APOS理論導向下的小學數學概念教學研究

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A【文章編號】1002-3275（2025）06-69-04

數學概念是學生進行數學推理、判斷的依據，是學生學習數學定理、法則、公式的基礎。在當前小學數學教育逐漸聚焦學生認知發展的背景下，數學概念教學作為培養學生思維能力的核心環節備受關注。本文從APOS理論的角度對小學數學概念教學展開研究，通過創設真實情境、設置問題探究、設計驅動任務、引導歸納總結等教學策略，幫助學生從動態認知形成向完整知識圖式過渡，為優化小學數學教學設計和提升學生數學素養提供實踐路徑與理論依據。

一、APOS理論導向下小學數學概念教學價值與要求

（一）教學價值

APOS理論是杜賓斯基提出的一種具有數學學科特色的學習理論，它將小學數學概念教學分為活動（Actions）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Scheme）四個階段。[1]在小學數學教學中，數學概念作為知識體系的核心，其學習過程需遵循學生認知發展的規律和特點。APOS理論作為數學教育領域的一種重要認知理論，為學生數學認知體系的構建提供了清晰的理論框架。具體而言，一是活動階段，小學階段的學生思維尚處于由具體形象性向抽象邏輯性發展的關鍵時期，活動作為學生的認知起點，可通過具體操作和直觀體驗，為學生的數學概念學習奠定基礎；二是過程階段，強調學生在反復操作和觀察中，逐漸將分散的行動內化為穩定的認知過程；三是對象階段，APOS理論引導學生將內化的知識轉化為可操作的數學對象，為學生對概念形成深度認知提供理論支持；四是圖式階段，將個體所學的概念融人更高層級的知識結構中，實現數學知識的系統化。

（二）教學要求

APOS理論對小學數學概念教學提出了系統化、科學化的實踐要求，主要體現在三個關鍵層面。一是教師層面，APOS理論強調教師要觀察學生在學習過程中的表現，分析學生對概念的理解程度，以便及時調整教學策略。在教學過程中，教師要創設與概念緊密相關的問題情境，引導學生通過思考、操作等活動，初步理解與認知概念。二是教學過程層面，小學階段學生的抽象邏輯思維尚未成熟，概念的生成需以操作和過程體驗為基礎。因此，教師要重視數學概念導入的現實背景，創設真實的活動情境，讓學生通過具體的感性活動，從現實情境或直觀操作中初步感知概念。三是學生層面，APOS理論強調要突出學生的主體地位，讓學生在課堂中參與活動、自主探究，通過不斷的反思、對比、歸納，自主構建知識體系，提升創新意識和解決問題的能力。教師應設計具有相關性和激發性的課例，培養學生的學習興趣，讓學生保持對數學學習的自信心、自我效能感和洞察力。

二、APOS理論導向下小學數學概念教學原則

（一）主體性原則

主體性原則強調學生是數學概念學習的主體，其認知發展是通過主動參與和積極構建知識實現的。[2]小學階段學生的認知特點決定了其需在具體操作、探究活動、反思過程中體驗數學概念的生成和發展。主體性原則要求教師關注學生的認知起點，充分尊重其在學習過程中的獨立性和創造性，激發學生的學習動機，使學生能自覺投入數學概念的構建活動中。該原則通過引導學生從感性認識逐步過渡到理性理解，促使其在動態學習中掌握數學概念的本質屬性，并通過自主探究形成深刻的認知結構。

（二）實踐性原則

數學概念的形成與發展離不開實際操作和情境化體驗，因此實踐性原則是小學數學概念教學的重要方法論基礎，直接回應了APOS理論中活動階段的認知特點。該原則強調學生通過親身參與活動，在操作中感知數學概念的具體表現形式，并逐步將其內化為穩定的認知過程。通過將數學概念融人生活化情境，并通過感官體驗和動手操作，可幫助學生在真實情境中發現問題、分析問題，從而加深對數學知識的理解和掌握。同時，該原則還突出了學以致用的教育理念，強調學生將數學知識與實踐相結合，提升其應用能力和數學素養。

