分配律的核心在于基于單位個數的分解及分配。分配的過程是一個由簡單到復雜、思維水平層次不斷提高的過程（如表2）。為了讓學生深人理解乘法分配律的性質，需設計相應的活動，讓他們經歷不同水平層次，并理解分配前后算式的意義。

2.轉換的靈活性

乘法分配律策略的運用基于相同單位個數分解和組合的轉換。乘法分配律的靈活應用體現在兩個維度：一是廣度的靈活性，指的是學生能夠選擇并靈活運用多種策略，如將 102×12 分解成 100× 12+2×12 ，或將 3.76×2.4+6.24×2.4 組合成（ 3.76+ 6.24）×2.4 ，這種分解與組合主要依據問題的特性而定；二是深度的靈活性，指的是學生能夠將每種策略應用于新的表達方式中，并呈現出一定的創新性。總之，無論是廣度的靈活性還是深度的靈活性，關鍵在于學生要掌握變與不變的原則。

二、從數與運算一致性視角探討乘法分配律的學習進階

學習進階是指學生在一段較長時間內，對某一核心概念的學習中，所經歷概念理解的連續、不斷深化的過程。學習進階的構成要素通常包括進階的起點與終點、進階維度、學習表現以及評價等。在數與運算一致性視角下，乘法分配律的學習進階可依據數學學習心理、課程標準相關要求以及教材的編排來設計。

（一）在數與運算一致性視角下乘法分配律的學習進階構建

在數與運算一致性視角下乘法分配律的學習進階構建主要依據以下幾個方面。首先是學生的認知心理，在劃分進階層級時，需重視學生對概念的理解以及相關能力從低到高的發展過程。這方面可參考APOS概念學習理論，依據該理論的四個階段，掌握學生在數學知識構建過程中的心理特征。其次是乘法分配律自身的內在知識結構，其核心在于對相同單位個數的分配。最后是2022年版課標對乘法分配律的學習要求主要有以下三個內容：（1）理解四則運算的含義及其聯系，并能夠進行準確的計算；（2）結合生活情境和具體實例，初步感知乘法分配律的內涵并熟悉其結構；（3）能靈活運用乘法分配律解決問題。學習進階構建具體內容如表3所示。

（二）在數與運算一致性視角下乘法分配律的教學建議

基于上述分析，乘法分配律是小學數學教學中的關鍵內容，在數與運算一致性視角下加強對乘法分配律的教學研究具有非常重要的現實意義。

1.重視教學內容的整體性

在現行的小學數學教材中，運算律的教學通常安排在第二學段，這導致了運算律與數的運算之間的割裂，使得學生在學習中難以體會到運算律在運算中的應用，運算律與運算的整體性是由運算的意義及其衍生的運算律的普遍性和客觀性所決定的。學生從開始認數起，加法思維和乘法思維就已經存在，從學習數的分解與組合開始，乘法分配律就已經蘊含其中。二年級學生學習的乘法口訣本質上就是乘法分配律的應用。因此，在數的認識和運算教學之初，就應有意識地讓學生體會到（乘法）運算律的存在。

2.強調教學內容的結構化

教學內容的結構化是整體性的具體表現，其核心在于知識間的邏輯聯系。在數與運算一致性視角下，乘法分配律的核心知識是單位及其變化，從對幾個一的分配到對幾個幾的分配，再到因式分解及合并同類項的代數式運算，變化的只是單位，而原理始終如一。因此，在教學相關內容時，應關注知識間的聯系及邏輯意義，以幫助學生在知識結構中認識乘法分配律的本質。

3.注重教學內容的適切性

根據APOS理論，學生的數學學習是遵循從活動到過程再到對象乃至圖式的發展過程。乘法分配律的學習應充分遵循學生的認知規律，依據進階層次開展相應的教學。例如，在第一學段，應讓學生初步感受分解與組合的規律，體會到只有單位相同才能進行分解與組合，并能用自己的方式表征分配過程。在乘法運算的教學中，既要重視豎式的算理，也要重視橫式的展開。而到第二、三學段，則應重視分配的靈活性及與其他運算律的綜合運用。

由此可見，在數與運算一致性視角下對小學數學進行教學研究，既要有數學的眼光，也要有對學生數學學習的關照，更要有兩者緊密的有機結合。

參考文獻：

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（1.江蘇省張家港市中興小學2.江蘇第二師范學院）