基于PBL模式的離散數學圖論教學方法研究

摘要：文章分析了PBL模式在離散數學教學中的優勢。以圖論中的最短路徑算法為例，探討了基于PBL模式的教學方法對提升學生理解能力和團隊協作能力的有效性。研究構建了以城市地鐵交通最短路徑問題為導向的學習情景，通過小組討論的形式，引導學生主動探索圖論中的理論知識和算法原理。教學過程中融合了上機實踐，實現自主學習和實踐技能同步發展。研究結果表明，PBL模式的使用激發了學生對課程的興趣，促進了學生創新思維和實踐能力的發展，學生的學習成績也有顯著提升。本研究為離散數學課程的教學改革提供了新的思路，也為計算機類學科的教學實踐提供了有益的參考。

關鍵詞：離散數學；PBL模式；最短路徑算法；教學改革；自主學習

中圖分類號：TP301.6文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）13-0148-03

0引言

離散數學是計算機領域的重要基礎課程，具有高度的理論性。許多定理和定義抽象且邏輯性強。其研究對象包括集合、圖、樹、關系等離散結構，以及相關的算法。課程內容分散且復雜。對于大一學生而言，在專業知識相對薄弱的情況下，如果依照傳統教學模式，一味地講授書本上的知識點，只會讓學生覺得思路不清晰，進而感到枯燥無味，難以將所學知識與現實問題聯系到一起，無法深入理解到其背后的應用價值與意義，無法培養到學生的實踐能力與創新思維。

隨著教學改革的深入和教學學時的壓縮，如何在有限課時內提高教學質量成為急需解決的問題。不同學校的教師為激發學生對于離散數學的興趣，提出了許多新的教學方法，并取得了一定的成果。徐周波等人通過提出問題、分析問題，從而進行程序設計，將科研反應用于教學中，提出了一種逆向案例教學改革[1]。邢雪等人從互聯外部環境出發，基于以課程教學內容為主、學生及時反饋的教學互動為輔的教學設計思路，提出了一種及時反饋的教學互動方法[2]。陳麗君等人以課程目標與畢業要求為導向，基于形成性評價體系，提出了一種基于OBE理念的混合教學模式[3]。梁妍等人利用基于互聯網技術和建構主義理論的新型線上線下混合式教學模式，以激發學生的學習主動性和學習興趣[4]。王禮提出將離散數學課程內容與計算機專業知識融合起來教學，能有效提高學生學習的熱情，以及學生的理論水平和實踐能力[5]。陳溪源等人提出以學生為中心，圍繞“問題引導—理論學習—實踐探索”，以提高學生學習興趣、培養學生創新精神和實踐能力[6]。然而，針對離散數學圖論部分的具體教學方法研究相對較少，并且教學內容較抽象。

圖論作為離散數學中的一個重要分支，理論體系龐大，涉及多種算法，在實際生活中也有著極其廣泛的應用。對于本校學生而言，先修專業課程只有高級語言程序設計，并未構建起專業的抽象思維和邏輯推理能力。而后修課程中的數據結構和算法，需要極強的理論和推理基礎。因此，在離散數學的教學過程中，教師應當引導學生去進行邏輯思維能力的鍛煉。

為了加強學生的積極性和參與性，提高學生的自主學習效率和團隊協作能力，本文提出一種基于PBL（Problem-basedLearning，問題導向學習）模式的教學研究，探索一種適合離散數學圖論部分的教學方法。優化教學內容，通過實際生活中的案例，讓學生更容易接受、理解和參與，充分調動學生對于離散數學的學習興趣。在案例分析的過程中，培養學生的創新思維和實踐能力。讓學生能夠輕松理解專業知識，并更好地應用于實際生活當中。PBL模式除了引導學生自主探究外，還鼓勵學生進行合作學習，以培養學生的獨立思考能力、團隊協作能力和創新能力。

1PBL模式下的教學思路

在離散數學的教學中引入PBL模式，意味著需要將學生的學習過程從被動接受轉變成自主探索。教師需要明確離散數學的教學目標，將這一目標貫穿整個教學過程。對于學生而言，除了需要掌握課本上的基本定義和定理外，還需提高獨立解決問題的能力和團隊協作的能力。因此，教師在設計教學過程時，應當多安排學生進行自主研究和團隊討論。

應當選擇與專業領域相關的真實問題作為學習的起PBL模式的核心思想在于“問題的提出”。教師點。根據教學目標和學生實際水平，設計具有挑戰性和開放性的實際問題。問題應當緊密聯系本堂課教學內容，且與現實生活或者學科領域內的真實場景相關。學生能夠更好地進入狀態，激發他們的學習和探索的興趣。在整個過程中，應當以學生為主體，引導他們主動通過查閱資料、閱讀教材等方式進行學習和分析，主動參與問題的解決過程中。