（三）啟發性原則

啟發性原則是基于APOS理論的過程和對象階段的認知要求提出的，強調教師在數學概念教學中發揮引導與啟發作用。在教學中不僅要讓學生學會概念，而且應注重引導學生通過問題解決和邏輯推理，逐步將外部刺激內化為認知模式。啟發性原則要求教師設計開放性問題和多樣化活動，通過有針對性的提問和引導，促使學生獨立思考并構建對數學概念的理解。在此過程中，教師的啟發不是直接給予結論，而是引導學生思維，激發其探究興趣，促進其邏輯思維能力的發展。此外，啟發性原則還強調學生在對比和遷移中深化對概念的理解，最終實現對數學知識的內化和靈活應用。

三、APOS理論導向下小學數學概念教學策略

（一）創設真實情境，鋪墊概念認知基礎

APOS理論導向下的小學數學概念教學中，活動階段是學生構建數學認知體系的起點。通過動態操作和情境化活動，學生能感知數學概念的表面特征，為概念內化和對象化奠定基礎。[3]在此理論指導下，教師可通過創設真實生活情境，將抽象的數學知識具體化，促使學生將數學概念與具體情境關聯，幫助學生直觀感知數學概念的本質特征，進而實現對數學概念的感性認知，為后續從“過程”到“對象”的認知轉化打下堅實基礎，從而有效達成小學數學概念教學的目標。因此，在教學中，教師需結合學生已有的認知水平和生活經驗，設計情境任務，引導學生通過動手和觀察，完成從具體感知到抽象理解的認知遷移。

例如在學習人教版三年級上冊第八單元“分數的初步認識”時，教師可設計貫穿課堂的情境操作活動，以真實情境為切入點，引導學生逐步感知和理解分數的概念。首先，教師利用多媒體展示“分享蛋糕”的生活化場景，將一個圓形蛋糕對半切開的動畫，并展

示其中一份，明確告訴學生：“這個部分叫作‘二分之一’，用分數 表示。”其次，教師在黑板上板書“二

分之一”及其分數符號 ^?，1，? 逐步講解分母表示整體分成的等份數，分子表示其中的一份。教師通過語言引導，幫助學生初步理解分數的基本含義。在此基礎上，教師可進一步操作多媒體，將同一個圓形蛋糕分成4等份，取出其中的一份，向學生展示并說明，“每

一份叫作‘四分之一’”，并在每一部分上標注 通

過明確指示，教師可引導學生觀察和對比 和 的差T異，強調分子相同時，分母變大則分數變小的規律，

并在課堂上通過語言表達強化學生的理解。最后，教師組織學生小組動手操作，為每組提供圓形紙片作為

“蛋糕”，要求學生按指導將紙片分成2份、4份、8份，分別用分數標注每一份。 在此過程中，教師可巡視課堂，觀察學生的操作情況，針對學生的錯誤進行個別指導，確保學生正確理解“等分”的概念。在小組操作完成后，教師組織學生展示分割結果，將代表性紙片貼在黑板上，強調分數中分母表示整體被分成的等份數，分子表示取出的份數，引導學生將具體的操作感知轉化為對數學語言的理解，完成從具體感知到基本規律提煉的過程，初步構建分數概念的認知，為后續抽象理解奠定堅實的認知基礎。

（二）設置問題探究，提高邏輯辨析能力

APOS理論導向下的小學數學概念教學中，過程階段強調通過問題探究引導學生逐步理解數學概念的動態生成過程，形成穩定的認知結構。在這一階段可通過設計遞進性的問題鏈，引導學生提升邏輯辨析能力。該方法通過從簡單到復雜、從感知到抽象的邏輯遞進，幫助學生逐步掌握數學概念的本質特征和內在聯系。具體而言，教師需在動作層面引導學生直觀感知概念核心特征，在過程層面強化概念特性驗證與推導，在對象層面整合概念特征并實現多維度認知，在結構層面通過反思性問題梳理概念整體知識框架，從而幫助學生構建完善的數學概念體系，有效培養其邏輯推理能力和拓展其數學思維深度，為后續學習奠定堅實基礎。

例如在學習人教版四年級上冊第五單元“平行四邊形和梯形”時，教師在教學設計中應注重遞進式問題的設置，逐步引導學生在觀察與思考中構建數學概念。教師可從四個層面引導學生，促進其對平行四邊形和梯形特征的理解。一是動作層面，設置基礎問題以引導學生感知圖形特征。通過觀察圖形，教師要求學生辨別哪些四邊形具有“兩組對邊分別平行”的特性，幫助學生初步歸納平行四邊形的核心特征。隨后，設置對比性問題，讓學生將“一組對邊平行”和“兩組對邊平行”的四邊形進行分類，進一步明確梯形與平行四邊形在對邊平行性質上的區別。二是過程層面，問題設置側重于探究特征間的關系與驗證。學生通過分析平行四邊形的性質，驗證其對邊平行且相等，并結合操作觀察發現對角線互相平分的特性。同時，教師提出逆向問題：“如果四邊形的兩組對邊分別平行但對角線未互相平分，它是否仍為平行四邊形？”此類問題通過否定性假設引導學生驗證平行四邊形的重要判定條件，逐步深化概念認知。三是對象層面，教師在學生完成特性探究后，設計抽象化問題，以幫助學生整合特征，如“如何通過平行關系、邊長特性、對角線特性判定一個四邊形是平行四邊形？”。此問題促使學生從多個維度總結平行四邊形的本質特征，并將其作為對象整體進行理解。與此同時，針對梯形的定義，可設置進一步的引導性問題：“當一個四邊形只有一組對邊平行時，是否可通過其他特征進一步分類？”通過引導學生思考直角梯形和等腰梯形的特性，拓展學生對梯形分類的認知。四是結構層面，設計反思性問題幫助學生形成系統化認知。例如教師提問：“平行四邊形與梯形的核心特征及其判定條件有何異同？”此問題要求學生結合已知知識點，進行概念的系統梳理和比較分析，從而實現從具體探究到結構化知識的遷移。

（三）設計驅動任務，深化動態概念理解

APOS理論導向下的小學數學概念教學中，對象階段是學生內化和穩定數學認知的關鍵階段。通過設計驅動任務，學生能從動態構建中反復操作、歸納、驗證，逐步完成從感知到深層理解的認知轉化。驅動任務的設計以多樣性和層次性為核心，引導學生在動態操作中深化對數學概念的理解。在這一階段，可通過任務分層，幫助學生從感知圖形特性入手，逐步探索面積計算的內在規律。在教學中，教師需從基礎任務出發，引導學生通過直觀操作感知面積公式的基礎概念；隨后設計拓展任務，將學生的認知延伸至復雜多邊形的面積公式推導與驗證；最后結合綜合任務，引導學生在多維度情境中綜合運用公式，以深化對面積計算規則的系統理解。通過此方式，學生不僅能準確掌握多邊形面積公式，而且能通過任務反復驗證和遷移應用，強化數學邏輯思維，為后續幾何學習打下堅實基礎。