PBL模式特別強調團隊合作。教師提出問題后，需要組織學生進行小組合作。每個小組由不同能力、不同性格和不同知識背景的學生組成，以增加思維碰撞的可能性。為確保全員參與，每位組員應當有明確的分工和職責，互相探討、交流，共同設計方案來解決現實問題。

在問題解決的過程中，教師需要密切關注學生的學習進展和困難，及時給予幫助。同時，要引導學生提出自己的觀點和思路，鼓勵他們以多種形式（如圖形、表格、文字、視頻等）展示探究成果，促進思維的碰撞。這不僅能夠鍛煉學生的表達能力和自信心，還能促進班級內的知識交流和經驗分享，使學生對知識有更深刻的理解、更廣闊的視野和更靈活的運用。問題解決后，還需要引導學生進行自我評價和小組評價，以促進學生的反思和學習效果的提升。

本文將PBL模式應用于圖論章節的教學中，具體分為以下幾個步驟。課前準備：教師設計一個生活中的具體問題。學生自學圖論的基本概念和相關算法理念，進行知識整理并以小組的形式圍繞問題進行探討，初步對問題所涉及的知識點有一定的掌握。課中實施：教師教授知識點并給出課前問題的解決方案。學生應學會將理論知識與實際問題相結合。課后實踐：加入上機編程讓學生能更好地理解課上所授知識點的實際應用，提高學習興趣與動力，開拓算法思維。該設計能夠落實PBL模式的教學理念，提升離散數學圖論課程的教學質量和效果。以下將展現PBL模式在圖論“最短路徑問題”教學中的整個設計過程。

2教學過程的設計

2.1課前準備

課前一周，在超星學習通上發布案例討論：隨著城市化進程和鐵路網絡的不斷擴展，如何高效地規劃鐵路交通成為亟待解決的問題。在城市鐵路交通中，人們希望選擇最快捷、最經濟或最可靠的路徑，以實現高效出行。通過計算城市鐵路最短路徑，可以減少不必要的通勤時間，提升出行體驗。

圖1提供了某城市鐵道路線和相關數據。圖中A至H代表站點，邊（如A與C之間的連線）代表道路，邊上的數值代表該路線的行駛時間（如B站到D站需要4分鐘）。若換乘時間忽略不計，小紅想從B站到達E站，最短通勤時間是多少？請簡要描述設計思路。

2.2課中實施

首先，在案例圖的基礎上，進行本節課知識點的講解。在圖論中，圖G是由節點V和邊E組成的數據結構，代表事物之間的關系。結點通常代表實體，如圖1中A到H代表的站點。邊是連接兩個結點的線段，邊所對應的結點對為序偶。圖1中每條邊都是無向邊，所以構成的圖為無向圖，邊對應的結點對為無序對，如（A，C）。每條邊上賦予的數值即權值，如圖1中A站到C站需要花費6分鐘。接著，對課前布置的案例題以小組自薦講解的形式進行，從而引發大家的思考和激烈的討論：使用什么樣的方法能夠更具邏輯性地找到點到其他結點的最短路徑呢？教師在引導學生對各小組回答的內容進行優缺點的探討后，引出知識點——Dijkstra算法。該算法是由荷蘭科學家EdsgerWybeDijkstra在1956年提出，使用類似廣度優先搜索的方法解決賦權圖的最短路徑問題。

為了清晰明了的展示解題思路，用板書結合畫圖的方式，如下所示。

第一步：在整個過程中，需要用到兩個集合。集合S不斷更新以記錄當前已知結點的最短路徑長度，直到找到目標結點的最短路徑；集合U存放尚未找到最短路徑的結點。已知題中需要求解B點到E點的通勤時間，故初始狀態如圖2（a）所示，此時：

S={B（0）}，U={A（∞），C（∞），D（4），E（∞），F（∞），G（∞），H（∞）}

其中，B（0）代表B點到B點的通勤時間為0，A（∞）代表B點當前不能直接到達A點。

第二步：從初始狀態中可以看出U集合中B到D的通勤時間最短，故將D添加到集合S中，如圖2（b）所示，更新后的兩集合關系如下。

S={B（0），D（4）}，U={A（∞），C（∞），E（∞），F（∞），G（∞），H（∞）}

第三步：此時S集合中已確定兩個結點，由于初始狀態中B點無法到達除D點外的其他結點，因此需逐個判斷是否可以通過新加入的結點D來縮短起點B到U中其他結點的時間，如圖2（c）所示，此時：

B點到A點：B→A（∞），B→D→A（∞）

B點到C點：B→C（∞），B→D→C（6）

B點到E點：B→E（∞），B→D→E（∞）

B點到F點：B→F（∞），B→D→F（∞）

B點到G點：B→G（∞），B→D→G（9）

B點到H點：B→H（∞），B→D→H（∞）

選擇通勤時間最短的結點添加到集合S中。此時路線“B→D→C”的通勤時間為6，將C點添加到集合S中，更新后的集合如下：

S={B（0），D（4），C（6）}，U={A（∞），E（∞），F（∞），G（9），H（∞）}

歸納算法的核心點在于不斷通過已確定最短路徑的結點作為中間結點，來尋找從起點到終點的最短路徑。為了加強學生的理解，布置課中個人練習：重復第三步，直到S集合中出現E點，B點到E點的最短通勤路徑如何表示及最短通勤時間是多少？