以人教版五年級上冊第六單元“多邊形的面積”教學為例，首先，教師設計基礎驅動任務，幫助學生從操作層面理解簡單多邊形面積的計算方法。例如在矩形的教學過程中，教師提供長為 5cm 、寬為 3cm 的圖形，讓學生通過數格子計算面積，并記錄結果。重復多組任務后，教師引導學生總結矩形面積公式。教師隨后再設計驅動任務，要求學生觀察將平行四邊形轉化為矩形的過程，再給出底為 6cm 、高為 4cm 的平行四邊形，讓學生通過剪拼操作，驗證其面積等于底乘以高。通過操作和總結，學生初步理解了平行四邊形面積公式的推導過程。其次，在完成基礎驅動任務后，教師設計拓展任務，將學生的認知延伸至更復雜的多邊形面積的學習中。以三角形為例，提供底為8cm 、高為 5cm 的三角形，要求學生利用多媒體將其復制并拼接成平行四邊形，驗證三角形面積為平行四邊形面積的 。通過多次拼接操作和公式計算的對比，學生歸納得出三角形面積公式。同時，教師引導學生將相同方法應用于梯形面積的探索，通過拆分與拼接操作，總結梯形面積公式。最后，教師設計綜合性的驅動任務，綜合多種圖形的面積計算方法，以增強學生的邏輯思維能力。如提供一個由矩形、三角形、梯形拼接而成的復雜圖形，要求學生分解圖形并分別計算各部分面積，再求總面積。在分步計算任務中，學生反復驗證面積公式的通用性，并掌握多步運算的邏輯順序，深化對面積概念的理解。

（四）引導歸納總結，完善知識結構體系

APOS理論導向下的小學數學概念教學中，圖式階段是學生將零散的知識點系統化為完整認知圖式的關鍵環節。教師可通過提煉規律和對比分析相結合，引導學生逐步構建知識體系。首先，教師通過設計分步驟的活動，引導學生從具體計算中歸納數學概念的核心規律，并結合多次任務驗證規律的通用性，幫助學生將感性認識上升為理性認知。其次，教師設計對比性任務，聚焦概念間的聯系與區別，強化學生的邏輯辨析能力，并通過適當拓展問題，促進學生對知識的靈活運用與遷移。通過層層遞進的引導，學生不僅能夠深化對數學概念的理解，而且能夠完善知識結構，為后續學習提供支持。

例如在人教版五年級下冊第二單元“因數與倍數”教學中，首先，教師通過分步驟設計活動，引導學生在具體計算中提煉因數與倍數的核心規律，如提供一組數，讓學生判斷12是哪些整數的倍數，幫助學生理解倍數和因數的關系。再通過“找出24的因數”的任務，要求學生列舉、驗證并歸納規律，逐步構建因數與倍數的概念框架，為后續學習的公因數與公倍數的推導奠定基礎。其次，教師設計對比性任務，幫助學生將因數與倍數的概念融入更廣泛的數論體系中。例如讓學生比較“6是12的因數”和“12是6的倍數”的表達異同。教師再設計任務，如“找出18和24的公因數與公倍數”，讓學生歸納出公因數是同時整除兩個數的數，而公倍數是兩個數的公共倍數，并逐漸內化概念之間的邏輯聯系。最后，教師引導學生將所學內容系統化。例如通過提出“一個數既是12和18的倍數，又是它們的因數，這個數是什么？”這一問題，引導學生發現這個數即兩個數的最大公因數，并進一步認識到最大公因數與最小公倍數在數論中的重要性。在此階段，學生深化了對因數與倍數的理解，還通過歸納和比較，將知識融入數論體系中，為后續學習分解質因數和解決實際問題打下了基礎。

本文基于APOS理論，對小學數學概念教學進行探索，可為小學數學概念教學提供理論支撐，有效促進學生的概念學習從動態操作到知識圖式的深度內化，提升其邏輯推理能力和認知水平。同時，APOS理論導向下的小學數學概念教學強調將學生認知發展規律與教學設計相結合的重要性，為優化數學教學模式和促進學生核心素養發展提供了新思路。未來的研究可進一步探索APOS理論在跨學科知識構建、個性化學習路徑設計、數學抽象能力提升中的應用價值，并結合信息化教學手段，構建動態適應性教學模型，以進一步推動小學數學教學的理論創新與實踐優化。

【參考文獻】

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