學生在進行個人練習的過程中，教師應當進行巡查，并對未掌握該算法的學生進行必要的指導和鼓勵，直到學生能夠找出B到E的最短路徑為“B→D→C→F→E”，通勤時間為11分鐘。

為提高學生的協作解決問題能力和應變能力，布置課中小組討論：通過解題步驟，總結一下Dijkstra算法的設計思想該如何表示？

短通勤時間的結點（1）定義兩個集合（初始為。集合S={Ss}）用來存放已經找到最，其中s為起始節點。

集合U用來存放還未找到最短通勤時間的頂點。對于集合U中的每個節點，將起點s與節點vi之間的權值賦給dist[s，vi]來計算通勤時間。當兩節點不相鄰時，代表起點并不能直達vi，dist[s，vi]=∞。

（2）選出dist[s，vi]中最小的節點vj，將vj加入集合S中。再依次判斷集合U中的節點，檢查是否可以通過新加入的頂點j來縮短其到源點的距離。如果dist[s，vj]+wj，ilt;dist[s，vi]，則更新最短距離dist[s，vi]=dist[s，vj]+wj，i。

加入集合（3）重復步驟S中。2，直到集合S=V，即所有頂點都被最后，為增強學生的自我認知能力和團隊協作能力，設計了學生評價環節。學生通過自我評價和組內互評，明確自身的優勢與不足，促進小組成員的相互學習與支持。評價維度包括知識掌握程度、學習態度、溝通與協調能力、創新能力、任務執行能力等。教師應當確保學生在評價過程中的公正、客觀，避免主觀臆斷和偏見。同時，還應鼓勵學生對評價表提出修改意見和建議，讓評價成為促進個人成長和團隊進步的積極力量。

2.3課后上機實踐

在超星學習通上布置實踐任務，內容包括問題背景、輸入輸出要求、限制條件等。要求學生以小組為單位，選擇一個具體的城市交通網絡模型，利用最短路徑算法找出從起點到其他節點的最短路徑。該實踐的評估標準包括代碼質量、算法正確性、算法優化、文檔完整性、團隊協作等方面。

學生通過實現Dijkstra算法，加深對圖論知識點及最短路徑問題的理解。利用已學習的編程語言（如Java、C等）實現最短路徑算法，鞏固和提高編程能力。在一周時間內，鼓勵各小組在超星學習通分享進度，教師及時給予反饋。學生須在實踐報告中撰寫心得，反思實踐過程中的得失，提出改進建議。教師根據實踐情況，總結教學成效，分析存在的問題，提出未來教學改進的方向。

3結果分析

實踐數據選擇了固定題目和非固定題目的得分情況進行對比：（1）布置于超星學習通的圖論作業為固定題，總分100分，其中最短路徑問題占20分；（2）期末考試為非固定題，總分100分，圖論占15分。對比對象為使用傳統教學方式的2022級軟件工程、2022級物聯網專業與使用PBL模式的2023級大數據技術、計算機科學與技術專業。學生成績對比如表2所示。從表中可以看出，使用PBL模式的教學方式后，學生作業得分情況有明顯提升，對圖論的基礎知識和最短路徑問題的理解更加深刻。同時，相較于往年的考試，圖論知識點的得分率更高。

4結論

本研究對基于PBL模式的離散數學圖論教學方法進行了深入探索，并在城市地鐵最短路徑算法這一實際案例中進行了應用。PBL模式通過模擬真實世界中的復雜情境，為學生提供了將理論知識與實際應用緊密結合的平臺。學生從被動接受知識轉變為積極的學習者和問題解決者。

研究結果顯示，采用PBL模式進行教學后，學生的整體學習成績有了顯著提升。有效激發了學生的學習興趣，提高了他們對離散數學圖論中復雜概念和算法的理解能力。學生在面對實際問題時，能夠主動運用所學知識進行分析、討論和解決。這種學習方式不僅加深了對理論知識的記憶，還培養了創新思維和問題解決能力。

建議高校教師在未來的教學實踐中，進一步推廣和應用PBL模式，以推動離散數學及其他相關課程的教學改革和發展。

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[3]陳麗君，程麗.基于OBE理念的離散數學混合式教學改革[J].赤峰學院學報（自然科學版），2024，40（2）：78-81.

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[5]王禮.職業本科計算機專業離散數學課教學改革初探[J].大學數學，2024，40（2）：53-57.

[6]陳溪源，樊謹.OBE理念下以學生為中心的“離散數學”教學改革[J].大眾科技，2023，25（11）：115-118.

【通聯編輯：王力】